Importante

• Inicio de clases: jueves 29 de marzo, 15hs.
• Horario: Las clases serían Jueves y Viernes a las 15 durante un mes (la hora del viernes podria modificarse para mas temprano si necesario)
• Duración: 24 horas en total (16 de teorica, 8 de consultas) a lo largo de 1 mes.
• Correlatividad: Análisis II

Docente, horarios y aulas

Contenido del curso:

• Sistemas dinámicos, órbitas y distintas nociones de recurrencia:
  definiciones básicas, puntos periódicos, transitividad, minimalidad, conjuntos límites atractores y repulsores. Ejercicios
• Hiperbolicidad:
  definición, ejemplos lineales, análisis de un ejemplo hiperbólico paradigmático. Ejercicios.
• Ergodicidad:
  medidas invariantes, definición de ergodicidad, ejemplos. Ejercicios.
• Hiperbolicidad y ergodicidad:
  el ejemplo hiperbólico del ítem 2 es ergódico. Ejercicios, respuestas de los ejercicios

El curso busca dar respuestas a preguntas como la siguiente: dado un sistema de un conjunto en sí mismo, por ejemplo f:X->X donde f es una función y X un conjunto, considero un punto cualquiera x del conjunto X, y le aplico el sistema f a x, luego a su imagen, luego a la imagen de su imagen, repitiendo este proceso infinitas veces... hacia dónde va x? Si, a su vez, el sistema f es biyectivo, x es imagen de otro punto, que a su vez es imagen de otro y de otro, así hasta infinito. Entonces, es posible saber de dónde viene x? Podemos describir estos conjuntos límites? Qué propiedades podemos descubrir de ellos?

La segunda parte del curso tiene que ver con todas estas nociones que acabamos de mencionar, vistas desde un punto de vista probabilístico: hacia dónde va la mayoría de los puntos x? Para ilustrar esto, podemos usar un ejemplo del libro Matemática... ¿estás ahí? (1) de Adrián Paenza. En su libro, él propone un método probabilístico-dinámico para calcular los peces en una laguna. El método es como sigue:

• capturamos 1000 peces
• los pintamos de amarillo
• los devolvemos a la laguna
• esperamos un buen tiempo a que se mezclen
• volvemos a capturar 1000 peces
• contamos cuántos peces amarillos hay

Como él explica en su libro, si en la segunda pesca contamos 10 peces amarillos, eso quiere decir que hay un 10 por mil = 1% de peces amarillos en la laguna. Por lo tanto la laguna tiene aproximadamente 100.000 peces.

Esto provee de una excelente estimación, y muy práctica, siempre y cuando se cumpla un supuesto, que para nosotros en dinámica será igualmente importante (aparte de obviamente, pedir que la pintura amarilla no sea tóxica y no alteremos completamente la medición y el ecosistema). El supuesto es que los peces amarillos se mezclen. En efecto, si los mismos se juntaran en cardumen y se dedicaran a nadar en círculos por el centro de la laguna, nunca seríamos capaces de medirlos. Algo similar pasa con los sistemas dinámicos. Analizaremos este y otros ejemplos en el curso.

Bibliografía

• Global stability of dynamical systems, Michael Shub, Springer, 1987
• Introduction to the modern theory of dynamical systems, Anatole Katok and Boris Hasselblatt, Cambdridge University Press, 1995

Varios

• Normas de higiene y seguridad