Álgebra II - Programa, bibliografía y notas
Programa
1. Grupos. Monoides. Semigrupos. Grupos. Morfismos. Cocientes. Relaciones de equivalencia compatibles. Subgrupos normales. Grupos cíclicos, grupos simétrico y alternado, grupos clásicos de matrices, grupos de simetrías de sólidos regulares, grupos de automorfismos . Grupos libres. Presentaciones de grupos. Producto semidirecto. Acción de un grupo en un conjunto y órbitas. Teoremas de Sylow.
2. Anillos. Definiciones básicas. Morfismos. Ideales. Anillos cociente. Ejemplos: anillos numéricos, cuaterniones, matrices, anillos de funciones, polinomios, series formales, algebra de semigrupo, anillos de enteros, operadores diferenciales. Divisores de cero. Elementos nilpotentes. Unidades. Elementos irreducibles. Ideales primos, ideales maximales. Dominios euclideanos, de ideales principales y de factorización única.
3. Módulos . Definición. Ejemplos: espacios vectoriales, grupos abelianos, ideales de un anillo, endomorfismos de un espacio vectorial, representaciones lineales de un grupo finito. Morfismos. Submódulos y módulos cociente. Operaciones con submódulos, teoremas de isomorfismo. Sucesiones exactas, diagramas conmutativos. Suma y producto directo. Módulos finitamente generados. Módulos libres. Torsión. Divisibilidad. Estructura de módulos de torsión y de módulos divisibles sobre un dominio de ideales principales. Conjuntos multiplicativos, anillos y módulos de fracciones, localizacion. Módulos noetherianos y artinianos. Teorema de Hilbert: el anillo de polinomios es noetheriano. Módulos finitamente generados sobre un dominio de ideales principales: teorema de estructura. Producto tensorial. Extensión y restricción de escalares. Algebra multilineal, tensores. Módulos proyectivos, inyectivos, playos. Introducción al álgebra homológica.
Bibliografía
- Artin, M. Algebra. Prentice Hall.
- Atiyah-Macdonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley.
- Bourbaki, Algebre.
- Chevalley, Fundamental Concepts of Algebra. Academic Press.
- Gentile, E., Estructuras Algebraicas I. O.E.A.
- Gentile, E., Estructuras Algebraicas II. O.E.A.
- Gentile, E., Notas de Algebra. Fascículo 22. FCEyN, 1965.
- Herstein, I., Topics in Algebra. Wiley.
- Lang, S., Algebra. Addison-Wesley.
- O'Brien, H., Estructuras Algebraicas III: Grupos finitos. O.E.A.
- Rotman, The theory of groups. Springer-Verlag.
- Shafarevich, I., Algebra I. Springer-Verlag.
- van der Waerden, B. L., Modern Algebra.
- Zariski-Samuel, Commutative Algebra. vols. 1, 2.
Notas
Grupos, anillos y módulos - por J. A. Guccione y J.J Guccione.
- Anillos y sus categorias de representaciones - por A. Solotar, M. Farinati y M. Suárez-Alvarez.
- Group Theory - por J. S. Milne.
