PROGRAMA

1. Origen y desarrollo de la geometría 1.1.En la historia: La recta y la circunferencia. La clasificación griega. Apolonio y Pappus: cónicas. El renacimiento. Coordenadas.

1. Lugar geométrico 1.1.Lugares geométricos. 1.2.Algunos lejemplos: Mediatriz, bisectriz, circunferencia, eje radical, arco capaz. 1.3.Cónicas como lugar geométrico: Carcterización de Menelao y Apolonio. Relaciones con el foco y la directriz. Ecuaciones. 1.4.Sólidos como lugar geométrico: Algunas cuádricas. Ángulo diedro y ángulo sólido.
2. Construcciones Geométricas. 2.1.Construcciones con regla y compás: Resolubilidad de las construcciones con regla y compás, problemas clásicos (la duplicación del cubo, la trisección del ángulo, el heptágono regular, la cuadratura del círculo). 2.2.Triángulos y circunferencias: Bisectrices, mediatrices, medianas y alturas, cevianas, propiedades, triángulos órtico y medial, baricentro, ortocentro, circunferencias inscripta y circunscripta, relaciones. 2.3.Construcción de triángulos, circunferencias y polígonos regulares. 2.4.Cuadriláteros y cuadraturas: Algunas cosas sobre cuadriláteros. Cuadraturas.
3. Geometría Proyectiva. 3.1.El plano proyectivo real: Puntos impropios, coordenadas no homogéneas, coordenadas homogéneas, rectas, Teorema de Desargues. 3.2.Colineaciones: Perspectividades, razón doble, cuaterna armónica, cuadrivértices, colineaciones. 3.3.Dualidad y Cónicas: Rectas y haces proyectivos, cuadriláteros, cónicas, exágonos, Teoremas de Pascal y de Brianchon. 3.4.Colineaciones especiales: Homologías, afinidades, semejanzas. 3.5. Polaridad
4. Transformaciones geométricas. 4.1.Transformaciones entre conjuntos: Transformaciones, grupos de transformaciones, transformaciones en la recta. 4.2.Transformaciones en el plano: Proyectividades, afinidades, isometrías, transformaciones usando números complejos. 4.3.Inversiones: Definición, conjuntos de rectas y circunferencias, el problema de Apolonio, porisma de Steiner, geometría del compás de Mascheroni, construcciones con sólo la regla.
5. Resolviendo problemas 5.1.Transformaciones topológicas: Número de Euler para poliedros simples, invariantes topológicos, conexión, teorema de Jordan sobre curvas, teorema de los 4 colores, género de una superficie, característica de Euler, superficies con un solo lado, superficies orientables y no orientables. Triangulaciones. Aplicaciones del teorema de punto fijo. 5.2.El quinto postulado de Euclides: Geometrías no euclidianas. El modelo proyectivo (polo y polar respecto de una cónica), el modelo de Poincaré, geometría de Rieman. 5.3.Medida: Los inconmensurables, Eudoxo y la teoría de proporciones, el teorema de Thales, medida de segmentos. Paradojas: La medida del área sobre la esfera. 5.4. Curvas: en R3: Longitud de arco, curvatura, torsión. Razón áurea o divina proporción, curvas clásicas especiales (cicloides, catenaria, tractriz, espirales, lemniscatas, curvas límites: fractales) 5.5.Otras aplicaciones: Máximos y mínimos geométricos, desigualdades geométricas, desigualdades entre los elementos de un triángulo, problemas isoperimétricos, grafos, cubrimientos del plano por polígonos congruentes, mosaicos, los dibujos de Escher.