Análisis Real
- MEDIDA DE LEBESGUE EN Rn. Medida de intervalos y de conjuntos sigma-elementales. Medida exterior. Conjuntos medibles. Medida de Lebesgue. Sucesiones monótonas de conjuntos medibles. Conjuntos de medida nula. Conjuntos de clase G-delta y conjuntos de clase F-sigma. Estructura de los conjuntos medibles. Algebras y sigma–álgebras. Conjuntos borelianos. Invariancia bajo translaciones. Conjuntos no medibles.
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FUNCIONES MEDIBLES. Operaciones algebraicas y sucesiones de funciones medibles. Funciones simples. Funciones borelianas. Propiedades verdaderas en casi todo punto. Teorema de Egorov. Teorema de Lusin. Convergencia en medida.
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INTEGRAL DE LEBESGUE. Integral de funciones no negativas. Integral de funciones simples. Teoremas de Beppo-Levi y de Fatou. Integral de funciones a valores de signo distinto. Linealidad. Teorema de la convergencia uniforme. Teorema de convergencia mayorada. Desigualdad de Chebyshev. Integral de funciones a valores complejos. Invariancia bajo translaciones. La integral como función de conjunto. Absoluta continuidad de la integral. Comparación con la integral de Riemann.
- TEOREMA DE FUBINI. Principio de Cavalieri. Teoremas de Tonelli y de Fubini. Convolución. Función de distribución.
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CAMBIO DE VARIABLES. Imagen de un conjunto medible por una transofrmación lineal. Aplicaciones diferenciables. Fórmula del cambio de variables.
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ESPACIOS Lp. Desigualdades de Holder y de Minkowski. Completitud. Clases de funciones densas en Lp. Separabilidad. Módulo de continuidad. Convolución. Teorema de Young.
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DIFERENCIACION DE LA INTEGRAL. Lema simple de Vitali. Función maximal de Hardy-Littlewood. Teorema maximal.Teorema de diferenciación de Lebesgue. Teorema de cubrimiento de Vitali. Derivabilidad de las funciones monótonas. Funciones de variación acotada. Funciones sbsolutamente continuas y singulares.
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MEDIDAS E INTEGRACION EN ESPACIOS ABSTRACTOS. Espacios medibles. Medidas. Funciones medibles. Integración en un espacio de medida.
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MEDIDAS CON SIGNO. Medidas signadas. Teorema de descomposición de Hahn. Descomposición de Jordan-Hahn de una medida. Medidas complejas. Variación total. Medidas absolutamente continuas y medidas singulares. Teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym. Funciones lineales acotadas sobre Lp.
- J. Cerdà, Análisis Real. Universitat de Barcelona, 1996.
- N. Fava y F. Zó, Medida e Integral de Lebesgue. Red Olímpica, 1996.
- G. B. Folland, Real Analysis - Modern Techniques And Their Applications. John Wiley & Sons, 1984.
- P. R. Halmos, Measure Theory. Van Nostrand, Princeton, 1950.
- S. Igari, Real Analysis - With an Introduction to Wavelet Theory. American Mathematical Society, Volume 177, 1998.
- H. L. Royden, Real Analysis. Mc Millan, 1968.
- W. Rudin, Análisis Real y Complejo. Alhambra, 1985.
- R. Wheeden and A. Zygmund, Measure and Integral. Marcel Dekker Inc., 1977.
