\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[utf8x]{inputenc}

\usepackage{enumitem}
\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\renewcommand\labelenumi{\theenumi)}

\newtheorem{ejer}{Ejercicio}
\newcommand{\bej}{\begin{ejer}\rm}
\newcommand{\fej}{\end{ejer}}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\def\dt{\Delta t}
\def\dx{\Delta x}

\topmargin-2cm \vsize 29.5cm \hsize 21cm
\setlength{\textwidth}{16.75cm}\setlength{\textheight}{23.5cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0.0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.0cm}

\begin{document}
\centerline{{\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matemática}}

 \vskip 0.2cm
 \hrulefill
 \vskip 0.2cm

 \centerline{{\bf\Huge {\sc Análisis Numérico}}}
 \vskip 0.2cm
 \centerline{\ttfamily Segundo Cuatrimestre 2019}
 \hrulefill

 \bigskip
 \centerline{\bf Práctica N$^\circ$ 6: Elementos Finitos.}
 \bigskip


\bej Probar que las normas
\[ \|u\|_{W^{1,2}}=\|u\|_{L^2}+\sum_{i=1}^n \left\|\frac{\partial
u}{\partial x_i} \right\|_{L^2} \quad \mbox{y}  \quad
\|u\|_{H^1}=\left( \|u\|_{L^2}^{2}+\sum_{i=1}^n
\left\|\frac{\partial u}{\partial x_i} \right\|_{L^2}^2
\right)^{1/2} \] son equivalentes. Verificar que la norma de $H^1$
se deriva de un producto escalar.
\fej


\bej  \label{Diri} Considerar el problema: encontrar $u:\overline{\Omega}
\longrightarrow \R$, $\Omega \in \R^n$ un abierto
acotado, tal que:
\[
\left\{
\begin{array}{c}
-\bigtriangleup u+u=f \ \ \mbox{en}\ \ \Omega \\
u=0\ \ \ \mbox{sobre}\  \Gamma=\partial \Omega
\end{array} \right. \]
con $f$ una función prefijada en $C(\overline{\Omega})$.

\begin{itemize}
\item[i)] ¿Qué se considera una solución clásica del problema?
\item[ii)] ¿Cómo definiría una solución débil?
\item[iii)] Probar que toda solución clásica es una solución débil.
\item[iv)] Probar que existe una solución única en $H_0^1(\Omega)$ de
la formulación débil.
\end{itemize}
\fej



\bej \label{Neum} Considerar el problema: encontrar
$u:\overline{\Omega} \longrightarrow \R$, $\Omega \in
\R^n$ un abierto acotado de clase $C^1$, tal que:
\[
\left\{
\begin{array}{rcll}
-\bigtriangleup u+u&=&f& \ \ \mbox{en}\ \ \Omega\\
\frac{\partial u}{\partial n}&=&0& \ \ \ \mbox{sobre}\
\Gamma=\partial \Omega
\end{array} \right.
\]
con $f$ una función prefijada en $C(\overline{\Omega})$.
\begin{itemize}
\item[i)] Defina solución clásica y débil para este problema.
\item[ii)] Probar que toda solución clásica es una solución débil.
\item[iii)] Probar que existe una solución única en $H^1(\Omega)$ de la formulación débil.
\end{itemize}
\fej


\bej \label{trza} \begin{enumerate}
\item[a)] Sea $\Omega=[0,1]\times [0,1]$, probar que existe una constante $C_0$ tal que,  para toda $u\in H^1(\Omega)$ :
\[ \|u\|_{L^2(\partial\Omega)}\leq C \|u\|_{H^1(\Omega)}.\]
\item [b)]
Considerar el problema: encontrar
$u:\overline{\Omega} \longrightarrow \R$, tal que:
\[
\left\{
\begin{array}{rcll}
-\bigtriangleup u&=&f& \ \ \mbox{en}\ \ \Omega\\
u&=&0& \ \ \ \mbox{en}\
\Gamma_1\\
\frac{\partial u}{\partial n}&=&g& \ \ \ \mbox{en}\
\partial\Omega \setminus \Gamma_1\\
\end{array} \right.
\]
con $f\in C(\overline{\Omega})$, $g\in L^2(\partial\Omega)$ y $\Gamma_1=\{(x,y):0\leq x\leq 1, y=0\}$.
\begin{enumerate}
\item[i)] Definir solución clásica y débil en un espacio adecuado $V\subset H^1(\Omega)$.
\item[ii)] Probar que toda solución clásica es una solución débil.
\item[iii)] Probar que existe una solución única en $V$ de la formulación débil.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\fej

\bej
Sea $\Omega \subset \R^n$ un abierto acotado. Sean $a_{i,j} \in
C^1(\overline{\Omega})$, $1\leq i,j \leq n$ que verifican la
condición de elipticidad:
\[\sum_{i,j=1}^n a_{i,j}(x)\chi_i \chi_j \geq \alpha|\chi|^2\ \ \
\forall x\in \Omega,\ \ \ \forall \chi \in \R^n,\ \ \ \alpha ¿ 0\]
Sea también $a_0(x)\in C(\overline{\Omega})$. Se busca una función
$u:\overline{\Omega} \longrightarrow \R$ que verifique:
\[
\left\{
\begin{array}{c}
-\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_j}\left(
a_{i,j}\frac{\partial u}{\partial x_i} \right) +a_0 u=f \ \
\mbox{en}\ \ \Omega\\
u=0\ \ \ \mbox{sobre} \ \Gamma=\partial \Omega
\end{array} \right. \]

\begin{itemize}
\item[i)] Defina solución clásica y débil para este problema.

\item[ii)] Probar que toda solución clásica es una solución débil.

\item[iii)] Probar que para $a_0(x) \geq 0$ en $\Omega$ y $f\in L^2$ existe
una solución única en $H_0^1(\Omega)$ de la formulación débil.
\end{itemize}
\fej



\bej
\begin{enumerate}
\item[(a)]
Dado el problema variacional
$$a(u,v)=\int fv \ \ \mbox{para todo} \ \ v\in V$$
con $a : V \times V \rightarrow \R$ una forma bilineal simétrica.
Considere  la respectiva aproximación de Galerkin sobre un
espacio discreto $V_h=V_h^1\oplus V_h^2\subset V$ que posee la
propiedad de que $a(v_h^1,v_h^2)=0$ para todo par $v_h^1\in
V_h^1,v_h^2\in V_h^2$. Demuestre que $u_h=u_h^1+u_h^2$ es
solución de la aproximación de Galerkin si y solo si los
$u_h^i$ resuelven respectivamente
$$a(u_h^i,v_h^i)=\int fv_h^i \ \ \mbox{para todo} \ \ v_h^i\in V_h^i$$
\item[(b)] Tome $a(u,v)= \int_0^1 u' v' $ y $V=H_0^1(0,1)$ en el item previo y considere
$(0,1)=I=\cup_{i=0}^{N-1}I_i$, $I_i=(x_i,x_{i+1})$, con $x_{i+1}=
x_i +h$ . Tome entonces
$$V_h^1=\{u\in H^1_0\ \ \mbox{tal que}
\ \ u\in P_1(I_i)\ \ \mbox{para todo} \ \ 0\le i\le
N-1\}=<\phi_1,...,\phi_{N-1}>
$$
con $\phi_i(x_j)=\delta_i^j$, y sea
$V_h^2=<\hat{\phi}_0,...,\hat{\phi}_{N-1}¿$ con
$$\hat{\phi}_i=
\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{4}{h^2}(x-x_i)(x_{i+1}-x)& x\in I_i \\
0&x\in I-I_i
\end{array}
\right.
$$
Demuestre que  $V_h=V_h^1\oplus V_h^1$ está en las hipótesis
del item previo, y entonces se pide hallar los $\beta_i$ que
verifican $u_h=\sum \alpha_i\phi_i+\beta_i\hat{\phi}_i$.
\end{enumerate}
\fej

\bej
Dar dos ejemplos de formas bilineales $(a_{i,j})$ diferentes, que corresponden
a formas variacionales distintas, pero den lugar al mismo operador diferencial.
\fej

\bej
 Sea $\Omega$ un dominio acotado en $\R^n$, $n=1,2,3$. Sea
$T_h$ una subdivisión de $\Omega$ en elementos $K$ (intervalos
en $\R$, triángulos o cuadriláteros en $\R^2$,
tetraedros en $\R^3$). Probar que una función definida en
todo $\Omega$ y que es polinomial en cada elemento, pertenece a
$H^1(\Omega)$ si y sólo si es continua en $\Omega$.
\end{ejer}
\begin{ejer}    \rm
Encontrar la dimensión de los siguientes espacios de funciones,
definidas sobre un elemento $K$ en $\R^2$:
\begin{itemize}
\item[i)] funciones lineales
\item[ii)] funciones cuadráticas
\item[iii)] $P_r(K)=\{v\  :\ v \mbox{ es un polinomio de grado $\leq r$
sobre $K$} \}$
\item[iv)] funciones bilineales ( $v=a_0+a_1 x+a_2 y +a_3 xy$).
\end{itemize}
\fej


\bej
Sea $C_h$ una triangulación de un dominio acotado con frontera
poligonal $\Omega \subset \R^2$ (es decir, una subdivisión de
$\Omega$ en triángulos que no se superponen, y tal que los
vértices de ningún triángulo se encuentran sobre los lados de
otro triángulo).

\begin{itemize}
\item[i)] Sea $V_h$ el espacio de funciones continuas
definidas en $\Omega$, lineales en cada triángulo de $C_h$.
Probar que una función en $V_h$ está unívocamente
determinada por su valor en los nodos de $C_h$ (incluyendo los
pertenecientes al borde de $\Omega$). Verificar que la función
resulta continua.
\item[ii)] Sea $V_h$ el espacio de funciones continuas
definidas en $\Omega$, cuadráticas en cada triángulo de $C_h$.
Probar que una función en $V_h$ está unívocamente
determinada por ejemplo por su valor en los nodos de $C_h$
(incluyendo los pertenecientes al borde de $\Omega$) y en el punto
medio de cada lado de los elementos de $C_h$.
\end{itemize}
\fej

\bej
Sea $T_h$ una triangulación de un dominio acotado con frontera
poligonal $\Omega \subset \R^2$. Sea $V_h$ el espacio de funciones continuas
definidas en $\Omega$, cuadráticas en cada triángulo de $T_h$.

\begin{itemize}
\item[i)] Explicar como elegiría los nodos en cada triángulo para
garantizar que  una función en $V_h$ esté unívocamente
determinada por su valor en los nodos elegidos.

\item[ii)] Considere ahora el triángulo de referencia y los nodos $n_j$, $1\leq j \leq 6$ como se indica en la Figura. Hallar $\phi_i$, $1\leq i \leq 6$ las funciones en $V_h$ que satisfacen $\phi_i(n_j)=\delta_{ij}$.
\end{itemize}

\begin{figure}[h]
\setlength{\unitlength}{.3in}
\begin{picture}(14,4)
\put(10,0){\line(1,0){3}}
\put(10,0){\line(0,1){4}}
\put(13,0){\line(-3,4){3}}
\put(10,0){\circle{.125}}
\put(10,-0.3){\makebox(0,0)[cc]{$1$}}
\put(11.5,0){\circle{.125}}
\put(11.5,-0.3){\makebox(0,0)[cc]{$2$}}
\put(13,0){\circle{.125}}
\put(13,-0.3){\makebox(0,0)[cc]{$3$}}
\put(10,4){\circle{.125}}
\put(9.8,4){\makebox(0,0)[cc]{$5$}}
\put(11.5,2){\circle{.125}}
\put(12,2){\makebox(0,0)[cc]{$4$}}
 \put(10,2){\circle{.125}}
 \put(9.8,2){\makebox(0,0)[cc]{$6$}}

% \put(12,5){\makebox(0,0)[cc]{Figura 1}}
\end{picture}

\end{figure}
\end{ejer}



\bej
Sea $Q_h$ una na subdivisión en rectángulos $Q$, con lados paralelos a los ejes coordinados
 de un dominio acotado $\Omega \subset \R^2$.  Sea $V_h$ el espacio de funciones continuas
definidas en $\Omega$,  tal que en cada rectángulo es
 una función de $Q_2=\{v : v=\sum c_j p_j(x) q_j(y)\}$ donde $p_j$ y $q_j$ son polinomios de grado menor o igual a 2.
\begin{itemize}
\item[i)]Explicar como elegiría los nodos en cada rectángulo para
garantizar que  una función en $V_h$ esté unívocamente
determinada por su valor en los nodos elegidos.
\item[ii)] Considere ahora el rectángulo de referencia $[0,1]^2$ y los nodos $n_j$,
        $1\leq j \leq 6$ como se indica en la Figura.
   Hallar $\phi_i$, $1\leq i \leq 6$ las funciones en $V_h$ que
        satisfacen   $\phi_i(n_j)=\delta_{ij}$.
\end{itemize}
\begin{figure}[h]
\setlength{\unitlength}{.5in}
\begin{picture}(14,2.5)
\put(5,0){\line(1,0){2}}
\put(5,0){\line(0,1){2}}
\put(7,0){\line(0,1){2}}
\put(5,2){\line(1,0){2}}
\put(5,-0.3){\makebox(0,0)[cc]{$1$}}
\put(5,0){\circle{.125}}
\put(6,-0.3){\makebox(0,0)[cc]{$2$}}
\put(6,0){\circle{.125}}
\put(7,-0.3){\makebox(0,0)[cc]{$3$}}
\put(7,0){\circle{.125}}
\put(4.8,1){\makebox(0,0)[cc]{$4$}}
\put(5,1){\circle{.125}}
\put(5.8,1){\makebox(0,0)[cc]{$5$}}
\put(6,1){\circle{.125}}
\put(7.2,1){\makebox(0,0)[cc]{$6$}}
\put(7,1){\circle{.125}}
\put(5,2.3){\makebox(0,0)[cc]{$7$}}
\put(5,2){\circle{.125}}
\put(6,2.3){\makebox(0,0)[cc]{$8$}}
\put(6,2){\circle{.125}}
\put(7,2.3){\makebox(0,0)[cc]{$9$}}
\put(7,2){\circle{.125}}
\end{picture}

\end{figure}
\fej


\bej
Consideremos $\Omega \in \R^2$ un dominio con borde poligonal, y
$T_h$ una triangulación del mismo. Sea $K\subset T_h$ un
triángulo de la partición. Llamamos:\\
$h_K=$ mayor de los lados de $K$,\\
$\rho_K=$ diámetro del círculo inscripto en $K$,\\
$\displaystyle h=\max_{K\in T_h} h_K$.\\
Probar que la condición $\displaystyle \frac{h_K}{\rho_K} \leq
\beta\ \  \forall K \in T_h$ es equivalente a que exista
$\theta_0>0$ tal que para cualquier ángulo $\theta$ de cualquier
triángulo $K \in T_h$ se tiene $\theta \geq \theta_0$ (esta
condición es conocida como ``condición del ángulo
mínimo'').
\fej

\bej
Sea $Q$ un rectángulo en $\R^2$, con lados paralelos a los ejes.
Considerar una subdivisión $C_h$ de $Q$ en subrectángulos que no se
solapan tal que ningún vértice de ningún rectángulo pertenece
al lado de otro rectángulo. Sea $V_h$ el conjunto de funciones
continuas definidas en $Q$, bilineales en cada subrectángulo.
Probar que un elemento de $V_h$ está unívocamente determinado
por su valor en los nodos de $C_h$ (incluyendo los nodos en el borde
de $Q$).
\fej

\bej \label{orden1}  Se desea aproximar
$$\int_{\hat{T}} f(\hat{x}) d\hat{x}$$ donde $\hat{T}$ es el
triángulo de referencia que tiene vértices $(0,0), (1,0)$ y
$(0,1)$.
\begin{enumerate}
\item[a)] Mostrar que la fórmula de integración numérica
$$ \int_{\hat{T}} f(\hat{x}) d\hat{x} \sim
\frac{1}{2}f\Big(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\Big) $$ es exacta para polinomios
de grado menor o igual a 1.

\item[b)] Mostrar que la fórmula de integración numérica
\begin{equation}\nonumber
\int_{\hat{T}} f(\hat{x}) d\hat{x}  \sim \frac{1}{6}\bigg(
f\Big(\frac{1}{2},0\Big) + f\Big(0,\frac{1}{2}\Big) + f\Big(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\Big)\bigg)
\end{equation}
es exacta para polinomios de grado menor o igual que 2.
\end{enumerate}
\fej

\bej Sea $T$ un triángulo genérico (no degenerado) de
vértices $a_1, a_2, a_3$. Sea $F(\hat{x})=B\hat{x} + b$ la
transformación afín que transforma $\hat{T}$ en $T$. Usando
el ejercicio \ref{orden1} a) y haciendo un cambio de variables
mostrar que la fórmula de cuadratura
$$ \int_T f(x) dx  \sim   |T| f(a_{123}), $$ donde $a_{123}$ es el baricentro del triángulo
$T$,  es exacta para polinomios de grado menor o igual que 1. \fej

\bej  Procediendo en forma análoga al ejercicio previo y
usando el ejercicio \ref{orden1} b), mostrar que la fórmula de
cuadratura
$$ \int_T f(x) dx  \sim
\frac{|T|}{3}\Big( f(a_{12}) + f(a_{13}) + f(a_{23})\Big)$$ donde $a_{ij},
i<j$ denota el punto medio del lado de vértices $a_i$ y $a_j$,
es exacta para polinomios de grado menor o igual que 2.\fej


\bej
\begin{itemize}
\item[i)] Considerar el tetraedro de referencia:
$$\hat{T}=\{(x,y,z)\in\R^3:\quad 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1-x,\;0\le z\le 1-x-y\}$$
Si $\hat{a}_1$, $\hat{a}_2$, $\hat{a}_3$ y $\hat{a}_4$ son los vértices de $\hat{T}$ Probar que la cuadratura:
$$\hat{Q}(f)=\frac{1}{6}f(\hat{a}_{1234}),\qquad\textrm{siendo } \hat{a}_{1234}=\frac{\hat{a}_1+\hat{a}_2+\hat{a}_3+\hat{a}_4}{4}$$
es exacta para polinomios de grado menor o igual que $1$.
\item[ii)] Probar que el volumen de un tetraedro con vértices: el origen, $A$, $B$ y $C$ viene dado por:
$$\frac{1}{6}\left|\begin{array}{ccc}
                    x_A & y_A & z_A \\
                    x_B & y_B & z_B \\
                    x_C & y_C & z_C
                   \end{array}\right|
$$
siendo $x_A$ la coordenada $x$ del vértice $A$, etc.
\item[iii)] Sea $T\subset\R^3$ el tetraedro con vértices $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$. Deducir, a partir del ítem anterior, una cuadratura sobre $T$ que sea exacta para polinomios de grado menor o igual que $1$.
\end{itemize}
\fej

\bej
\begin{itemize}
%\item[i)] Probar que la cuadratura:
%$$\int_a^b f(x) dx \sim \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$$
%es exacta para $f\in\mathcal{P}_2(a,b)$, siendo:
%$$x_1 = \frac{a+b}{2}-\frac{b-a}{2\sqrt{3}}\quad \textrm{ y } \quad x_2 = \frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2\sqrt{3}}$$
\item[i)] Dado un rectángulo $R=[a,b]\times[c,d]\subset\R^2$, definimos $\mathcal{Q}_1(R)=\{f(x,y) = p(x)q(y),\quad p,q\in\mathcal{P}_1\}$. Probar que la cuadratura
$$\int_R f \sim \frac{|R|}{4}\Big(f(a,c)+f(a,d)+f(b,c)+f(b,d)\Big)$$
es exacta para $f\in\mathcal{Q}_1$.
\item[iii)] Considerar el problema:
\[
\left\{
\begin{aligned}
-\Delta u(x,y) &= f(x,y) \, \textrm{ si } (x,y)\in\Omega=[-1,1]\times[0,1] \\
u(x,y) &= 0   \quad  \textrm{ si }(x,y)\in\partial\Omega
\end{aligned} \right.
\]
y la partición $\Omega = R_1\cup R_2$, donde $R_1=[-1,0]\times[0,1]$ y $R_2=[0,1]^2$.
Escribir las bases locales de $\mathcal{Q}_1$ sobre $R_1$ y $R_2$ (teniendo en cuenta los datos de borde), y calcule la matriz de rigidez usando la cuadratura del ítem anterior.
\end{itemize}
\fej

%\bej  Considerar la triangulación del cuadrado $[0,1]\times[0,1]$ que se obtiene trazando las diagonales, y consiste de cuatro triángulos. Numerar los nodos de la siguiente manera: $N_1 = (0,0), N_2=(1,0), N_3=(1,1), N_4=(0,1), N_5=(\frac12,\frac12)$. Hallar las matrices locales y la matriz de rigidez que resultan al resolver el problema del ejercicio \ref{Neum} usando elementos finitos lineales. \fej


\bej  Considerar la subdivisión del cuadrado
$[0,1]\times[0,1]$ que se obtiene trazando dos rectas paralelas a los ejes, y
consiste de cuatro cuadrados. Numerar los nodos de la siguiente
manera: $N_1 = (0,0), N_2=(1,0), N_3=(1,1), N_4=(0,1),
N_5=(\frac12,\frac12)$, $N_6 = (1/2,0), N_7=(1,1/2), N_8=(1/2,1), N_9=(0,1/2)$. Hallar la solución del sistema variacional discreto
del ejercicio
\ref{Diri} con $f=1$, usando elementos finitos bilineales . \fej


\bej Hacer un programa para resolver la ecuación de Poisson $
-\triangle u = f $ con condición de borde $u |_{\partial \Omega}
=0$, en un polígono convexo $\Omega$ usando elementos finitos
lineales (dando como dato de
 entrada los nodos de la triangulación).
Calcular el error $\|u - u_h \|$ en diversas normas y
graficar en función de $h$.
\fej

\bej Hacer un programa para resolver la ecuación  $
-\triangle u+u = f $ con condición de borde $u |_{\partial \Omega}
=g$, en un polígono convexo $\Omega$ usando elementos finitos
lineales (dando como dato de
 entrada los nodos de la triangulación).
Calcular el error $\|u - u_h \|$ en diversas normas y
graficar en función de $h$.
\fej

\bej
\begin{itemize}
\item[(a)] Considere el tetraedro de referencia:
$$\widehat{T}=\{(x,y,z)\in\R^3:\quad 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1-x,\;0\le z\le 1-x-y\}$$
Si $x_1$, $x_2$, $x_3$ y $x_4$ son los vértices de $\widehat{T}$ y $x_5$ su baricentro, determine valores $w_1$, $w_2$, $w_3$, $w_4$ y $w_5$ de manera que la cuadratura:
$$\int_{\widehat{T}}f \sim \sum_{i=1}^5 w_i f(x_i)$$
sea exacta para polinomios de grado menor o igual que $2$. (Sug.: aproveche las simetrías del problema para simplificar las cuentas).
\item[(b)] Sea $T\subset\R^3$ el tetraedro con vértices $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$. Deduzca, a partir del ítem anterior, una cuadratura sobre $T$ que sea exacta para polinomios de grado menor o igual que $2$.
\item[(c)] ¿Qué dimensión tiene $\mathcal{P}_1(T)$?
\item[(d)] Pruebe que todo polinomio de $\mathcal{P}_1(\widehat{T})$ queda unívocamente determinado por su valor en las esquinas de $\widehat{T}$.
\end{itemize}
\fej


\bej[Lema de Aubin-Nitsche] Considerar el problema $-\Delta u = f$ en $\Omega$ con condiciones de contorno Dirichlet homogéneas y $f\in L^2$. Sea $\mathcal{T}_h$ una triangulación de $\Omega$ de tamaño $h$ y $V_h$ el espacio de las funciones lineales a trozos que satisfacen las condiciones de contorno. Notamos $u_h\in V_h$ a la aproximación de $u$ por elementos finitos. Probar que: 
$$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}\le C h^2 |u|_{H^2(\Omega)}$$
Concluir que si vale la estimación a priori $\|u\|_{H^2(\Omega)}\le C\|f\|_{L^2(\Omega)}$, se tiene que:
$$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}\le Ch^2\|f\|_{L^2(\Omega)}.$$
({\bf Sug.:} Considerar el problema auxiliar $-\Delta w = u-u_h$.)
\fej

\bej
Dada $f \in L^2(0,1)$ $0 <\alpha \leq  1,$ considerar el problema:
\[
\left\{
\begin{array}{rcll}
- u''+\alpha u'&=&f& \ \ \mbox{en}\ \ (0,1)\\
u(0)&=&0&
\\
u'(1)&=&0.&
\end{array} \right.
\]
\item[(a)]
 Plantear el Problema Variacional asociado y mostrar que existe una \'unica soluci\'on.
\item[(b)] Plantear el Problema Variacional Discreto asociado si se usa el subespacio $V_h \subset V$ en d\'onde
$$V_h = \{v \in V : v|_I \in \mathcal{P}_1\}.$$ Mostrar que existe soluci\'on \'unica de este problema. Sean $u$ la soluci\'on
del Problema Variacional y $u_h$ la del Problema Variacional Discreto, mostrar que
$$\|u-u_h\|_{H^1(0,1)}\to 0.$$
\item[(c)] Asumiendo que $u \in H^2(0,1)$
 y que existe $c > 0$ tal que $\|u\|_{H^2(0,1)} ≤c \| f\|_{L^2(0,1)},$ probar que se tiene
convergencia cuadr\'atica en $L^2(0,1)$, es decir, que existe $k > 0$ tal que
$$\| u − u_h\|_{L^2(0,1)} ≤ kh^2\|f\|_{L^2(0,1)}.$$
\fej



\bej
Dado $\Omega \in
\R^n$ un abierto acotado Lipschitz con frontera poligonal, $f \in L^2(\Omega)$, $g\in L^2(\partial \Omega)$ considerar el problema:
\[
\left\{
\begin{array}{rcll}
-\bigtriangleup u+u&=&f& \ \ \mbox{en}\ \ \Omega\\
\frac{\partial u}{\partial n}&=&g& \ \  \mbox{sobre}\
\Gamma=\partial \Omega
\end{array} \right.
\]
\item[(a)]
 Plantear el Problema Variacional asociado y mostrar que existe una \'unica soluci\'on. Probar que la soluci\'on cl\'asica es soluci\'on del problema variacional.
\item[(b)] Plantear el Problema Variacional Discreto asociado si se usa el subespacio $V_h \subset V$ en d\'onde
$$V_h = \{v \in V : v|_{T} \in \mathcal{P}_1(T)\}.$$ Mostrar que existe soluci\'on \'unica de este problema. Sean $u$ la soluci\'on
del Problema Variacional y $u_h$ la del Problema Variacional Discreto, mostrar que
$$\|u-u_h\|_{H^1(\Omega)}\to 0.$$
\item[(c)]
 Probar que se tiene
convergencia cuadr\'atica en $L^2(\Omega).$

{Sug:} Usar el siguiente resultado: \\
 {\em Regularidad de solución y  Estimación a priori}: Dada $F \in L^2( \Omega)$,  y  $w$ la solución del problema   $-\bigtriangleup w+w=F$,  con condiciones de borde Dirichlet y/o  Neumann homog\'eneas, entonces es sabido que  $w \in H^2(\Omega)$  y que existe $ C > 0$ tal que $\|w\|_{H^2(\Omega)} \leq C \| F\|_{L^2(\Omega)}.$


\fej
%{\bf{Opciones 2: En este caso usar el pdetool para generar una malla (con el initmesh)}}
%
%
%\bej Sea $\Omega=[-1,1]\times[-1,1]$. Hacer un programa para resolver la ecuación de Poisson $
%-\triangle u = f $ con condición de borde $u |_{\partial \Omega}
%=0$, en un polígono convexo $\Omega$ usando elementos finitos
%lineales usando una malla uniforme de triangulos (dando como dato de
% entrada la cantidad de nodos por lado).
%Calcular el error $\|u - u_h \|$ en diversas normas y
%graficar en función de $h$.
%\fej
%
%\bej Sea $\Omega=[-1,1]\times[-1,1]$. Hacer un programa para resolver la ecuación  $
%-\triangle u+u = f $ con condición de borde $u |_{\partial \Omega}
%=g$, usando elementos finitos
%lineales usando una malla uniforme de triangulos (dando como dato de
% entrada la cantidad de nodos por lado).
%Calcular el error $\|u - u_h \|$ en diversas normas y
%graficar en función de $h$.
%\fej

\end{document}
