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\newtheorem{ejer}{Ejercicio}

\newcommand{\bej}{\vspace{1pt}\begin{ejer}\rm}
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\begin{document}
 \centerline{{\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matemática}}
 
 \vskip 0.2cm
 \hrulefill
 \vskip 0.2cm
 
 \centerline{{\bf\Huge {\sc Análisis Numérico}}}
 \vskip 0.2cm
 \centerline{\ttfamily Segundo Cuatrimestre 2019}
 \hrulefill
 
 \bigskip
 \centerline{\bf Práctica N$^\circ$ 3: Diferencias Finitas (Ecuaciones Hiperbólicas)}
 \bigskip
 
 
\bej
Para resolver la ecuaci\'on de convecci\'on-difusi\'on
\[ U_t = a U_x + \mu U_{xx} \ \ \ \ \ a>0, \ c \in \R \]
se quiere aproximar la soluci\'on con un esquema explícito y centrado de segundo orden en $x$:
$$ \frac{u^{n+1}_j - u^n_j}{\Delta t} = a \frac{u^{n}_{j+1} - u^n_{j-1}}{2 \Delta x} + \mu \frac{u^{n}_{j+1} - 2u^n_j + u^n_{j-1}}{(\Delta x)^2} $$
\begin{enumerate}[(a)]
 \item Dar condiciones sobre $\Delta t, \Delta x$ que aseguren la estabilidad. 
 \item Analizar los resultados casos l\'imite $a=0$ (problema sin convecci\'on) y $\mu=0$ (problema sin difusi\'on). \textquestiondown Qu\'e ocurre?
\end{enumerate}
\fej
 
\section*{Ecuaci\'on de transporte lineal} 
\bej
 Sea $a$ una constante positiva.
 \begin{enumerate}[(i)]
\item Resolver la ecuaci\'on $U_t+aU_x=0$, en toda la recta, con dato inicial $u(x,0)=u_0(x)$. Proceder an\'alogamente con $U_t-aU_x=0$.
\item Reemplazar $e^{i(kx+\omega t)}$ en ambas ecuaciones y hallar
$\omega$ en cada caso. Concluir que ning\'un modo es amortiguado y
que en un lapso $\Delta t$ su fase cambia en $-ak\Delta t$.
\end{enumerate}
\fej


\bej (\textbf{Up-Wind})\label{upwind} Para aproximar la ecuaci\'on $U_t + a U_x = 0$ se consideran los m\'etodos:
$$ \frac{u^{n+1}_j - u^n_j}{\Delta t} + a \frac{ u^{q}_{j} - u^{q}_{j-1} }{\Delta x} = 0$$ 
con $q=n$ (explícito) y $q=n+1$ (implícito).
\begin{enumerate}[(a)]
 \item Estudiar la estabilidad con el método de Fourier. ¿El resultado depende del signo de $a$?
%  \item Implemente ambos m\'etodos para el problema con condici\'on de borde $U(0,t)=0$ y 
% condiciones iniciales $U(x,0)= U_0$, para $U_0=\chi_{[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]}(x)$ y para $U_0=e^{-10(4x-1)^2}$. Grafique 
% la solución numérica vs. la exacta en funci\'on del tiempo, para distintos valores de $\nu$ 
\end{enumerate}
\fej


\bej\textbf{(Difusi\'on artificial)} Verificar que el esquema expl\'icito con up-wind para la
ecuaci\'on $U_t + U_x=0$ puede escribirse como:
$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}+\frac{u_{j+1}^n-u_{j-1}^n}{2\Delta x}=
\frac{\Delta x}{2} \frac{u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n}{\Delta x^2}. $$
Observar que esta expresi\'on coincide con la de un esquema centrado en $x$ para la ecuaci\'on
$$U_t + U_x=\frac{\Delta x}{2}U_{xx}. $$
Concluir que el m\'etodo up-wind puede interpretarse como un
esquema centrado en $x$ para la ecuaci\'on de transporte al cual
se le agrega ``difusi\'on
 artificial''. Comparar el orden del esquema up-wind con la de este \'ultimo.
¿Hay alguna contradicci\'on? 
\fej

\bej(\textbf{Lax-Friedrichs})\label{lax_friedrichs}
Para resolver la ecuación $U_t + a U_x  = 0$, considerar el siguiente método explícito:
\[
\dfrac{u^{n+1}_i - \dfrac 12 (u^{n}_{i+1} + u^{n}_{i-1})}{\Delta t} + a \dfrac{u_{i+1} - u_{i-1}}{2\Delta x}  = 0
\]

\begin{enumerate}[(a)]
 \item \textquestiondown De qu\'e orden es el error de truncado?
 \item Analizar qu\'e restricci\'on debe imponerse para que se satisfaga la condici\'on CFL.
 \item Estudiar la estabilidad mediante el m\'etodo de Fourier \textquestiondown El resultado depende del signo de $a$?
\end{enumerate}
\fej

\bej \label{lax_wendroff} (\textbf{Lax-Wendroff})
Para resolver la ecuación $U_t + a U_x  = 0$, se considera  el siguiente método explícito:
\[
 \dfrac{ u^{n+1}_i - u^{n}_i}{\Delta t} + a \dfrac{u^n_{i+1} - u^n_{i-1}}{2 \Delta x} - 
 \dfrac{\Delta t}{2} a^2 \left( \dfrac{u^n_{i+1} - 2 u^n_{i} + u^n_{i-1}}{(\Delta x)^2}\right) = 0
\]

\begin{enumerate}[(a)]
 \item Interpretar el m\'etodo propuesto como una discretización centrada de un problema con ``difusión artificial''.
 \item \textquestiondown De qu\'e orden es el error de truncado en este caso?
 \item Estudiar la estabilidad mediante el m\'etodo de Fourier \textquestiondown El resultado depende del signo de $a$?
\end{enumerate}
\fej

\bej \textbf{(Leapfrog)}\label{leapfrog} Dada la ecuaci\'on  $U_t + a U_x  = 0 $ con  $a\in \reales$ y  $U(x,0)= U_0(x)$ se
propone el m\'etodo de 2 pasos dado por:

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n-1}}{2\Delta t} + a \frac{u_{j+1}^n-u^n_{j-1}}{2\Delta x}  = 0 $$
\begin{enumerate}[(a)]
\item  Analizar que restricci\'on debe imponerse para que se
satisfaga la condicióon CFL. 
\item ¿Cómo puede aproximarse el valor de la soluci\'on a tiempo $\Delta t$? ¿Qué condición de borde puede imponerse para resolver el problema numéricamente?
\item Considerar $a>0$  y demuestar que si $\frac{ \Delta
t}{\Delta x} \leq \frac1a$ el m\'etodo resulta estable. 
\end{enumerate}
\fej

\bej Para la ecuaci\'on $U_t + a U_x  = 0$
se propone un esquema con diferencias a izquierda, de la forma
\[
u_j^{n+1} = d_{-2}u_{j-2}^n + d_{-1}u_{j-1}^n + d_0u_j^n
\]
Determinar los coeficientes $d_{-2},d_{-1}$ y $d_0$, para que el m\'etodo
tenga un error de truncamiento del mayor orden posible. 
En tal caso, hallar condiciones que aseguren la validez de la condici\'on
CFL y la estabilidad por el m\'etodo de Fourier.
\fej

\bej  Implementar los métodos de los ejercicios~\ref{upwind},~\ref{lax_friedrichs},~\ref{lax_wendroff} y~\ref{leapfrog} 
para condiciones iniciales $U_0(x) = \sin(k x)$ con $k$ entero y comparar los resultados obtenidos con la soluci\'on exacta. 
\textquestiondown Qu\'e ocurre con $U_0(x) = \chi_{[0,1/2]}(x)$?
\fej

\bej
Muestrar que si $q(x)\approx c_1x+c_2x^2+c_3x^3 \dots$ para $x\approx 0$ entonces, para $x\approx 0$
$$ \mbox{arctg}(q(x))=c_1x+c_2x^2+(c_3-\frac{1}{3}c_1^3)x^3 \dots$$
\fej

\bej\textbf{(Error de Amplitud y Fase)} Estudiar los errores del factor de amortiguamiento $\lambda(k)$ y de fase para el $k$-\'esimo modo 
que se cometen al resolver la ecuaci\'on $U_t + aU_x = 0$ con los m\'etodos de los ejercicios~\ref{upwind},~\ref{lax_friedrichs},~\ref{lax_wendroff} y~\ref{leapfrog}.

\fej 


\section*{Leyes de Conservaci\'on}

%10
\bej
Se considera la Ley de Conservaci\'on
\begin{equation}\label{ley_cons}
\frac{d}{dt} \int_{x_1}^{x_2} U dx= f(U(t,x_1))-f(U(t,x_2)) \qquad \forall x_1,x_2 \in [a,b]
\end{equation}

Probar que una funci\'on $U$ suave que satisface~\eqref{ley_cons} tambi\'en verifica
\begin{equation}
\label{conservacion}
U_t+f(U)_x=0 \qquad x\in[a,b].
\end{equation}

Probar que la siguiente discretizaci\'on
\[\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{k} +\frac{ f(u_i^n)-f(u_{i-1}^n)}{h} =0 \]
satisface una relaci\'on an\'aloga a~\eqref{ley_cons} con $x_1=a, x_2=b$, y analizar qu\'e ocurre con la discretizaci\'on:
\[\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{k} +f'(u_i^n) \frac{u_i^n -u_{i-1}^n}{h} =0 \]
\textquestiondown Qu\'e error de truncado poseen estos m\'etodos?
\fej 

\bej Considerar la siguiente \textit{ecuaci\'on de Burgers inviscida} (caso particular de \eqref{conservacion} para $f(u)=\frac{u^2}{2}$):
\[U_t + UU_x = 0\ \ \ \ \ \ x\in \reales,\ t>0 \]
con dato inicial
\[U(x,0)=U_0(x)\]
\begin{enumerate}[(a)]
\item Verificar que la soluci\'on queda definida impl\'{\i}citamente
por $U=U_0(x-Ut)$.
\item Las curvas caracter\'{\i}sticas son de la forma $(x(t),t)$ con $x(t)=x_0 + t U_0(x_0)$.
\item Demostrar que 
$$U_x=\frac{U_0'(x-Ut)}{1+tU_0'(x-Ut)}$$
y por ende si para alg\'un $x_0$ es $U_0'(x_0)<0$ entonces existe un tiempo cr\'{\i}tico $t_c$
en el cual deja de existir $U_x$. Haga la misma cuenta para $U_t$.
\end{enumerate}
\fej 

\bej Considerar la \textit{ecuaci\'on de Burgers inviscida}
\[
\begin{array}{r l l l}
 \displaystyle U_t + \frac 12 (U^2)_x & = 0 & x\in \reales,\ t>0  \quad\quad & \mbox{(forma conservativa)}   \\[0.35cm]
 \displaystyle  U_t + UU_x & = 0 & x\in \reales,\ t>0 \quad\quad & \mbox{(forma semi-lineal)}
\end{array}
\]
Implementar las siguientes discretizaciones
\[
\begin{array}{l l l}
 \mbox{Up-Wind Conservativo:} \quad\quad & \displaystyle \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} = - \frac 12 \frac{(u_{i}^n)^2 - (u_{i-1}^n)^2}{\Delta x}  \\[0.35cm]
 \mbox{Up-Wind No-Conservativo:} \quad\quad & \displaystyle\frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} = - u_i^n \left( u_{i}^n - u_{i-1}^n  \right)
\end{array}
\]
para $x\in[0,10]$ y un tiempo final $T_f$, con los datos iniciales
\[
\begin{array}{l l l l l}
 \mbox{(a)}\quad U_0(x) = \chi_{(-\infty,\frac 12)}(x) + 0.2, & \; T_f=15 & \qquad \mbox{(c)}\quad U_0(x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}, & T_f=30  \\[0.35cm]
 \mbox{(b)}\quad U_0(x) = \chi_{(-\infty,\frac 12)}(x), & \; T_f=15 & \qquad \mbox{(d)}\quad U_0(x)=\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}, & T_f=30 \\[0.5cm]
\end{array}
\]
y distintos valores de $\Delta t$ y $\Delta x$ tendiendo a cero de modo que $\frac{\Delta t}{\Delta x} < 1$.

\textquestiondown Ambos m\'etodos son convergentes? \textquestiondown Convergen al mismo resultado en todos los casos?
\fej 


\bej Se considera la ecuaci\'on $U_t+f(U)_x=0$.
Verificar que para una soluci\'on $U$ y $f$ suficientemente regulares se tiene
\[ U_{tt} = \left( f'(U)f(U)_x \right)_x. \]
Dar la expansi\'on de Taylor
\[ \frac{ U(x_j,t_{n+1}) - U(x_j,t_n) }{\Delta t} \sim U_t(x_j,t_n) + \dfrac{\Delta t}{2} U_{tt}(x_j,t_n) + \dots \]
reemplazando derivadas temporales por espaciales adecuadamente, y tomando diferencias centradas en el espacio,
deducir el m\'etodo de Lax-Wendroff para la ley de conservaci\'on~\eqref{conservacion}

$$ \frac{u^{n+1}_j - u^{n}_j}{\Delta t} = -\frac{f(u^n_{j+1})-f(u^n_{j-1})}{2\Delta x} + \frac{\Delta t}{2\Delta x}
   \left[ f'(u^n_{j+1/2}) \frac{f(u^n_{j+1})-f(u^n_{j})}{\Delta x} - f'(u^n_{j-1/2}) \frac{f(u^n_{j})-f(u^n_{j-1})}{\Delta x} \right]$$
   
donde $u^n_{j\pm 1/2} = \dfrac{u_j^n + u_{j\pm 1}^n}{2}$. Observar que si $f'=cte$ se obtiene el m\'etodo correspondiente del ejercicio \ref{lax_wendroff}.

% $$u^{n+1}_j=u_j^n-\frac{1}{2}\nu\{(1-a_{j+1/2}^n\nu)(f(u_{j+1}^n)-f(u_{j}^n))
% +(1+a_{j-1/2}^n\nu)(f(u_{j}^n)-f(u_{j-1}^n))\}$$
% donde $a_{j+1/2}^n=f'(u_{j+1/2}^n)$, $a_{j-1/2}^n=f'(u_{j-1/2}^n)$. 


\fej


\section*{Ecuaci\'on de Ondas}

\bej Para la ecuaci\'on de ondas
$$ U_{tt} = U_{xx} \qquad x\in(0,1), \qquad t>0$$
considerar el m\'etodo expl\'icito que se obtiene al tomar diferencias centradas en $x$ y en $t$ 
$$u_{j}^{n+1}-2u_{j}^{n}+u_{j}^{n-1}=r(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}), $$
donde ahora tomamos $r=(\frac{\Delta t}{\Delta x})^2$
\begin{enumerate}[(a)]
 \item Estudiar consistencia y estabilidad del m\'etodo propuesto.
 \item Implementar el m\'etodo, para las condiciones de contorno $U(0,t)=U(1,t)=0$ e iniciales
  \[U(x,0)=\frac{1}{8} \sin (\pi x) ,\ \ \ U_t(x,0)=0 \]
 y comparar la soluci\'on num\'erica contra la soluci\'on exacta, para distintos 
 valores de $\Delta t$,$\Delta x$.
\end{enumerate}
\fej

\bej Estudiar la consistencia y estabilidad del siguiente m\'etodo para $U_{tt} = U_{xx}$ :
$$u_{j}^{n+1}-2u_{j}^{n}+u_{j}^{n-1}=\frac{1}{2}r\{(u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1})
+(u_{j+1}^{n-1}-2u_{j}^{n-1}+u_{j-1}^{n-1})\}. $$
\fej

\bej Definiendo $P=U_x$ y $Q=U_t$, verificar que la ecuación de ondas 
$U_{tt}= U_{xx}$ puede escribirse como el siguiente sistema de dos ecuaciones en derivadas 
parciales de primer orden  
\begin{equation*}
\left\lbrace
  \begin{array}{r}
      Q_t = P_x \\
      P_t = Q_x
      \end{array}
    \right.
\end{equation*}
Discretizar cada una de las ecuaciones seg\'un Lax-Friedrichs.
Probar que la discretizaci\'on para el sistema de ecuaciones es estable para $\dfrac{\Delta t}{\Delta x} \leq 1$.

% \[
% \frac{1}{\Delta t}(q_{i,j+1}-\frac{1}{2}(q_{i+1,j}+q_{i-1,j})) = \frac{1}{2\Delta x} (p_{i+1,j}-p_{i-1,j})
% \]
% \[
% \frac{1}{\Delta t}(p_{i,j+1}-\frac{1}{2}(p_{i+1,j}+p_{i-1,j})) = \frac{1}{2\Delta x} (q_{i+1,j}-q_{i-1,j})
% \]
% Probar que esta discretizaci\'on es estable para $\dfrac{\Delta t}{\Delta x} \leq 1$.
% \textquestiondown A qu\'e m\'etodo para el caso escalar corresponde? 

\fej

\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular}{ c }
\includegraphics[width=0.22\textwidth]{./Peter_Lax_in_Tokyo.jpg} \\
  Peter Lax  \\
  Budapest 1926 -
\end{tabular}
\end{table}



\end{document}
