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%Referencias
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%Idioma
\usepackage[spanish]{babel}

%Fuente
\usepackage[utf8]{inputenc}
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%Comandos para escribir N, Z, Q, R, C más rápido
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%Entornos con estilo 'tipo teorema'
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{ej}[equation]{Ejercicio}
\newtheorem{teo}[equation]{Teorema}
\newtheorem{prop}[equation]{Proposición}
\newtheorem{lem}[equation]{Lema}
\newtheorem{coro}[equation]{Corolario}

%Entornos con estilo 'tipo observación'
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{defi}[equation]{Definición}
\newtheorem{obs}[equation]{Observación}

%Hipervínculos cliqueables, en color azul
\usepackage[colorlinks=true,allcolors=blue]{hyperref}

%Título
\title{{\LARGE Topología}\\Segundo cuatrimestre 2022\\
\large Entrega 2: grupos topológicos
}

%Fecha
\date{}

%Nombre
\author{Nombre Apellido}

\begin{document}

\maketitle

Un \textit{grupo topológico} $G$ es un grupo dotado de una topología
tal que las funciones
\begin{align*}
    \mu &\colon G \times G \to G, & i \colon  G \to G, \\
    &(x,y) \mapsto x \cdot y & g \mapsto g^{-1}
\end{align*}
sean continuas. Algunos ejemplos de grupos topológicos son $\R$ con la suma, $S^1$
como subgrupo de $\C^\ast$ con la multiplicación, y $GL(n,\R)$ con la
multiplicación de matrices, todos considerados con sus topologías usuales. Observemos también que un subgrupo de un
grupo topológico es también un grupo topológico
al equiparlo con la topología subespacio.

De aquí en más fijamos un grupo topológico $G$;
notaremos $1$ a su elemento neutro.

\begin{ej} Pruebe que para cada $g \in G$ las funciones
\begin{align*}
    L_g &\colon G \to G, & R_g \colon  G \to G, \\
    &x \mapsto g \cdot x & x \mapsto x \cdot g
\end{align*}
son homeomorfismos.
\end{ej}

\begin{ej} Sea $U \ni 1$ un abierto de $G$.
\begin{itemize}
    \item[i)] Pruebe que existe un abierto $V \ni 1$ tal que $V \cdot V\subseteq U$ y $V^{-1} = V$.
    \item[ii)] Pruebe que un grupo topológico $T_0$ es $T_2$.
\end{itemize}
\end{ej}

Recordemos que el \emph{índice} de un subgrupo $H \le G$ es el cardinal
del conjunto de coclases $[G:H] := \# G/H$.

\begin{ej} Pruebe que si $G$ es un grupo topológico compacto, entonces
todo subgrupo abierto tiene índice finito.
\end{ej}

\end{document}
