\documentclass{amsart}

%Referencias
\usepackage{amsrefs}

%Idioma
\usepackage[spanish]{babel}

%Fuente
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[bitstream-charter]{mathdesign}


%Comandos para escribir N, Z, Q, R, C más rápido
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%Título
\title{Ejemplo de documento 
escrito en LaTeX
}

%Fecha
\date{}

%Entornos con estilo 'tipo teorema'
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{teo}[equation]{Teorema}
\newtheorem{prop}[equation]{Proposición}
\newtheorem{lem}[equation]{Lema}
\newtheorem{coro}[equation]{Corolario}


%Entornos con estilo 'tipo observación'
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{defi}[equation]{Definición}
\newtheorem{obs}[equation]{Observación}

%Hipervínculos cliqueables, en color azul
\usepackage[colorlinks=true,allcolors=blue]{hyperref}

\begin{document}

\maketitle

\begin{defi} La topología \emph{profinita}
de $\Z$ es la que tiene por base a 
\[
\beta := \{a \Z + b : a \in \Z \setminus \{0\}, \ b \in \Z \}.
\]
\end{defi}

\begin{obs} \label{obs:ab-inf}
Todo abierto no vacío de
la topología profinita de $\Z$ es infinito, 
ya que contiene un abierto básico y estos
son todos infinitos.
\end{obs}

Vamos a considerar de ahora en más a $\Z$
con esta topología.

\begin{lem} \label{lem:prog-cerr}
Sean $a,b \in \Z, a\neq 0$. El subconjunto $a \Z + b$ de $\Z$ es cerrado. 
\end{lem}
\begin{proof} Basta notar que su complemento 
es abierto al ser unión de abiertos básicos,
\[
a\Z + b = \bigcup_{0 \le j \le a, \ j \not \equiv b \pmod {a} } a\Z+j.
\]
\end{proof}

La siguiente demostración de la infinitud de los primos se debe a Furstenberg (\cite{Furstenberg}).

\begin{teo}[Euclides] Existen infinitos números primos.
\end{teo}
\begin{proof}
Sea $\mathcal{P} = \{p \in \Z : \text{$p$ es primo}\}$. Como todo entero
distinto de $1$ y $-1$ es divisible por un primo, podemos escribir
\begin{equation}\label{eq:primos}
\Z \setminus \{-1,1\} = \bigcup_{p \in \mathcal{P}} p\Z.
\end{equation}
Cada uniendo del lado derecho de la igualdad \eqref{eq:primos} es cerrado, por el Lema \ref{lem:prog-cerr}. Si $\mathcal{P}$
fuese finito, se tendría entonces que $\Z \setminus \{-1,1\}$ es cerrado. En otras 
palabras, el conjunto $\{-1,1\}$
sería abierto, contradiciendo la Observación
\ref{obs:ab-inf}. Esto concluye la prueba.
\end{proof}

%Referencias
\begin{bibdiv}
\begin{biblist}

\bib{Furstenberg}{article}{
   author={Furstenberg, Harry},
   title={On the infinitude of primes},
   journal={Amer. Math. Monthly},
   volume={62},
   date={1955},
   pages={353},
   issn={0002-9890},
   doi={10.2307/2307043},
}

\end{biblist}
\end{bibdiv}

\end{document}

