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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\fancyfoot[RO,LE]{{\sffamily Práctica 8}}
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\begin{center}
{\Large\bf\sffamily Topología}

Segundo cuatrimestre - 2019

Práctica 8

{\bf\sffamily Teorema de van Kampen y clasificación de revestimientos}
\end{center}


\begin{center} \rule{12cm}{.4mm} \end{center}
\bigskip
%%%%%%%%%%%%%%%
\sffamily

\begin{enumerate}

\item
Sea $X=U\cup V$ con $U,V$ abiertos arcoconexos tales que $U\cap V$ es no vacío y arcoconexo, y sea $\psi:U\to X$ la inclusión.
	\be
	\item Probar que si $V$ es simplemente conexo, entonces $\psi_*:\pi_1(U,x)\to\pi_1(X,x)$ es un epimorfismo.
	\item Probar que si $V$ y $U\cap V$ son simplemente conexos, entonces $\psi_*:\pi_1(U,x)\to\pi_1(X,x)$ es un isomorfismo.
	\en
	
\item
Sea $x$ un punto de $\R^2$ y sea $X_n\subset\R^2$ la unión de $n$ circunferencias $C_1,...,C_n$ tales que $C_i\cap C_j=\{x\}$ para todo $i,j$. Probar que $\pi_1(X_n,x)$ es el grupo libre con $n$ generadores.

\item
Sea $Y_n\subset\R^2$ el siguiente conjunto:
		$$Y_n=\{ p\in\R^2 : \exists j\in\{1,...,n\} / |p-(j-1/2,0)|=1/2\}$$
Calcular $\pi_1(Y_n,0)$.

\item
Probar que la esfera $n$-dimensional $S^n$ es simplemente conexa  para $n\geq 2$. Concluir que el grupo fundamental del espacio proyectivo $\P^n(\R)$ es el grupo cíclico de orden 2 para $n\geq 2$.

\item
Calcular los grupos fundamentales de los siguientes espacios.
	\be
	\item	$T\setminus\{y\}$, el toro sin un punto.
	\item $P^2(\R)\setminus\{y\}$, el plano proyectivo sin un punto.
	\item $S^n\vee S^n$, la unión por un punto de dos copias de $S^n$.
	\item $S^1\cup (\R_{\geq 0}\times\{0\})$.
	\item $S^1\cup (\R_{\geq 0}\times\R)$.
	\item $S^1\cup (\R\times\{0\})$.
	\item $\R^2\setminus (\R_{\geq 0}\times\{0\})$.
	\en

\item
Sea $K=I\times I/\sim$ donde $(x,y)\sim(x',y')$ si se satisface alguna de las siguientes condiciones:
$$(x=x'\text{ e } y=y') \text{ ó }(\{y,y'\}=\{0,1\} \text{ y } x=x')\text{ ó }(\{x,x'\}=\{0,1\}\text{ y }y+y'=1)$$
El espacio $K$ es la {\em Botella de Klein}. Calcular (una presentación d)el grupo fundamental de $X$.




\item
%Una función se dice {\em homotópicamente nula} o {\em null-homotópica} si es homotópica a una función constante.
\be	\item Probar que si $n>1$, entonces toda función continua $S^n\to S^1$ es null-homotópica.
		\item Probar que toda función continua $P^2\to S^1$ es null-homotópica.
		\item Exhibir una función $S^1\times S^1\to S^1$ que no sea null-homotópica.
		\en
	

\item
Sea $T=S^1\times S^1$ el toro. Considerando el isomorfismo $\pi_1(T,(b_0,b_0))\cong\Z\times\Z$ dado por las proyecciones, describir los revestimientos de $T$ asociados a los subgrupos
\be	\item $\Z\times 0\subset \Z\times\Z$;
		\item el subgrupo generado por $(1,1)\in\Z\times\Z$;
		\item $\{(2n,2m): n,m\in\Z\}$.
		\en

\item
\be	\item Probar que todo isomorfismo de $\pi_1(T,x_0)$ está inducido por algún homeomorfismo $T\to T$ que deja quieto a $x_0$.
		\item Probar que si $E$ es un revestimiento conexo de $T$, entonces $E$ es homeomorfo a $\R^2$, $S^1\times\R$ ó $T$.
		
		Sugerencia: si $F$ es un grupo abeliano libre de rango $2$ y $N$ es un subgrupo no trivial, entonces existe una base $\{a_1, a_2\}$ de $F$ tal que $\{na_1\}$ es base de $N$ para algún $n$ o bien $\{na_1, ma_2\}$ es base de $N$ para ciertos $n,m$.
		\en

\item
Sea $G$ un grupo topológico arcoconexo y localmente arcoconexo con elemento neutro $e$, y sea $p:\tilde G\to G$ un revestimiento con $\tilde G$ arcoconexo y $\tilde e\in p^{-1}(e)$. 
Probar que la multiplicación $\mu:G\times G\to G$ y la función $\nu:G\to G$, $\nu(x)=x^{-1}$ se levantan a funciones $\tilde \mu:\tilde G\times \tilde G\to \tilde G$  y $\tilde \nu:\tilde G\to \tilde G$ que hacen de $\tilde G$ un grupo topológico con neutro $\tilde e$. Probar además que $p$ es un morfismo.

%\item
%Sean $q:X\to Y$  y $r:Y\to Z$ revestimientos. Probar que si $Z$ admite revestimiento universal, entonces $rq$ también es revestimiento.

\item
Probar que si $B$ admite un revestimiento universal, entonces $B$ es semilocalmente simplemente conexo.

\item

Sean $X, Y, Z$ espacios arcoconexos y localmente arcoconexos y sean $q:X\to Y$, $r:Y\to Z$ funciones continuas. Sea $p=rq$.
\begin{enumerate}
\item Probar que si $p$ y $r$ son revestimientos, también lo es $q$.
\item Probar que si $p$ y $q$ son revestimientos, también lo es $r$.
\item Probar que si $q$ y $r$ son revestimientos y el espacio $Z$ admite un revestimiento universal, entonces $p$ también es un revestimiento.
\end{enumerate}

%\item
%Sea $H=\cup_{n\geq 1} \partial B_{1/n}(1/n,0)\subset\R^2$ el {\em arito Hawaiano}.
%\be	\item Probar que $H$ no es semilocalmente simplemente conexo.
%		\item Sea $C(H)$ el {\em cono} de $H$, que consiste en el subespacio de $\R^3$ formado por la unión de todos los segmentos que unen un punto de $H\subset\R^2\times\{0\}$ con el punto $(0,0,1)$. Probar que $C(H)$ es semilocalmente simplemente conexo pero no localmente simplemente conexo.
%		\en

\item
Sean $E,B$ arcoconexos y localmente arcoconexos, y sea $p:E\to B$ un revestimiento. Una {\em transformación deck} es un homeomorfismo $h:E\to E$ tal que $ph=p$.
\be	\item Sean $e_0,e_1\in p^{-1}(b_0)$. Probar que existe una transformación deck $h$ tal que $h(e_0)=e_1$ si y sólo si $p_*(\pi_1(E,e_0))=p_*(\pi_1(E,e_1))$. Probar que si $h$ existe, entonces es única.
		\item Si $H=p_*(\pi_1(E,e_0))$ es normal en $\pi_1(B,b_0)$, entonces $p:E\to B$ se dice un {\em revestimiento regular}. Probar que en ese caso, el grupo de transformaciones deck de $E$ es isomorfo al grupo cociente $\pi_1(B,b_0)/H$.
		\item Concluir que si $p:E\to B$ es un revestimiento universal de $B$, entonces $\pi_1(B,b_0)$ es isomorfo al grupo de transformaciones deck.
		\en

\item
Describir el grupo de transformaciones deck del revestimiento usual $p:\R\times\R\to S^1\times S^1$.

%\item
%Probar que un revestimiento conexo de dos hojas es regular.
%
%\item
%(Difícil) Sea $X$ un espacio arcoconexo, localmente arcoconexo y semilocalmente simplemente conexo.
%\be	\item Probar que si $X$ es regular y tiene una base numerable, entonces $\pi_1(X,x)$ es numerable.
%		\item Probar que si $X$ es compacto y Hausdorff, entonces $\pi_1(X,x)$ es finitamente generado.
%		\en


\end{enumerate}
\end{document} 

