\documentclass[12pt]{article}
\topmargin -0.7in \oddsidemargin -0.5in \evensidemargin -0.7in
\textwidth 7.3in \textheight 9.5in
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

%\noindent \textbf{Probabilidad y Estad\'\i stica
%(C)}\hspace{7.5cm}\textbf{primer parcial - 2008} \vspace{-0.3cm}
%\newline
\noindent\textbf{Estad\'istica (M) }\hfill \textbf{Trabajo pr\'actico 1}
\newline \rule{18.5cm}{0.2mm} \\
\textbf{Aclaraciones:}
\begin{itemize}
\item El TP se puede hacer \textbf{individualmente o de a dos}.
\item Los razonamientos y c\'alculos realizados se pueden presentar en una hoja (prolijamente) o en Latex. Se debe enviar tambi\'en el script de R que usaron para resolver la parte de programaci\'on y alg\'un archivo que contenga el gr\'afico del \'ultimo item (con su interpretaci\'on).
\item Se puede usar cualquier material, incluyendo lo visto en clase, Google, Wikipedia, el help de R, etc.
\item La fecha l\'imite de entrega es el \textbf{jueves 13 de octubre}.

\end{itemize}\rule{18.5cm}{0.2mm}

\vspace{0.7cm}

Supongamos que tenemos $X_1, \dots, X_n$ una muestra aleatoria de una distribuci\'on $N(0,\sigma^2)$ con $\sigma^2$ desconocido. Nos interesa estimar $\sigma^4$.

\begin{enumerate}
\item Usando alg\'un m\'etodo visto en clase, hallar un estimador $\delta = \delta(X_1, \dots, X_n)$ IMVU para $\sigma^4$.

\item \label{var_delta} Hallar la esperanza y la varianza de $\delta$ (en funci\'on de $\sigma^2$). Decidir si dicho estimador es consistente y, en caso afirmativo, decidir si esa consistencia es fuerte o d\'ebil.\\
\textsl{Sugerencia:} Probar y usar que
\begin{equation*}
 \sum_{i = 1}^n X_i^2 \sim \sigma^2 \chi^2_n.
 \end{equation*} 

\item \label{asint_delta} Hallar la distribuci\'on asint\'otica de $\delta$.

\item \label{datos} Supongamos que $n = 12$ y que la muestra observada es
\begin{center}
3.87 \,  4.37 \, -0.59 \, -2.31 \,  2.74 \, -4.93 \, -4.41 \, 0.63 \, 2.89 \, 14.70 \, -6.16 \, -5.56.
\end{center} Queremos tener distintas estimaciones para la varianza de $\delta$ (que de ahora en m\'as llamaremos $v$) en este caso.
\begin{enumerate}
\item Estimar $\sigma^2$ (usando un estimador IMVU para este par\'ametro) y estimar $v$ usando el item \ref{var_delta}.
\item Estimar $v$ usando la distribuci\'on asint\'otica de $\delta$ hallada en el punto \ref{asint_delta}. Si necesita estimar a una funci\'on $g(\sigma^2)$, h\'agalo tomando $g(\widehat{\sigma^2})$ donde $\widehat{\sigma^2}$ es el estimador IMVU de $\sigma^2$.
\item Estimar $v$ haciendo un Bootstrap no param\'etrico de los datos (es decir, remuestreando de la distribuci\'on emp\'irica $F_n$). Antes de generar las muestras Bootstrap, fijar la semilla usando la funci\'on \texttt{set.seed()}. Fijar esta semilla fija la ``aleatoriedad" con la que se generan los datos y de esta forma se puede replicar la simulaci\'on.
\item Estimar $v$ haciendo un Bootstrap param\'etrico (es decir, generando nuevas muestras de tama\~no $n$ con distribuci\'on $N(0,\widehat{\sigma^2})$). Al igual que en el item anterior, fije la semilla con las que genera las muestras Bootstrap. 
\end{enumerate}

\newpage

\item Vamos a realizar el siguiente estudio de simulaci\'on: suponemos que el $\sigma^2$ real que genera los datos es igual a $1$ y para cada uno de los valores de $n = 10,30,80,150,300$ hacemos lo siguiente:
\begin{enumerate}
\item \label{var_ex} Hallar la varianza exacta de $\delta$ cuando $\sigma^2$ es igual a 1.
\item Generar una muestra de tama\~no $n$ de una distribuci\'on $N(0,1)$. Usando esta muestra, hacer las mismas cuatro estimaciones de $v$ que hicimos en el item \ref{datos}.
\item Repetir el item anterior 1000 veces, obteniendo as\'i 1000 realizaciones para cada uno de los cuatro estimadores de $v$. Fijar la semilla que genera las 1000 muestras de tama\~no $n$.
\item Para cada uno de los cuatro m\'etodos, hacer un histograma de las 1000 realizaciones obtenidas. \textquestiondown Qu\'e estima este histograma?
\item Usando las 1000 replicaciones para cada m\'etodo y el valor exacto de $v$ hallado en \ref{var_ex}, estimar el error cuadr\'atico medio (ECM) para cada uno de los cuatro m\'etodos.
\item Poner en un mismo gr\'afico y en funci\'on de $n$ los valores estimados de los ECM de los cuatro m\'etodos. En base al gr\'afico, decidir cual de los cuatro m\'etodos usar\'ia.
\end{enumerate}
\end{enumerate}




\end{document}
