\documentclass[12pt]{article}

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\def\natural{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt N$}}
\def\real{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt R$}}
\newcommand{\convpp}{ \buildrel{a.s.}\over\longrightarrow}
\newcommand{\convprob}{ \buildrel{p}\over\longrightarrow}
\newcommand{\convdist}{ \buildrel{{\cal D}}\over\longrightarrow}
\newcommand\bY {{\bf{Y}}}
\newcommand\bX {{\bf{X}}}

\begin{document}
\noindent
\textbf{Estad\'\i stica (M)}\hspace{12.6cm}\textbf{Pr\'actica 7}
\vspace{-0.3cm}
\newline
\rule{18cm}{0.2mm}

\sf{A) Intervalos de confianza para una muestra.}

\begin{enumerate}
\item [1.] Sea $X_{1},\ldots ,X_{n}$ una muestra aleatoria de una poblaci\'{o}n
con distribuci\'{o}n $N\left( \mu ,\sigma _{0}^{2}\right)$ $\left( \sigma
_{0}^{2}\mbox{ conocido}\right)$. Sup\'{o}ngase que se pide un intervalo de
confianza para $\mu $ de nivel $1-\alpha.$ Mostrar que al elegir $A=z_{\frac{%
\alpha }{2}}$ y $B=-z_{\frac{\alpha }{2}}$ se obtiene el intervalo de
longitud m\'{\i}nima entre los contruidos considerando $A=z_{\beta }$ y $%
B=z_{1-\delta },$ con $\beta +\delta =\alpha $. En base al intervalo de confianza, construir un test para las hip\'otesis

$$
\mbox{H}_0: \mu = \mu_0 \ \ vs \ \ \mbox{H}_1: \mu \neq \mu_0
$$


\item [2.]Se trata de medir el per\'{\i}odo de un p\'{e}ndulo y se tiene un cron%
\'{o}metro de precisi\'{o}n conocida (es decir, se conoce la varianza del
error). Se supone que las observaciones son de la forma $Y_{i}=\mu
+\varepsilon _{i}$, donde los $\varepsilon _{i}$ tienen distribuci\'{o}n $%
N\left( 0,1/4\right) $ y son independientes. Los datos obtenidos son: 
\[
\begin{array}{lllllccccc}
5.1 & 5.2 & 5.6 & 5.1 & 5.5 & 5.8 & 5.9 & 4.9 & 5.2 & 5.6
\end{array}
\]

\begin{enumerate}
\item Encontrar un intervalo de confianza para $\mu $ de nivel 0.95.

\item \textquestiondown Cu\'{a}l deber\'{\i}a haber sido el tama\~{n}o de la
muestra si se hubiera deseado que la longitud del intervalo fuese a lo sumo
0.10?
\end{enumerate}

\item [3.] La distribuci\'{o}n del \'{\i}ndice de colesterol en cierta poblaci%
\'{o}n es $N\left( \mu ,\sigma ^{2}\right) $. Se hacen an\'{a}lisis a 25
personas elegidas al azar entre esta poblaci\'{o}n y se obtienen los
siguientes valores: 
\[
\begin{array}{lllllcccccccc}
1.52 & 1.65 & 1.72 & 1.65 & 1.72 & 1.83 & 1.62 & 1.75 & 1.72 & 1.68 & 1.51 & 
1.65 & 1.58 \\ 
1.65 & 1.61 & 1.70 & 1.60 & 1.73 & 1.61 & 1.52 & 1.81 & 1.72 & 1.50 & 1.82 & 
1.65 & 
\end{array}
\]

\begin{enumerate}
\item Encontrar un intervalo de confianza para $\mu $ de nivel 0.95.

\item \textquestiondown Cu\'{a}ntos datos adicionales deben obtenerse para
poder construir un intervalo de confianza para $\mu $ de nivel 0.95 pero con
una longitud no mayor que 0.05? \textquestiondown Qu\'{e} forma tendr\'{\i}a
este intervalo?

\item Encontrar un intervalo de confianza para $\sigma $ de nivel $0.90.$

\item Encontrar un intervalo de confianza para $\exp \left( -\mu \right) $
de nivel $0.95$.
\end{enumerate}

\item [4.]

\begin{enumerate}
\item Probar que si $X$ tiene distribuci\'{o}n $\varepsilon \left( \lambda
\right) ,$ entonces $Y=2\lambda X$ tiene distribuci\'{o}n $\chi _{2}^{2}.$

\item Sean $X_{1},\ldots ,X_{n}$ una muestra aleatoria de una poblaci\'{o}n
con distribuci\'{o}n $\varepsilon \left( \lambda \right) .$ Mostrar que $
T=2\lambda\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ tiene distribuci\'{o}n   $\chi _{2n}^{2}.$

\item En base a $b)$ hallar una familia de intervalos de confianza para $\lambda $ de
nivel $1-\alpha .$

\item En base a $c)$ hallar una familia de tests de nivel $\alpha$ para el problema
$$
\mbox{H}_0: \lambda = \lambda_0 \ \ vs \ \ \mbox{H}_1: \lambda\neq\lambda_0
$$
?`Cu\'al de ellos se corresponde con el test IUMP de nivel $\alpha$? ?`Coincide con el proveniente del intervalo de longitud m\'inima?
%\item Se sabe que el tiempo de duraci\'{o}n de cierto tipo de l\'{a}mparas
%tiene distribuci\'{o}n $\varepsilon \left( \lambda \right) $. Se han probado
%20 l\'{a}mparas y los tiempos de duraci\'{o}n de los mismos en d\'{\i}as
%fueron los siguientes
%\[
%\begin{tabular}{llllllllll}
%$25$ & $45$ & $50$ & $61$ & $39$ & $40$ & $45$ & $47$ & $38$ & $39$ \\ 
%$54$ & $60$ & $39$ & $46$ & $39$ & $50$ & $42$ & $50$ & $62$ & $50$%
%\end{tabular}%
%\]%
%Hallar un intervalo de confianza para $\lambda $ de nivel $0.99.$

\end{enumerate}


\item [5.] Sean $X_{1},\ldots ,X_{n}$ una muestra aleatoria con distribuci\'{o}n $%
U\left[ 0,\theta \right] $ y sea $T=\max \left( X_{1},\ldots ,X_{n}\right) .$

\begin{enumerate}
\item Mostrar que $T/\theta $ tiene distribuci\'{o}n independiente de $%
\theta .$

\item Usando $a)$ hallar un intervalo de confianza de longitud m\'{\i}nima
para $\theta $ de nivel $1-\alpha .$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage
\newpage
\mbox{\sf{B) Intervalos de confianza para dos muestras.}}

\begin{enumerate}
\item [6.] Se desea comparar los rendimientos de dos variedades de trigo A y B.
Se han cultivado 15 parcelas elegidas al azar con la variedad A y 20 con la
variedad B, obteni\'{e}ndose los siguientes rendimientos por hect\'{a}rea: 
\[
\begin{array}{lllllllllllccccc}
{\mbox{\bf{Var. A:}}} & 250 & 252 & 245 & 258 & 240 & 247 & 251 & 249 & 250
& 243 & 247 & 260 & 238 & 241 & 239 \\ 
{\mbox{\bf{Var. B:}}} & 330 & 335 & 327 & 329 & 320 & 332 & 337 & 328 & 334
& 326 & 331 & 332 & 328 & 329 & 337 \\ 
& 341 & 336 & 338 & 325 & 321 
\end{array}
\]
Se supone que los rendimientos de la variedad A tienen distribuci\'{o}n $%
N\left( \mu _1,\sigma ^2\right) $ y los de la otra variedad $N\left( \mu
_2,\sigma ^2\right) $, independientes entre s\'{\i}.

\begin{enumerate}
\item Hallar un intervalo de confianza para $\mu _{1}-\mu _{2}$ de nivel $%
0.99$.

\item \textquestiondown Qu\'{e} le sugerir\'{\i}a el hecho de que el 0 no
pertenezca al intervalo hallado? \textquestiondown Qu\'{e} pensar\'{\i}a en
caso contrario?

\item Hallar un intervalo de confianza para $\sigma ^{2}$ de nivel $0.99.$

\item Hallar un intervalo de confianza para $\sigma $ de nivel $0.90$.
\end{enumerate}

\item [7.] Sea $X_1,\dots ,X_{n_1}$ una m.a. de una distribuci\'{o}n $N\left( \mu
_1,\sigma _1^2\right) $ y sea $Y_1,\dots ,Y_{n_2}$ una m.a. de una distribuci%
\'{o}n $N\left( \mu _2,\sigma _2^2\right) ;$ las muestras son independientes
entre s\'{\i}. Llamemos $s_1^2$ y $s_2^2$ a las varianzas muestrales
respectivas.

\begin{enumerate}
\item Probar que 
\[
\frac{s_1^2/\sigma _1^2}{s_2^2/\sigma _2^2}\sim \mathcal{F}_{n_1-1,n_2-1}. 
\]

\item Deducir un intervalo de confianza para $\sigma _1^2/\sigma _2^2$ de
nivel $1-\alpha $.

\item \textquestiondown Que podr\'{\i}a deducir si 1 no pertenece a este
intervalo?\textquestiondown Y en caso contrario?
\end{enumerate}

\item [8.] Se tienen dos variedades de trigo A y B. Se eligen al azar 15
parcelas, y cada una de ellas se divide en dos partes iguales. En una parte
se cultiva la variedad A y en la otra la B. Se obtienen as\'{\i}~15 pares de
datos: 
\[
\begin{array}{cccccccccccccccc}
\mbox{\bf{Parcela:}} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12
& 13 & 14 & 15 \\ 
{\mbox{\bf{Var. A:}}} & 41 & 37 & 36 & 39 & 44 & 42 & 38 & 37 & 35 & 32 & 
39 & 30 & 40 & 41 & 37 \\ 
{\mbox{\bf{Var. B:}}} & 39 & 35.3 & 33.5 & 36 & 42.5 & 38 & 36 & 34.8 & 
33.2 & 29 & 29 & 36.6 & 28.4 & 38.5 & 39%
\end{array}
\]
Sea $X_{i}$ el rendimiento de la variedad A en la parcela $i$ e $Y_{i}$ el
rendimiento de la variedad B en la misma parcela. Se supone que $\left(
X_{i},Y_{i}\right) ,$ $1\leq i\leq 15,$ es una muestra de una distribuci\'on normal bivariada con par\'{a}metros desconocidos. 
Hallar un intervalo de confianza para $\mu _{X}-\mu _{Y}$ de nivel $%
0.95$.
\end{enumerate}


\mbox{\sf{C) Intervalos de confianza con nivel asint\'otico.}}

\begin{enumerate}
\item [9.]
\begin{enumerate}
\item  Dada una muestra aleatoria de una distribuci\'{o}n $Bi\left(
1,p\right) ,$ construir un intervalo de confianza de nivel asint\'{o}tico $%
1-\alpha. $
\item Una droga cura cierta enfermedad con probabilidad $p$. En una prueba
con 100 enfermos, se curaron 30.

\begin{enumerate}
\item Hallar un intervalo de confianza para $p$ de nivel asint\'{o}tico 0.95.

\item \textquestiondown Qu\'{e} tama\~{n}o de muestra deber\'{\i}a tomarse
si se desea una longitud menor que 0.1?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item [10.]
\begin{enumerate}
\item Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra aleatoria de una distribuci\'{o}n 
$\mathcal{P}\left( \lambda \right) .$ Hallar un intervalo de confianza para $%
\lambda $ de nivel asint\'{o}tico $1-\alpha. $

\item El n\'{u}mero de llamadas diarias a una central telef\'{o}nica sigue
un proceso de Poisson con media $\lambda $. Se ha registrado el n\'{u}mero
de llamadas durante 20 d\'{\i}as, obteni\'{e}ndose los siguientes valores: 
\[
\begin{array}{llllllllll}
35 & 41 & 38 & 40 & 34 & 36 & 41 & 48 & 42 & 46 \\ 
39 & 37 & 41 & 35 & 37 & 38 & 42 & 43 & 44 & 67%
\end{array}
\]
Hallar un intervalo de confianza para $\lambda $ de nivel asint\'{o}tico
0.90.
\end{enumerate}

\item [11.]
\begin{enumerate}
\item Sup\'{o}ngase que $X_{1},\dots ,X_{n_{1}}$ es una m.a. de una
distribuci\'{o}n $N\left( \mu _{1},\sigma _{1}^{2}\right) $ y que $%
Y_{1},\dots ,Y_{n_{2}}$ es una m.a. de una distribuci\'{o}n $N\left( \mu
_{2},\sigma _{2}^{2}\right) $, independiente de la anterior. Mostrar que 
\[
\frac{\bar{X}-\bar{Y}-\left( \mu _{1}-\mu _{2}\right) }{\displaystyle\sqrt{\frac{s_{1}^{2}%
}{n_{1}}+\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}}\buildrel{{\cal D}}\over\longrightarrow N\left( 0,1\right) 
\]%
cuando $n_{1}\rightarrow \infty $ y $n_{2}\rightarrow \infty $ de modo que $%
n_{1}/n_{2}\rightarrow \lambda $ constante.

\item Hallar un intervalo de confianza de nivel asint\'{o}tico $\left(
1-\alpha \right) $ para $\mu _{1}-\mu _{2}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\sf{D) Ejercicios para hacer en la computadora.}

\begin{enumerate}

\item Realizar el siguiente estudio de simulaci\'on. Generar una muestra aleatoria de variables $X_i \sim Bi(n,p)$ con $(1\leq   i\leq   k).$ 
Para cada variable aleatoria $X_i$ construir los tres intervalos de confianza para $p$ de nivel (asint\'otico o exacto seg\'un corresponda) 0.95 vistos en clase. De este modo se consiguen $k$ intervalos de confianza, constru\'\i dos a trav\'es del m\'etodo 1, $k$ a trav\'es del m\'etodo 2 y $k$ a trav\'es del m\'etodo 3.
\begin{enumerate}
\item[-] M\'etodo 1: de nivel asint\'otico cuando se sustituye el valor de $p$ en la varianza por $\bar{X}$.
\item[-] M\'etodo 2: de nivel asint\'otico cuando no se sustituye a $p$ y se calcula los extremos del intervalo como ra\'\i ces de una cuadr\'atica.
\item[-] M\'etodo 3: de nivel exacto. 
\end{enumerate}
Tomar $k = 2000$ y los siguientes valores de $n$ y $p.$
\begin{enumerate}
\item[-] $n = 20; 50; 100.$
\item[-] $p= 0.10;  0.50.$
\end{enumerate}
Para cada muestra $X_i$ guardar los siguientes resultados : el intervalo de confianza obtenido, la longitud de dicho intervalo, un 1 si el IC hallado contiene al verdadero valor de  p y un 0 en caso contrario. 

Para cada combinaci\'on de $n$ y $p$:
\begin{enumerate}
\item Estimar la longitud esperada para ambos m\'etodos.
\item Estimar la probabilidad de cobertura para ambos m\'etodos.
\item Sacar conclusiones.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}