\documentclass[12pt]{article}

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\usepackage{color}

\def\natural{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt N$}}
\def\real{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt R$}}
\newcommand{\convpp}{ \buildrel{a.s.}\over\longrightarrow}
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\newcommand{\convdist}{ \buildrel{{\cal D}}\over\longrightarrow}
\newcommand\bY {{\bf{Y}}}
\newcommand\bX {{\bf{X}}}

\begin{document}

\noindent
\textbf{Estad\'\i stica (M)}\hspace{12.6cm}\textbf{Pr\'actica 6}
\vspace{-0.3cm}
\newline
\rule{18cm}{0.2mm}

{\sf A) Tests de Neyman-Pearson para hip\'{o}tesis simples.}

\begin{enumerate}
\item  Una empresa vende dos variedades de soja. La variedad 1 tiene un
rendimiento por ha. que puede considerarse una variable aleatoria con
distribuci\'{o}n $N\left( 37,25\right) ,$ y la variedad 2 tiene un
rendimiento por ha. que puede considerarse $N\left( 40,25\right) $. Un
cliente realiz\'{o} una compra de semillas de la variedad 2 y antes de
continuar comprando a esta empresa, quiere asegurarse de que las semillas
que le enviaron realmente pertenecen a esa variedad. Con ese fin, cultiva 10
parcelas de 1 ha. y obtiene los siguientes rendimientos: 
\[
\begin{array}{cccccccccc}
37 & 39.5 & 41.7 & 42 & 40 & 41.25 & 43 & 44.05 & 38 & 38.5
\end{array}
\]

El cliente quiere que la probabilidad de seguir comprando a esta empresa
cuando las semillas no son de la variedad pedida sea 0.05.

\begin{enumerate}
\item  Plantear el test MP para este problema. \textquestiondown Qu\'{e}
decisi\'{o}n se toma?

\item  Hallar el valor $p.$ \textquestiondown Se hubiera rechazado $H_0$
para $\alpha =0.01?$

\item  Calcular la probabilidad del error de tipo II.

\item  Determinar el n\'{u}mero $n$ de parcelas a cultivar para que el error
de tipo II tenga probabilidad menor o igual que 0.05.\medskip
\end{enumerate}

\item  Consideremos dos funciones de probabilidad puntual $P_{0}\left(
x\right) $ y $P_{1}\left( x\right) $ dadas por la siguiente tabla: 
\[
\begin{tabular}{l|cccc|}
\cline{2-5}
& $x_{1}$ & \multicolumn{1}{|c}{$x_{2}$} & \multicolumn{1}{|c}{$x_{3}$} & 
\multicolumn{1}{|c|}{$x_{4}$} \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{$P_{0}$} & \multicolumn{1}{|l}{0.05} & 
\multicolumn{1}{l}{0.00} & \multicolumn{1}{l}{0.05} & \multicolumn{1}{l|}{
0.90} \\ \cline{1-1}
\multicolumn{1}{|l|}{$P_{1}$} & \multicolumn{1}{|l}{0.00} & 
\multicolumn{1}{l}{0.05} & \multicolumn{1}{l}{0.90} & \multicolumn{1}{l|}{
0.05} \\ \hline
\end{tabular}
\]
Se observa una v.a. $X$ y se quiere testear $H_{0}:X\sim P_{0}$ vs $%
H_{1}:X\sim P_{1}.$

\begin{enumerate}
\item  Encontar los 4 tests no aleatorizados de nivel $\alpha =0.05$ para
este problema.

\item  Entre estos 4 tests de nivel $\alpha $, \textquestiondown cu\'{a}l es
el mejor?

\item  Probar que el test hallado en el inciso anterior es el m\'{a}s
potente de nivel $\alpha .$

\item  \textquestiondown Hay alg\'{u}n test no aleatorizado de nivel menor
que $\alpha $? \textquestiondown Qu\'{e} potencia tiene?
\item  Encontrar el test m\'{a}s potente de nivel $\alpha =0.10.$
\end{enumerate}

\item  Sea $X_1,\ldots ,X_n$ una m.a. que puede provenir de dos poblaciones:
la hip\'{o}tesis nula es que $X_i$ tiene distribuci\'{o}n ${\cal U}\left(
0,50\right) $ y la alternativa es que tiene densidad 
\[
f\left( x\right) =\frac x{1250}I_{\left[ 0,50\right] }\left( x\right) . 
\]
Encontrar el test MP para este problema.

({\em Sugerencia:} Analizar la distribuci\'{o}n de $-\ln \left( X/50\right)
. $)

\item Sea $X_{1},\ldots ,X_{n}$ una m.a. de una distribuci\'{o}n $F\left(
x,\theta \right) $ y sea $T\left( \bX \right) $ un estad\'{\i}%
stico suficiente para $\theta $. Si $\Phi \left( \bX\right) $
es el test m\'{a}s potente de nivel $\alpha $ para 
\[
H:\theta =\theta _{1}\mbox{ \ \ \ \ \ vs \ \ \ }K:\theta =\theta _{2}\mbox{
\ \ \ \ }
\]%
mostrar que $\Phi \left( \bX\right) $ est\'{a} basado en $%
T\left( \bX\right) ,$ o esa depende de la muestra s\'olo a trav%
\'{e}s de $T\left( \bX\right) .$

\item Sea $X\sim \mathcal{C}\left( \theta ,1\right) ,$ mostrar que el test 
\[
\Phi \left( X\right) =\left\{ 
\begin{tabular}{lll}
1 &  & si $1<X<3$ \\ 
0 &  & en otro caso%
\end{tabular}%
\right. 
\]%
es el mejor para su nivel para testear 
\[
H:\theta =0\mbox{ \ \ \ \ \ vs \ \ \ }K:\theta =1.
\]

\item Sea $\Phi $ el mejor test de nivel $\alpha $ $\left( 0<\alpha
<1\right) $ para 
\[
H:\theta =\theta _{0}\mbox{ \ \ \ \ \ vs \ \ \ }K:\theta =\theta _{1}.
\]%
Mostrar que 
\[
E_{\theta _{1}}\left( \Phi \left( X\right) \right) =\beta _{\Phi }\left(
\theta _{1}\right) >\alpha ,\mbox{ \ \ \ }
\]%
salvo que $P_{\theta _{0}}=P_{\theta _{1}}.$
%\end{enumerate}

\vskip 0.5cm

{\sf B) Tests para familias con cociente de verosimilitud mon\'{o}tono.}

%\begin{enumerate}

\item Probar que las siguientes familias son de cociente de verosimilitud mon\'otono:
\begin{enumerate}
\item ${\cal U}(\theta, \theta+1)$ 
\item Las familias exponenciales a un par\'ametro con densidad o probabilidad $$p(x|\theta)=a(\theta)h(x)\exp(c(\theta)t(x))$$ siempre que $c(\theta )$ sea estrictamente creciente. Luego las familias: binomial, binomial negativa, Poisson, Gamma, Beta y Normal (estas 3 \'ultimas considerando uno de los par\'ametros fijos) son de CVM.
\item ${\cal H}(n,m,M)$ donde $m$ es el \'unico par\'ametro desconocido, siendo 
$$
P_{X}(x)= \frac{\left(\begin{array}{c}m\\ x\end{array} \right)\left(\begin{array}{c}M-m\\ n-x\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}M\\ n\end{array}\right)}
$$
y $x=\max\{0,m+n-M \},\dots,\min\{m,n\}$
\item La familia doble exponencial 
$$
f(x|\alpha,\beta)= \frac{1}{2\beta} \exp{\left\{-\frac{|x-\alpha|}{\beta}\right\}} 
$$
con $\beta $ desconocido.
\item La familia exponencial negativa
$$
f(x|\alpha)=  \exp{\left\{- (x-\alpha) \right\}} \, {\rm I}_{( \alpha ,\infty )} ( x) 
$$
\end{enumerate}

\pagebreak

\item 
\begin{enumerate}
\item  Dada $X_1,\ldots ,X_n$ una m.a. de una distribuci\'{o}n ${\cal E}%
\left( \lambda \right) ,$ hallar el test UMP de nivel $\alpha $ para $%
H_0:\lambda \geq \lambda _0$ vs $H_1:\lambda <\lambda _0.$

\item  Se sabe que el tiempo de duraci\'{o}n de cierto tipo de lamparitas
sigue una distribuci\'{o}n ${\cal E}\left( \lambda \right) .$ La empresa
garantiza que el tiempo medio de vida es mayor que 50 d\'{\i }as y quiere
asegurarse que la producci\'{o}n satisface este requerimiento antes de
sacarla a la venta. Para ello toma una muestra de 10 lamparitas y observa un
tiempo promedio de duraci\'{o}n de 41 d\'{\i }as.

\begin{enumerate}
\item  Si se quiere tener un 95\% de seguridad de no vender cuando no se
satisfacen los requerimientos, \textquestiondown qu\'{e} decisi\'{o}n se
toma en base a estos datos?

\item  Acotar el valor $p.$

\item  \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de no sacar la
producci\'{o}n a la venta si el tiempo medio de vida es de 57 d\'{\i }as?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\item 
\begin{enumerate}
\item  Sea $X_1,\ldots ,X_n$ una m.a. de una poblaci\'{o}n $N\left( \mu
_0,\sigma ^2\right) $ con $\mu _0$ conocido. Encontrar el test UMP de nivel $%
\alpha $ para $H_0:\sigma ^2\geq \sigma _0^2$ vs $H_1:\sigma ^2<\sigma _0^2.$

\item  Para medir la concentraci\'{o}n de una sustancia en una soluci\'{o}n
se conoce un m\'{e}todo cuyo error es una v.a. con distribuci\'{o}n $N\left(
0,1\right) $. Se propone un nuevo m\'{e}todo cuyo error tambi\'{e}n es
normal con media cero pero varianza desconocida; se adoptar\'{a} este nuevo
m\'{e}todo si es m\'{a}s preciso que el anterior. Se tomaron 21 mediciones y
se obtuvo $\tilde{s}^2=0.60.$

\begin{enumerate}
\item  Se quiere que la probabilidad de cambiar de m\'{e}todo si el nuevo en
realidad es menos preciso sea a lo sumo del $1\%$. \textquestiondown
Adoptar\'{\i }a o no el nuevo m\'{e}todo?

\item  Acotar el valor $p$.

\item  Acotar la probabilidad de quedarse con el viejo m\'{e}todo de
medici\'{o}n cuando la varianza del nuevo es en realidad 0.80.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Sea $X_1,\ldots ,X_n$ una m.a. de una distribuci\'{o}n $Bi\left(
1,p\right) .$ Encontrar el test UMP de nivel $\alpha $ para $H_0:p\leq p_0$
vs $H_1:p>p_0.$

\item  Para curar cierta enfermedad se emplea actualmente un tratamiento que
tiene un 40\% de \'{e}xito. Un nuevo tratamiento es probado en 10 pacientes
elegidos al azar y 9 de ellos se curan.

\begin{enumerate}
\item  Si se quiere que la probabilidad de adoptar el nuevo tratamiento
cuando no es mejor que el actual sea 0.05, \textquestiondown qu\'{e}
decisi\'{o}n se toma?

\item  Calcular el valor $p$.

\item  \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de no cambiar de
tratamiento si el nuevo en realidad tiene una probabilidad de \'{e}xito del
45\%?
\end{enumerate}

\item  Seis estudiantes se pusieron a dieta para bajar de peso, con los
siguientes resultados: 
\[
\begin{tabular}{|l|cccccc|}
\hline
{\bf Nombre} & Abdul & \multicolumn{1}{|c}{Ed} & \multicolumn{1}{|c}{Jim} & 
\multicolumn{1}{|c}{Max} & \multicolumn{1}{|c}{Phil} & \multicolumn{1}{|c|}{
Ray} \\ \hline
{\bf Peso antes} $\left( X\right) $ & 87 & 95 & 94 & 91 & 100 & 94 \\ 
\cline{1-1}
{\bf Peso despu\'{e}s} $\left( Y\right) $ & 83 & 93 & 91 & 89 & 102 & 90 \\ 
\hline
\end{tabular}
\]

\textquestiondown Puede concluirse que esta dieta es efectiva?
\textquestiondown Cu\'{a}l es el valor $p$ para estos datos?

({\sc Ayuda:} La dieta es efectiva cuando $P\left( X>Y\right) >P\left( X\leq
Y\right) $.)
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item  Probar que la familia de densidades de la forma 
\[
p_\theta \left( x\right) =a\left( \theta \right) h\left( x\right) {\rm I}%
_{\left( -\infty ,\theta \right) }\left( x\right) 
\]
tiene CVM en $X_{\left( n\right) }.$

\item  Si $X_1,\ldots ,X_n$ es una m.a. de una distribuci\'{o}n ${\cal U}%
\left( 0,\theta \right) ,$ encontrar el test UMP de nivel $\alpha $ para $%
H_0:\theta \leq \theta _0$ vs $H_1:\theta >\theta _0.$
\end{enumerate}

%\end{enumerate}

\vskip 0.5cm

{\sf C) Tests del cociente de m\'axima verosimilitud.}

%\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Sea $X_1,\dots,X_n$ una m.a. de una distribuci\'on $N(\mu,\sigma^2)$ con varianza $\sigma^2$ desconocida. Hallar el test de cociente de m\'axima verosimilitud de nivel $\alpha$ para $H_0\,:\,\mu\geq \mu_0$ vs $H_1\,:\,\mu<\mu_0$.
\item  Se dise\~{n}\'{o} un sistema de riego de manera que el tiempo
promedio de activaci\'{o}n sea a lo sumo 25 segundos. Se lo prob\'{o} 11
veces, obteni\'{e}ndose los siguientes tiempos de activaci\'{o}n: 
\[
\begin{array}{ccccccccccc}
27 & 41 & 22 & 27 & 23 & 35 & 30 & 24 & 27 & 28 & 22
\end{array}
\]

Se supone que el tiempo de activaci\'{o}n es una v.a. con distribuci\'{o}n
normal.

\begin{enumerate}
\item  A nivel 0.05, \textquestiondown contradicen estos datos las
especificaciones del sistema?

\item  Acotar el valor {\em p.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item  Sea $X_1,\ldots ,X_n$ una m.a. de una distribuci\'{o}n $N\left( \mu
_1,\sigma ^2\right) $ e $Y_1,\ldots ,Y_m$ una m.a. de una distribuci\'{o}n $%
N\left( \mu _2,\sigma ^2\right) $ independiente de la anterior. Si llamamos $%
\Delta =\mu _1-\mu _2,$ probar que el test de CMV de nivel $\alpha $ para $%
H_0:\Delta =0$ vs $H_1:\Delta \neq 0$ rechaza $H_0$ si y s\'{o}lo si 
\[
\frac{\left| \bar{X}-\bar{Y}\right| }{S_p\sqrt{\frac 1n+\frac 1m}}%
>t_{n+m-2,\alpha /2}. 
\]

\item  Un terreno se divide en 20 lotes semejantes. Se pone a prueba un
nuevo fertilizante (I) coloc\'{a}ndolo por aspersi\'{o}n en 10 lotes
elegidos al azar. En los otros 10 lotes se utiliza como control un
fertilizante de uso corriente (II). En cada parcela se planta el mismo
n\'{u}mero de plantas de tomate, y se observa el rendimiento (en kg/ha) en
cada lote, obteni\'{e}ndose 
\[
\begin{array}{lllllllll}
\bar{X} & = & 130 &  & s_X & = & 10 &  & \mbox{para el fertilizante I} \\ 
\bar{Y} & = & 120 &  & s_Y & = & 8 &  & \mbox{para el fertilizante II}
\end{array}
\]
Se supone que los datos provienen de muestras aleatorias con
distribuci\'{o}n normal y va\-rian\-zas iguales.

\begin{enumerate}
\item  Testear a nivel 0.05 si hay diferencia entre los rendimientos.

\item  Acotar el valor $p.$ \textquestiondown Qu\'{e} decisi\'{o}n se
hubiera tomado a nivel 0.01?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item  Sea $X_1,\ldots ,X_n$ una m.a. de una distribuci\'{o}n $N\left( \mu
_1,\sigma _1^2\right) $ e $Y_1,\ldots ,Y_m$ una m.a. de una distribuci\'{o}n 
$N\left( \mu _2,\sigma _2^2\right) $ independiente de la anterior. Probar
que el test de CMV de nivel $\alpha $ para $H_0:\sigma _1^2/\sigma _2^2=1$
vs $H_1:\sigma _1^2/\sigma _2^2\neq 1$ rechaza $H_0$ si y s\'{o}lo si 
\[
\frac{s_1^2}{s_2^2}>k_1\mbox{ \ \'{o}\ }\frac{s_1^2}{s_2^2}<k_2 
\]
para ciertas constantes $k_1$ y $k_2$ adecuadas. (Por simplicidad, se toma $%
k_1=f_{n-1,m-1,\alpha /2}$ y $k_2=f_{n-1,m-1,1-\alpha /2}$.)

\item  El riesgo de inversiones alternativas es evaluado generalmente por la
varianza de las ganancias asociadas a cada inversi\'{o}n. La
distribuci\'{o}n de las ganancias anuales de dos inversiones alternativas A
y B se supone normal. En base a la informaci\'{o}n de 10 a\~{n}os pasados en
el caso de la inversi\'{o}n A y de 16 a\~{n}os en el caso de la
inversi\'{o}n B, se calcularon las varianzas estimadas de las ganancias para
las dos inversiones, obteni\'{e}ndose $s_A^2=3.2\mbox{ y }s_B^2=7.5.$
\textquestiondown Puede decirse a nivel 0.05 que la inversi\'{o}n B es
tan riesgosa como la A?\textquestiondown Y a nivel 0.10?

\item  Se tomaron aleatoriamente 8 pares de pollos hermanos y se eligi\'{o}
al azar dentro de cada par cu\'al iba a la muestra A y cu\'al a la B. Los pollos
de la muestra A han sido criados en encierro, mientras que los de la muestra
B al aire libre. Los datos siguientes corresponden al peso de los pollos de
7 semanas: 
\[
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
{\bf Muestra A} & 255 & 481 & 360 & 368 & 425 & 283 & 311 & 368 \\ 
\cline{1-1}
{\bf Muestra B} & 226 & 425 & 311 & 311 & 255 & 340 & 311 & 284 \\ \hline
\end{tabular}
\]

Suponiendo normalidad de los datos,

\begin{enumerate}
\item  \textquestiondown existe alguna diferencia en el peso medio a las 7
semanas entre los m\'{e}todos de crianza? Testear a nivel 0.01.

\item  Acotar el valor $p.$
\end{enumerate}
%\end{enumerate}

%\medskip
\vskip 0.5cm

{\sf D) Tests con nivel de significaci\'on asint\'otico.}

%\begin{enumerate}
\item  Se supone que en cierta poblaci\'{o}n de insectos la cantidad de
hembras es igual a la de machos. Para poner a prueba esta creencia, un
entom\'{o}logo tom\'{o} una muestra de 100 de estos insectos, resultando
machos 43 de ellos.

\begin{enumerate}
\item  Utilizando un test de nivel asint\'{o}tico, decidir si hay suficiente
evidencia a nivel 0.05 para rechazar la suposici\'{o}n. Calcular el valor $p$
aproximado.

\item  Si el porcentaje de hembras fuera 0.55, \textquestiondown cu\'{a}l
ser\'{\i }a la probabilidad de tomar una decisi\'{o}n incorrecta?
\end{enumerate}

\item  El n\'{u}mero de personas que llega a la boleter\'{\i }a de una
estaci\'{o}n de trenes entre las 14 y 14:30 hs. tiene distribuci\'{o}n de
Poisson. El jefe de la estaci\'{o}n est\'{a} evaluando la posibilidad de
abrir otra ventanilla en ese horario y considera que es necesario s\'{o}lo
si la media de arribos es superior a 20 individuos. Adem\'{a}s, quiere que
la probabilidad de abrir una nueva ventanilla cuando en realidad no es
necesario sea a lo sumo 0.01. Durante 45 d\'{\i }as se observa el n\'{u}mero
de personas que arriba en dicho horario y se calcula una media muestral de
21 individuos.

\begin{enumerate}
\item  Proponer un test para este problema. \textquestiondown Qu\'{e}
decisi\'{o}n toma en base a estos datos? \textquestiondown Cu\'{a}l es el
valor $p$ aproximado?

\item  \textquestiondown Cu\'{a}l es la probabilidad de dejar una sola
boleter\'{\i }a cuando en realidad la media verdadera es de 22 personas?

\item  Si se hubiera querido que la probabilidad calculada en (b) fuera a lo
sumo 0.05, \textquestiondown qu\'{e} tama\~{n}o muestral deber\'{\i }a
haberse tomado?
\end{enumerate}

\item  Se ha tomado una muestra aleatoria de tama\~{n}o 30 de los d\'{\i }as
que demora una empresa en instalar una l\'{\i }nea telef\'{o}nica a partir
del momento de su solicitud. Los datos obtenidos fueron los siguientes: 
\[
\begin{array}{lllllllllllllll}
3, & 4, & 5, & 3, & 2, & 7, & 6, & 4, & 6, & 4, & 7, & 2, & 3, & 4, & 6, \\ 
7, & 3, & 5, & 6, & 6, & 4, & 5, & 5, & 7, & 3, & 2, & 2, & 4, & 3, & 5.
\end{array}
\]
La compa\~{n}\'{\i }a, por contrato, debe tener un valor medio de demora no
mayor que 4 d\'{\i }as. El gobierno le inici\'{o} juicio a la
compa\~{n}\'{\i }a porque cree que \'{e}sta no cumpli\'{o} con el contrato.
El juez considera que su veredicto debe ser hecho de manera tal que la
probabilidad de fallar contra la compa\~{n}\'{\i }a cuando \'{e}sta ha
cumplido con lo estipulado en el contrato sea aproximadamente 0.05.

\begin{enumerate}
\item  Suponiendo que la distribuci\'{o}n de los tiempos de espera es ${\cal %
E}\left( \lambda \right) $, encontrar el test asint\'{o}tico en el cual el
juez debe basar su decisi\'{o}n y el veredicto al que arribar\'{\i }a con la
muestra dada.

\item  Expresar la funci\'{o}n de potencia del test en t\'{e}rminos de una
funci\'{o}n de distribuci\'{o}n conocida.

\item  \textquestiondown Qu\'{e} tama\~{n}o de muestra deber\'{\i }a
utilizarse si se quiere que la probabilidad de condenar a la compa\~{n}\'{\i
}a sea mayor o igual a 0.99 cuando el valor medio de la demora es de 5 d\'{\i }as?
\end{enumerate}

\item  Un dado se tira 600 veces y se obtienen los siguientes resultados: 
\[
\begin{tabular}{|l|cccccc|}
\hline
{\bf N\'{u}mero} & {\bf 1} & \multicolumn{1}{|c}{\bf 2} & \multicolumn{1}{|c}%
{\bf 3} & \multicolumn{1}{|c}{\bf 4} & \multicolumn{1}{|c}{\bf 5} & 
\multicolumn{1}{|c|}{\bf 6} \\ \hline
{\bf Frecuencia} & 87 & 96 & 108 & 89 & 122 & 98 \\ \hline
\end{tabular}
\]
\textquestiondown Puede decirse que el dado no es balanceado? Calcular el
valor $p$ aproximado.
%\end{enumerate}

\vskip 0.5cm
{\sf E) Tests IUMP.}

%\begin{enumerate}
\item Sean $X_1,\ldots ,X_n$ es una m.a. de una distribuci\'{o}n Paretto, o sea la densidad de $X_1$ esta dada por
$$
f(x,\theta)=\theta x^{-\theta-1}{\rm I}
_{\left(1 ,+\infty \right) }\left( x\right)\quad 0<\theta 
$$
Hallar el test IUMP  para:
\begin{enumerate}
 \item $H_0:\theta = \theta_0$ vs $H_1:\theta \neq \theta_0$
 \item $H_0:\theta \leq \theta_0$ vs $H_1:\theta > \theta_0$\\
 \textit{Sugerencia}: Hallar la distribuci\'on de $Y_i=\ln(X_i)$.
\end{enumerate}


\item Sean $X_1,\ldots ,X_n$ es una m.a. de una distribuci\'{o}n ${\cal P}(\lambda)$ hallar el test IUMP  para:
\begin{enumerate}
 \item $H_0:\lambda = \lambda_0$ vs $H_1:\lambda \neq \lambda_0$
 \item $H_0:\lambda \leq \lambda_0$ vs $H_1:\lambda > \lambda_0$
\end{enumerate}


\item Sean $\bX$ e $\bY$ v.a. distribuci\'on conjunta
$$
f_{\bX \bY}(x,y)= \lambda \mu \exp\{-\lambda x-\mu y\} {\rm I}
_{\left(0 ,+\infty \right) }\left( x\right) {\rm I}
_{\left(0 ,+\infty \right) }\left( y\right) 
$$ 
Hallar un test insesgado UMP de nivel $0.2$ para:
\begin{enumerate}
\item $H_0:\lambda \leq \mu+1$ vs $H_1:\lambda > \mu+1$
\item $H_0:\lambda = \mu$ vs $H_1:\lambda \neq \mu$
\item $H_0:\lambda \leq 2\mu$ vs $H_1:\lambda < 2\mu$
\end{enumerate}

\item Sean $\bX$ e $\bY$ v.a. independientes con distribuci\'on geom\'etrica 
$$
p_{\bX \bY}(x,y)= (1-\theta_1)(1-\theta_2)\theta_1^{x-1}\theta_2^{y-1}
$$ 
$x\in \natural$, $y\in \natural$ siendo $0<\theta_1<1$ y $0<\theta_2<1$.
Hallar un test IUMP de nivel $0.2$ para testear:
\begin{enumerate}
\item $H_0:\theta_1\leq \theta_2$ vs $H_1:\theta_1>\theta_2$
\item $H_0:\theta_1= \theta_2$ vs $H_1:\theta_1\neq\theta_2$
\end{enumerate}
\textquestiondown Para qu\'e funciones $\varphi(\theta_1,\theta_2)$ los m\'etodos para tests UMP insesgados garantizan la existencia de un test UMP insesgado para testear $H_0:\varphi(\theta_1, \theta_2)=0$ vs $H_1:\varphi(\theta_1, \theta_2)\neq 0$?

\item Sean $\bX_1,\dots,\bX_n$ y $\bY_1,\dots,\bY_m$ m.a. independientes de distribuciones $N(\mu, \sigma^2)$ y $N(\eta, \sigma^2)$ respectivamente. Hallar un test UMP insesgado de nivel $\alpha$ para testear $H_0:\mu\leq \eta$ vs $H_1:\mu>\eta$.

%\end{enumerate}

\vskip 0.5cm
{\sf F) Adicionales.}

%\begin{enumerate}
\item Sean $Y_1,\dots, Y_n$ v.a. independientes con distribuci\'on ${\cal {U}}(0.\theta)$. Muestre que el test dado por 
$$
\Phi \left( Y\right) =\left\{ 
\begin{array}{lll}
1 & \mbox{si} & Y^{(n)}>\theta_0 \;\mbox{  o  }\; Y^{(n)}\leq\theta_0\alpha^{\frac 1n} \\ 
0 & \mbox{si} & \theta_0\alpha^{\frac 1n} < Y^{(n)} \leq\theta_0
\end{array}
\right. ,
$$
es UMP de nivel $\alpha $ para testear $H_0: \theta=\theta_0$ vs $H_0: \theta\neq\theta_0$.

\item Sean $X_1,\ldots ,X_n$ es una m.a. de una distribuci\'{o}n ${\cal U}\left( \theta,\theta+1 \right)$.
\begin{enumerate}
\item Hallar la distribuci\'on del estad\'{\i}stico suficiente $T=(T_1,T_2)=(X^{(1)},X^{(n)})$.
\item Mostrar que existe un test UMP de nivel $\alpha$ para $H_0:\theta \leq \theta _0$ vs $H_1:\theta >\theta _0$. Y tiene la forma,
$$
\Phi_0 \left( t_1,t_2\right) =\left\{ 
\begin{array}{ll}
0 & \mbox{si } t_1< k \mbox{ y } t_2< 1\\ 
1 & \mbox{en otro caso}
\end{array}
\right. ,
$$
\item Hallar el valor de $k$ para obtener un test de nivel $\alpha.$ 
\end{enumerate}

\item Generalizaci\'{o}n de Neyman-Pearson: Sean $\left( f_{k}\left(
x\right) \right) _{k=0}^{n}$ funciones integrables en $\real$
cualquier funci\'{o}n integrable de la forma 
$$
\Phi_0 \left( X\right) =\left\{ 
\begin{array}{lll}
1 & \mbox{si} & f_{0}\left( x\right) >\sum_{i=1}^{n}k_{i} \, f_{i}\left(
x\right) \\ 
\gamma \left( x\right)  & \mbox{si} & f_{0}\left( x\right) =\sum_{i=1}^{n}k_{i}
\,f_{i}\left( x\right)  \\ 
0 & \mbox{si} & f_{0}\left( x\right) <\sum_{i=1}^{n}k_{i} \, f_{i}\left(
x\right) 
\end{array}
\right. ,
$$
$0\leq \gamma \left( x\right) $ $\leq 1.$ Sea $\Phi _{0}\left( X\right) $
maximiza $\int $ $\Phi \left( X\right) $ $f_{0}\left( x\right) $ $dx$ entre
las funciones $\Phi $, $0\leq \Phi \leq 1,$ tales que:%
\[
\int \Phi \left( x\right) f_{j}\left( x\right) dx=\int \Phi _{0}\left(
x\right) f_{j}\left( x\right) dx,\mbox{ \ }j=1,\ldots ,n.
\]%
Si $k_{j}\geq 0,$ $j=1,\ldots ,n,$ entonces maximiza entre las funciones
tales que:%
\[
\int \Phi \left( x\right) f_{j}\left( x\right) dx\leq \int \Phi _{0}\left(
x\right) f_{j}\left( x\right) dx.
\]

\end{enumerate}





\end{document}