


\documentclass[12pt]{article}


\topmargin -1in
\oddsidemargin -0.4in
\evensidemargin 0in
\textwidth 7.1in
\textheight 10in
\parskip .06in

\def\natural{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt N$}}
\def\real{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt R$}}
\newcommand{\convpp}{ \buildrel{a.s.}\over\longrightarrow}
\newcommand{\convprob}{ \buildrel{p}\over\longrightarrow}
\newcommand{\convdist}{ \buildrel{{\cal D}}\over\longrightarrow}

\def\natural{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt N$}}
\def\real{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt R$}}

\newcommand\bX {\mathbf X}

\begin{document}

\noindent
\textbf{Estad\'\i stica (M)}\hspace{12.6cm}\textbf{Pr\'actica 4}
\vspace{-0.3cm}
\newline
\rule{18cm}{0.2mm}

{\sf A) Consistencia y distribuci\'on asint\'otica.}


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Sea $\delta _{n}$ un estimador de $q(\theta)$. Probar que si ${\rm ECM}_{\theta }\left( \delta
_{n}\right) \rightarrow 0,$ entonces $\delta _{n}$ es d\'{e}bilmente
consistente.

\item  Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una m.a. tal que $E_{\theta }\left( X\right)
=\theta $ y $V_{\theta }\left( X\right) <\infty .$ Consideremos el siguiente
estimador aleatorizado de $\theta :$%
\[
\delta _{n}=\left( 1-\varepsilon _{n}\right) \bar{X}+\varepsilon _{n}n
\]
donde $\varepsilon _{n}\sim Bi\left( 1,1/n\right) $ y es independiente de
las $X_{i}.$ Probar que $\delta _{n}$ es d\'{e}bilmente consistente, aunque $%
{\rm ECM}_{\theta }\left( \delta _{n}\right) \rightarrow \infty .$
\end{enumerate}

\item  Sea $\Theta $ un espacio param\'{e}trico finito y $\delta _{n}$ el
EMV de $\theta .$ Probar que $\delta _{n}$ es d\'{e}bilmente consistente si
y s\'{o}lo si $P_{\theta }\left( \delta _{n}=\theta \right) \rightarrow
1\;\forall \theta \in \Theta .$

\item  Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra aleatoria de una
distribuci\'{o}n ${\cal E}\left( \theta \right) .$ Probar que el EMV de $%
\theta $ es fuertemente consistente y asint\'{o}ticamente eficiente.

\item  Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra aleatoria de una
distribuci\'{o}n ${\cal P}\left( \lambda \right) $. Consideremos $\delta
_{n}=\bar{X}$ y
\[
\delta _{n}^{*}=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{n}%
\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}}
\]

\begin{enumerate}
\item  Analizar si estos estimadores de $\lambda $ son fuertemente
consistentes.

\item  Hallar sus distribuciones asint\'{o}ticas. Decir si alguno de los dos
es asint\'{o}ticamente eficiente.

({\sc Nota:} $E\left( X^{4}\right) =\lambda ^{4}+6\lambda ^{3}+7\lambda
^{2}+\lambda $)
\end{enumerate}

\item  Sea $X_{1},\dots,X_{n}$ una muestra aleatoria de una distribuci\'{o}n $%
U(0,\theta )$.

\begin{enumerate}
\item  Probar que el EMV de $\theta $ es d\'ebilmente y fuertemente consistente  y hallar su
distribuci\'{o}n asint\'{o}tica.

\item  Probar que el estimador de momentos para $\theta $ es fuertemente consistente y
hallar su distribuci\'{o}n asint\'{o}tica.

\item  \textquestiondown Cu\'{a}l de estos dos estimadores preferir\'{i}a? 
\textquestiondown Por qu\'{e}?
\end{enumerate}

\item  Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una m.a. de una distribuci\'{o}n exponencial
desplazada, cuya densidad es
\[
f\left( x\right) =e^{-\left( x-\theta \right) }I_{\left[ \theta ,\infty
\right) }\left( x\right) .
\]

\begin{enumerate}
\item  Probar que el EMV de $\theta $ es d\'ebilmente y fuertemente consistente y hallar su
distribuci\'{o}n asint\'{o}tica.
\item  Probar que el estimador de momentos para $\theta $ es consistente y
hallar su distribuci\'{o}n asint\'{o}tica.

\item  \textquestiondown Cu\'{a}l de estos dos estimadores preferir\'{i}a? 
\textquestiondown Por qu\'{e}?

\end{enumerate}
\item  Sea $X_{1},\ldots ,X_{n}$ una m.a. de una distribuci\'{o}n $%
F_{0}\left( x-\theta \right) $ con $F_{0}$ una funci\'{o}n de distribuci\'on fija
y $\theta \in {\real}$. Sea $\delta _{n}$ un estimador de $\theta $
equivariante por traslaciones (i.e.: para cualquier constante $c\in {\real}$
se verifica que $\delta _{n}\left( x_{1}+c,\ldots ,x_{n}+c\right) =\delta
_{n}\left( x_{1},\ldots ,x_{n}\right) +c$). 
\begin{enumerate}
\item Mostrar que $\delta_{n}-\theta$ tiene una distribuci\'on que no depende de $\theta$.
\item Deducir que la varianza
asint\'{o}tica de $\delta _{n}$ (si existe) no depende de $\theta$.
\end{enumerate}


\item  Sea $X_{1},\dots,X_{n}$ una muestra aleatoria de una distribuci\'{o}n $F
$ con densidad $f(x-\mu )$ donde $f(x)$ satisface: i) $f(x)=f(-x)$, ii) $f(x)$ continua en $x=0.$

\begin{enumerate}
\item  Sea $Z_{a,i}=I\{X_{i}\leq a\}$. Mostrar que $Z_{a,i}$ tiene
distribuci\'{o}n Bi$(1,F(a)).$

\item  Sea $Z_{a}=\sum Z_{a,i}$. Mostrar que $Z_{a}$ tiene distribuci\'{o}n
Bi$(n,F(a)).$

\item  Probar que 

$P(Z_{a}\geq \left[ \frac{n}{2}\right] +1)\leq P($mediana$%
(X_{1,...,}X_{n})\leq a)\leq P(Z_{a}\geq \left[ \frac{n}{2}\right] )$

\item  Mostrar que mediana$(X_{1,...,}X_{n})$ es un estimador d\'{e}bilmente
consistente de $\mu .$
\end{enumerate}

\item  Sea $X_{1},\ldots ,X_{n}$ una m.a. $N\left( \theta ,1\right) .$
Definamos el estimador
\[
\delta _{n}=\left\{
\begin{array}{lll}
\bar{X} &  & \mbox{ si }\left| \bar{X}\right| \geq 1/n^{1/4} \\
\frac{1}{2}\bar{X} &  & \mbox{ si }\left| \bar{X}\right| <1/n^{1/4}
\end{array}
\right.
\]
Probar que $\sqrt{n}\left( \delta_{n}-\theta \right) \convdist N\left( 0,v\left( \theta \right) \right) $ con $v\left( \theta
\right) =1/{\rm I}\left( \theta \right) \;\forall \theta \neq 0$ y $v\left(
0\right) <1/{\rm I}\left( 0\right) .$

\end{enumerate}

{\sf B) Ejercicio para hacer en la computadora.}

\begin{enumerate}
\item Retomemos el ejercicio 1 de la pr\'actica 2 parte D). Para cada uno de los 4 conjuntos de 1000 datos realizar un histograma. \textquestiondown Puede decir algo sobre las distribuciones asint\'oticas de los estimadores? \textquestiondown A que familias pertenecen? \textquestiondown Cu\'ales son sus par\'ametros?.

\end{enumerate}

\end{document} 