\documentclass[11pt]{article}
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\newtheorem{ejer}{Ejercicio}
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\newcommand{\naturales}{\mbox{$\sf I\!\hspace{.2mm}N$}}
\newcommand{\enteros}{\mbox{$\sf Z\hspace{-.16cm}Z$}}
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\begin{document}
 \centerline{{\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matemática}}
 
 \vskip 0.2cm
 \hrulefill
 \vskip 0.2cm
 
 \centerline{{\bf\Huge {\sc Análisis Numérico}}}
 \vskip 0.2cm
 \centerline{\ttfamily Segundo Cuatrimestre 2015}
 \hrulefill
 
 \bigskip
 \centerline{\bf Práctica N$^\circ$ 2: Diferencias Finitas: Ecuaciones Hiperbólicas}
 \bigskip
 
 %1
 \bej
 Sea $a$ una constante positiva.
 \begin{enumerate}
 \item
 Resuelva la ecuaci\'on
$U_t+aU_x=0$, en toda la recta, con dato inicial
$u(x,0)=u_0(x)$.
\item
 Proceda an\'alogamente con $U_t-aU_x=0$.
\item
Reemplace $e^{i(kx+\omega t)}$ en ambas ecuaciones y halle
$\omega$ en cada caso. Concluya que ning\'un modo es amortiguado y
que en un lapso $\Delta t$ su fase cambia en $-ak\Delta t$.
\end{enumerate}
 \fej

 %2
\bej Considerar la ecuaci\'on $U_t+aU_x=0$. Decidir para qu\'e
valores de los par\'ametros de discretizaci\'on en $x$ y en $t$
son estables los m\'etodos expl\'\i{}cito e impl\'\i{}cito de
primer orden en $x$ y en $t$, discretizando la derivada espacial
corriente arriba (up-wind). \fej

%3
\bej Verifique que el esquema expl\'{\i}cito con up-wind para la
ecuaci\'on $$U_t + U_x=0$$ puede escribirse como:
$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\Delta t}+\frac{u_{j+1}^n-u_{j-1}^n}{2\Delta x}=
\frac{\Delta x}{2} \frac{u_{j+1}^n-2u_j^n+u_{j-1}^n}{\Delta x^2}$$
observe que esta expresi\'on da un esquema centrado en $x$ para
$$U_t + U_x=\frac{\Delta x}{2}U_{xx}$$
Concluya que el m\'etodo up-wind puede interpretarse como un
esquema centrado en $x$ para la ecuaci\'on de transporte al cual
se le agrega ``difusi\'on
 artificial''. Compare el orden del esquema up-wind con la de este \'ultimo.
¿Encuentra alguna contradicci\'on? \fej

%4
\bej Demostrar el siguiente resultado. Si $q(x)\approx
c_1x+c_2x^2+c_3x^3...$ para $x\approx 0$ entonces
$$arctg(q(x))=c_1x+c_2x^2+(c_3-\frac{1}{3}c_1^3)x^3...$$
si $x\approx 0$. \fej 

%5
\bej \label{upwind} Analice los modos de
Fourier cuando se utiliza up-wind.  Estudie los errores del factor
de amortiguamiento $\lambda(k)$ y de fase para el  $k$-\'esimo
modo. Resuelva num\'ericamente el problema $U_t+U_x=0$,
$U(0,t)=0$, $U(x,0)= U_0$.
Para,
\\
a)
$U_0=\chi_{[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]}(x)$,\quad b)
 $U_0=\chi_{[0,\frac{1}{2}]}(x)$\quad c)
 $U_0=\chi_{[0,\frac{1}{2}]}(x)\sin(2{\pi x})$
 \quad d) $U_0=e^{-10(4x-1)^2}.$
\\

Grafique la
solución numérica vs. la exacta para distintos valores de
tiempo y compare con los resultados obtenidos.
Analice los casos $\nu=1$, $\nu=0,5$, $\nu<0,5$ y $\nu>0,5$.
\fej

%6
 \bej
\label{wendroff} Considere $a>0$ constante. Se define el m\'etodo
de Lax-Wendroff
$$u_j^{n+1}=\frac{1}{2}a\nu(1+a\nu)u_{j-1}^n+(1-a^2\nu^2)u_j^n-\frac{1}{2}
a\nu(1-a\nu)u_{j+1}^n    \,  \qquad  \nu =\frac{\triangle t}{\triangle x} $$
para aproximar las soluciones de
\[ U_t + a U_x=0 \]
Halle el error de truncado. Analice la estabilidad por el m\'etodo
de Fourier y realice un an\'alisis similar al del ejercicio anterior
con los modos de Fourier. Resuelva num\'ericamente los mismos problemas all{\'i} propuestos
 con este esquema y para distintos valores de $\nu$ y $\Delta x$. Compare. ?`Qu\'e observa en cada caso?
\fej



%9
\bej Analizar la estabilidad de la ecuaci\'on en diferencias
obtenida discretizando por diferencias centradas la parte espacial
y con un m\'etodo expl\'\i{}cito de primer orden en $t$ la
ecuaci\'on diferencial:
\[ U_t + a U_x=b U_{xx} \ \ \ \ \ a>0, \ b>0 \]
>Coinciden los resultados con los que corresponden a los casos l\'\i{}mite
$a=0$ (problema sin convecci\'on) y $b=0$ (problema sin
difusi\'on)? \fej

%10
\bej
i) Probar que las soluciones de la ecuaci\'on
\[U_t+f(U)_x=0\ \ \ \ \ \ x\in[a,b] \]
satisfacen:
\[ \frac{d}{dt} \int_a^b U dx= f(U(t,a))-f(U(t,b)) \]
ii) Probar que la discretizaci\'on
\[\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{k} +\frac{ f(u_i^n)-f(u_{i-1}^n)}{h} =0 \]
satisface una relaci\'on an\'aloga.\\
iii) Analizar qu\'e ocurre con la discretizaci\'on:
\[\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{k} +f'(u_i^n) \frac{u_i^n -u_{i-1}^n}{h} =0 \]
\newline
>Qu\'e error de truncado poseen estos esquemas?
\fej 

\bej Considerar la ecuaci\'on
\begin{equation}
\label{conservacion}
U_t+f(U)_x=0
\end{equation}
y verifique que para $U$ y $f$ suficientemente regular
$$U(t_{n+1},x_j)=U(t_n,x_j)-\Delta tf(U)_x(t_n,x_j)+\frac{(\Delta t)^2}{2}
(f'(U)f(U)_x)_x(t_n,x_j)+O(\Delta t^3)$$
deduzca de aqu\'{\i} el esquema de Lax-Wendroff para la ley de conservaci\'on
(\ref{conservacion})
$$u^{n+1}_j=u_j^n-\frac{1}{2}\nu\{(1-a_{j+1/2}^n\nu)(f(u_{j+1}^n)-f(u_{j}^n))
+(1+a_{j-1/2}^n\nu)(f(u_{j}^n)-f(u_{j-1}^n))\}$$
donde $a_{j+1/2}^n=f'(u_{j+1/2}^n)$, $a_{j-1/2}^n=f'(u_{j-1/2}^n)$. Observe que si $f'=cte$ se obtiene
el esquema del ejercicio \ref{wendroff}).
\fej

\bej Considerar la ecuaci\'on en derivadas parciales de primer
orden (caso particular de (\ref{conservacion}) con
$f(u)=\frac{u^2}{2}$):
\[U_t+UU_x=0\ \ \ \ \ \ x\in \reales,\ t>0 \]
con dato inicial
\[U(x,0)=U_0(x)\]
\begin{enumerate}
\item Verifique que la soluci\'on queda definida impl\'{\i}citamente
por $U=U_0(x-Ut)$.
\item Las curvas caracter\'{\i}sticas son de la forma $(x(t),t)$ con $x(t)=x_0 + t U_0(x_0)$.
\item Demuestre que $U_x=\frac{U_0'(x-Ut)}{1+tU_0'(x-Ut)}$ y por ende
si para alg\'un $x_0$ es $U_0'(x_0)<0$ entonces existe un tiempo cr\'{\i}tico $t_c$
en el cual deja de existir $U_x$. Haga la misma cuenta para $U_t$.
\end{enumerate}
\fej 

\bej Resolver num\'ericamente el problema del ejercicio
previo. \begin{enumerate}
\item Utilizar como dato inicial $\displaystyle U_0(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$.\\
Resolver utilizando el m\'etodo expl\'\i{}cito de primer orden en $t$:
\[ u_i^{n+1}=u_i^n-\triangle t \  u_i^n \left( \frac{u_{i+1}^n-u_{i-1}^n}{2 \triangle x} \right)\]
 >Necesita una condici\'on
de contorno a la derecha? Utilice $\triangle x=0.1$. Pruebe con
valores de $\triangle t=0.2$, y $\triangle t=0.05$. >Qu\'e
observa? \item Repetir el an\'alisis para $\displaystyle
U_0(x)=\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$. \item Para el problema del
\'\i{}tem ii) utilizar el esquema expl\'\i{}cito con ''up-wind'':
\[ u_i^{n+1}=u_i^n-\triangle t u_i^n \left( \frac{u_{i}^n-u_{i-1}^n}{\triangle x} \right)\]
Utilizar $\triangle x=0.1$, y $\triangle t=0.1$, $\triangle
t=0.01$, y $\triangle t=0.001$ Analizar los
resultados.\end{enumerate} \fej


 \bej Dada la ecuaci\'on  $U_t+a U_x =0 $ con  $a\in \reales$ y  $U(x,0)= U_0(x)$ se
 propone el esquema a tres capas dado por:

$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n-1}}{2\Delta t}+a \frac{u_{j+1}^n-u^n_{j-1}}{2\Delta
x}=0$$
\begin{enumerate}
\item  Analice que restricci\'on debe imponerse para que se
satisfaga la condicióon CFL. 
\item ¿Cómo aproximaría el valor de la soluci\'on a tiempo $\triangle t$? ¿Qué condición de borde impondría para resolver el problema numéricamente?
\item Considere $a>0$  y demuestre que si $\frac{ \triangle
t}{\triangle x} \leq \frac1a$ el m\'etodo resulta estable. \item
Estudie el  factor de amortiguamiento y cambio de fase en
función de los modos de Fourier.
\end{enumerate}
\fej

%\bej
%Para aproximar la solución de la ecuación
%$$U_t+U_x=0 $$
%se propone el esquema
%$$\frac{u_j^{n+1}-u_j^{n}}{\dt}+\theta\frac{u_{j+1}^{n+1}-u_{j-1}^{n+1}}{2\dx}+(1-\theta)\frac{u_{j+1}^n-u_{j-1}^n}{2\dx}=0,\quad\quad 0\le\theta\le 1$$

%\begin{itemize}
%\item[(a)] Estudiar el $k-$ésimo modo de Fourier. Dar un valor de $\theta$ que garantice que el error de amortiguamiento del esquema sea nulo.
 
%\item[(b)] Para el valor de $\theta$ obtenido en el punto anterior estudiar el error relativo de fase.

%\item[(c)] ¿Cómo debe realizarse el despeje para que se cumpla la condición CFL? ¿Qué condiciones de borde deben imponerse?
%\end{itemize}
%\fej

\bej
Para aproximar la solución de la ecuación
$$U_t + a U_x = 0,\quad a\in\R\setminus\{0\}$$.
se propone el esquema de Lax-Friedrichs:
$$\frac{u_j^{n+1}-\frac{u_{j+1}^n+u_{j-1}^n}{2}}{\dt} + a\frac{u_{j+1}^n-u_{j-1}^n}{2\dx} = 0$$

\begin{itemize}
	\item[(a)] Estudie la condición CFL. De ser necesario, imponga condiciones sobre $r = \frac{\dt}{\dx}$ para que se cumpla.
	\item[(b)] A partir del estudio del $k$-ésimo modo de Fourier, estime el error de amplitud del método. ¿Existen valores de $r$ para los cuales este error sea nulo?
	\item[(c)] Estime la fase del método y calcule el error relativo de fase. 
\end{itemize}
\fej

\bej Considere las siguientes discretizaciones de la ecuaci\'on de
ondas (para este caso $r=(\frac{\Delta t}{\Delta x})^2$)
$$u_{tt}=u_{xx}$$

 $$u_{j}^{n+1}-2u_{j}^{n}+u_{j}^{n-1}=r(u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n})$$
 $$u_{j}^{n+1}-2u_{j}^{n}+u_{j}^{n-1}=\frac{1}{2}r\{(u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1})
+(u_{j+1}^{n-1}-2u_{j}^{n-1}+u_{j-1}^{n-1})\}$$

estudie consistencia y estabilidad de ambos esquemas.
\fej

\bej
La funci\'on $u$ satisface la ecuaci\'on:
\[U_{tt}=U_{xx}  \hspace{1cm} x\in [0,1]\]
con condiciones de contorno $U(0,t)=U(1,t)=0$, $t>0$ y condiciones iniciales
\[U(x,0)=\frac{1}{8} \sin (\pi x) ,\ \ \ U_t(x,0)=0 \]
Usar la representaci\'on usual de las derivadas segundas, y una aproximaci\'on
por diferencias centradas para la condici\'on inicial sobre la derivada, para
calcular num\'ericamente una soluci\'on para $t=0.5 , t=1$, con
$\triangle x=0.1$, $\triangle t=0.1$.

Hallar la soluci\'on anal\'\i{}tica, y calcular el error de la soluci\'on num\'erica.
\fej


\bej
i) Escribir la ecuación de onda $U_{tt}= U_{xx}$ como un sistema de dos
ecuaciones en derivadas parciales de primer orden  (defina $P=U_x$ y $Q=U_t$) .\\
ii) Discretizar las ecuaciones obtenidas seg\'un:\\
\[
\frac{1}{2\triangle x} (p_{i+1,j}-p_{i-1,j})=\frac{1}{\triangle t}(q_{i,j+1}-\frac{1}{2}(q_{i+1,j}+q_{i-1,j}))
\]
\[
\frac{1}{2\triangle x} (q_{i+1,j}-q_{i-1,j})=\frac{1}{\triangle t}(p_{i,j+1}-\frac{1}{2}(p_{i+1,j}+p_{i-1,j}))
\]
Probar que esta discretizaci\'on es estable para $\displaystyle \frac{\triangle t}{\triangle x} \leq 1$.
\fej
\end{document}
