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\lhead{Geometría Diferencial}
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\begin{document}

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\begin{large}

\begin{center}

\noindent{{\sc Geometría Diferencial}}
- \bigskip{{\sc Primer Cuatrimestre de 2013}}

\sc{Práctica 7}
\end{center}

\end{large}

\noindent\hrule 
\bigskip


\section*{Integración y variedades riemannianas}

\begin{enumerate}

\item Probar que la integración de formas en una variedad diferenciable orientada $M$ cumple las siguientes propiedades.
\begin{enumerate}
\item Si $-M$ denota la variedad on la orientación opuesta, entonces $\int_M\omega=-\int_{-M}\omega$.
\item $\int_M a\omega_1+b\omega_2=a\int_M\omega_1+b\int_M\omega_2$, donde $a,b\in\RR$.
\item Si $\omega$ es una $n$-forma continua y no negativa entonces $\int_M\omega\geq0$ y la igualdad se verifica sólo si $\omega=0$.
\item Si $f:M\to N$ es un difeomorfismo entre variedades conexas orientadas y $\omega$ es una forma integrable en $N$, entonces $\int_M f^*\omega=\pm\int_N\omega$, donde el signo depende de si $f$ preserva o invierte la orientación.
\end{enumerate}

\item Sea $M$ compacta, sin borde y de dimensión $n$, y sea $\omega\in\Omega^n(M)$ que no se anula. Probar que $\omega$ no es exacta.

\item\label{forma_cerrada_pero_no_exacta}
\begin{enumerate}
\item Sea $\alpha= \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}\in \Omega^1(\RR^2\setminus\{0\})$. Probar que $\alpha$ es cerrada, pero no exacta.
\item Más generalmente, sea $\omega(x)=\sum_{0\leq i<n}(-1)^ix_i\,dx_0\wedge\dots\wedge\hat{dx_i}\wedge\dots\wedge dx_{n-1}\in\Omega(\RR^n)$. Probar que $\alpha\in\Omega(\RR^n\setminus\{0\})$, dada por $\alpha(x)=\frac 1{\|x\|^n}\omega(x)$, es cerrada pero no exacta. (Sugerencia: mostrar que $\int_{S^{n-1}}\omega\neq 0$. De hecho, vale que $\int_{S^{n-1}}\omega=|S^{n-1}|$.)
\end{enumerate}

\item Sea $M$ una variedad diferenciable y sea $\omega\in\Omega^k(M)$ una forma cerrada.
\begin{enumerate}
\item Si $S$ es subvariedad de $M$ compacta, sin borde, orientada y de dimensión $k$ tal que $S =\partial W$ para alguna subvariedad $W$ de $M$, entonces $\int_S\omega=0$.
\item Si $W$ es subvariedad orientable de dimensión $k+1$ con borde $\partial W=S\sqcup T$ donde $S$ y $T$ son subvariedades de dimensión $k$ con la orientación inducida, entonces $\int_S\omega=-\int_T\omega$.
\end{enumerate}

\item Probar que el toro $T$ no es difeomorfo a la esfera $S^2$.\\
(Sugerencia: hallar una $1$-forma en $T$ cerrada que no sea exacta, y ver que toda $1$-forma en $S^2$ cerrada es exacta.)

\item Sea $M$ una variedad.
\begin{enumerate}
\item Probar que si $\theta,\tilde\theta\in\Omega^k(M)$, entonces $\theta=\tilde\theta$ si y sólo si se verifica \[\int_\sigma\theta=\int_\sigma\tilde\theta\] para cada $\sigma:S\to M$ con $S$ compacta, orientada y de dimensión $k$.
\item Sea $\omega\in\Omega^{k-1}(M)$. Probar que existe una única $\theta\in\Omega^k(M)$ tal que para toda $N\subseteq M$ subvariedad orientable compacta, con borde y de dimensión $k$ vale \[\int_S\theta=\int_{\partial S}\omega.\]
\end{enumerate}

\

Notación: si $\alpha\in\Omega^{1+k}(M)$ y $X\in\mathfrak X(M)$, se define su \emph{contracción} \[\iota_X\alpha=\alpha(X,-,\dots,-)\in\Omega^k(M).\]

% \item Sea $M$ una variedad y sea $\omega\in\Omega^k(M)$.
% \begin{enumerate}
% \item Sea $S$ una variedad compacta, orientada, con borde y de dimensión $k$, y sea $(\sigma_t:S\to M)_{t\in I}$ una familia uniparamétrica suave de funciones suaves (es decir, $\sigma:I\times S\to M$ es suave). Probar que \[\frac\partial{\partial t}\left(\int_{\sigma_t}\omega\right)=\int_{\sigma_t}\iota_{\frac\partial{\partial t}\sigma_t}d\omega+\int_{\partial\sigma_t}\iota_{\frac\partial{\partial t}\sigma_t}\omega.\]
% \item (\emph{Fórmula de Cartan, o de homotopía}) Probar que si $X\in\mathfrak X(M)$, entonces \[L_X\omega=\iota_X(d\omega)+d(\iota_X\omega).\]
% \end{enumerate}

\item Dada $M$ variedad de dimensión $n$ y $f:M\to\RR^{n+1}$ una inmersión, se da a $M$ la estructura riemanniana inducida, es decir para $p\in M$ y $v,w\in T_pM$ vale $\langle v,w\rangle_p:=\langle df(v),df(w)\rangle_{f(p)}$.\\ Probar que si $M$ es orientada y $\eta$ es el campo de vectores normales unitarios en $f(M)$ que dan la orientación, entonces la forma de volumen en $M$ está dada por \[\omega=f^*(\iota_{\eta}(dx_1\wedge\dots\wedge dx_{n+1})).\]

\item Recordar que, dada una carta $(U,\varphi)$ en una variedad riemanniana $M$, su forma de volumen se escribe como $\Omega|_U=\sqrt{\det g_{i,j}} \ d\varphi_1\wedge\dots\wedge d\varphi_n$, donde $g_{ij}=\langle \frac\partial{\partial\varphi_i},\frac\partial{\partial\varphi_j}\rangle$.
\begin{enumerate}
 \item Calcular la matriz $(g_{ij})$ para $\RR^2$ y $\RR^3$ en coordenadas polares y esféricas.
 \item Calcular la matriz $(g_{ij})$ y la forma de volumen para $S^1$ y $S^2$, y calcular los respectivos volúmenes.
\end{enumerate}

\item Sea $V$ un $\RR$-espacio vectorial con producto interno, orientado y de dimensión $n$.
\begin{enumerate}
\item Probar que para cada $k$ se puede definir un producto interno en $\Lambda^k(V)$ dado por \[\langle \wedge_i v_i,\wedge_j w_j\rangle=\det\left(\langle v_i,w_j\rangle_{i,j}\right).\]
\item Sea $(v_i)_{0\leq i<k}\in V^k$ una $k$-upla de vectores tangentes. Entonces existe un único $z\in\wedge^{n-k}V$ (el \emph{producto vectorial} de los $v_i$) tal que para cada $(w_i)_{k\leq i<n}\in V^{n-k}$ se cumple \[\langle z,w_k\wedge\dots\wedge w_{n-1}\rangle=\omega(v_0,\dots,v_{k-1},w_k,\dots,w_{n-1}),\] donde $\omega$ es la forma de volumen orientado de $V$. Probar que el producto vectorial define una función lineal $\wedge^k V\to\wedge^{n-k}V$, es decir, un elemento $P\in\wedge^kV^*\otimes\wedge^{n-k}V$. ¿Qué pasa si invertimos la orientación de $V$?\\ En el caso $k=n-1$, escribir a $P$ en términos de una base ortonormal $(e_i)_{0\leq i<n}$ y su base dual $(e^j)_{0\leq j<n}$, y relacionar con la forma $\omega$ del ejercicio \ref{forma_cerrada_pero_no_exacta}. Si $V=\RR^3$, relacionar con el producto vectorial usual.
\item Probar que si $V=T_pM$ era el espacio tangente a una variedad riemanniana orientada, y $S$ es una subvariedad orientada de dimensión $k$ con forma de volumen $\omega$, entonces para cada $k$-upla de vectores $(v_i)_i\in(T_pS)^k$ se tiene \[|\omega(\dots,v_i,\dots)|=\|\dots\wedge v_i\wedge\dots\|.\] Si $k=n-1$, probar que el vector normal orientado en $p$ está dado por \[N_p=P(v_1,\dots,v_{n-1}),\] donde $v_1,\dots,v_{n-1}$ es una base ortonormal orientada de $T_pS$.
\end{enumerate}

\item (\emph{Arquímedes, circa -250}) Sea $M=\{x\in\RR^n:x_0>0\}$ el mar, con $n=3$. Sea $S\subseteq M$ un cuerpo sumergido (subvariedad compacta de dimensión $n$, con borde). En cada punto $x\in\partial S$, el mar hace una fuerza $F(x)=-kx_0\eta(x)$, donde $kx_0$ es la presión del agua (que es proporcional a la profundidad $x_0$, con $k>0$ constante) y $\eta$ es el vector tangente unitario hacia afuera. La fuerza total es entonces $F_{\partial S}=\int_{\partial S} \omega$, donde $\omega(x)=-kx_0P$ es una $n-1$ forma en $M$ con valores en $\RR^n$ (es decir, es una $n$-upla de elementos de $\Omega^{n-1}(M)$), porque $P:\wedge^{n-1}V\to\RR^n$ es el producto vectorial de $\RR^n$. Probar que \[F_{\partial S}=-k\,|S|\,e_0.\]

\end{enumerate}
\end{document}