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\lhead{Geometría Diferencial}
\chead{Práctica 6}
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\begin{document}

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\begin{large}

\begin{center}

\noindent{{\sc Geometría Diferencial}}
- \bigskip{{\sc Primer Cuatrimestre de 2013}}

\sc{Práctica 6}
\end{center}

\end{large}

\noindent\hrule 
\bigskip


\section*{Formas diferenciales y orientación}

\begin{enumerate}

\item Se define el rango de un tensor como la mínima cantidad de tensores elementales que hay que sumar para obtenerlo. 
\begin{enumerate}
\item Probar que el rango de una transformación lineal $V\to W$, vista como elemento de $V^*\otimes W$, coincide con el rango usual (la dimensión de su imagen).
\item Probar que si $n<4$, entonces todos los tensores de $\Lambda^r(\RR^n)$ son elementales. ¿Qué pasa si $n=4$? (Sugerencia: Un elemento de $\Lambda^2(\RR^n)$ puede pensarse como transformación lineal entre dos espacios de dimensión $n$)
\end{enumerate}

\item Sea $g$ una función bilineal en un $\RR$-espacio vectorial $V$ con producto interno. Sea $B=\{v_1,\dots,v_n\}$ una base ortonormal de $V$. Probar que $\sum_i g(v_i,v_i)$ no depende de la base elegida. Concluir que $\sum_i v_i\otimes v_i$ es un tensor bien definido (que no depende de $B$).

\item Sean $\eta\in\Om^1(M)$ y $f,g\in \diff(M)$, mostrar que
\begin{enumerate}
 \item $f \eta\in\Om^1(M)$,
 \item $d(fg)=fdg+gdf$.
\end{enumerate}

\item Sean $M=\RR^n$, $X\in\cam(M)$, y $\cl{X,-}$ definido de la siguiente manera: si $v\in T_pM$, $\cl{X,v}:=\cl{X_p,v}$. Mostrar que $\cl{X,-}$ es una 1-forma. Mostrar que toda 1-forma es de esta manera. Por ejemplo, $df=\cl{\nabla f,-}$.

\item Sea $X$ una variedad, $\omega$ una $1$-forma. Sean $(U,\varphi)$, $(V,\psi)$ dos cartas alrededor de un punto $x\in X$. Si $\omega(x)=\sum_i\alpha_id\varphi_i=\sum_j\beta_jd\psi_j$, encontrar la relación entre los $\alpha_i$ y los $\beta_j$.

\item Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo $\KK$ de característica $0$, $\varphi$ y $\psi$ en $V^*$. Mostrar que la aplicación $(v,w)\mapsto \phi(v)\psi(w)$ es una aplicación bilineal definida en $V\times V$ a valores en $\KK$. Mostrar que bajo la identificación
$\Bil(V\times V,\KK)\cong (V\otimes V)^*\cong V^*\ot V^*$, esta forma bilineal se corresponde con $\phi\ot \psi$.

\item Sea $u\in\Lambda^k(V)$ y $v\in\Lambda^l(V)$. Entonces $u\wedge v\in\Lambda^{k+l}(V)$ cumple $u\wedge v=(-1)^{kl}v\wedge u$.

\item Sea $V$ un $\KK$-espacio vectorial de dimensión $n$ y $f:V\to V$ un endomorfismo. Definir $\det(f)$ sin apelar a ninguna base de $V$. Probar que si $g$ es otro endomorfismo, $\det(fg)=\det(f)\det(g)$. (Sugerencia: considerar $\Lambda^nV$)

\item Dada una variedad $M$, definir apropiadamente el fibrado exterior $k$-ésimo  $\Lambda^{k*}(M)$ y probar que una $k$-forma $C^{\infty}$ equivale a una sección a ese fibrado.

\item Probar que una $k$-forma $\omega$ es $C^{\infty}$ si y sólo si para toda familia $X_1,\ldots,X_k, \ X_i\in\cam(M)$, la función $\omega(X_1,\ldots,X_k)$ definida por $\omega(X_1,\ldots,X_k)(p)=\omega_p(X_1(p),\ldots,X_k(p))$ es diferenciable.

\item Una función $f:M\to N$ diferenciable induce $f^*:\Om(N)\to \Om(M)$ definida por $f^*(g)=g\circ f$ en $\Om^0$ y $(f^*w)_p(v_1,\dots,v_k)=w_p(d_pf(v_1),\dots, d_pf(v_k))$ en $\Om^k$.
\begin{enumerate}
 \item Probar la buena definición de $f^*$, es decir, que $f^*w$ es suave si $w$ lo es.
 \item Probar que $f^*$ es morfismo de $\RR$-álgebras, es decir, que es $\RR$-lineal y $f^*(w\wedge v)=f^*(w)\wedge f^*(v)$.
\end{enumerate}

\item Sea $\omega$ una $k$-forma en $M$, con $k\geq 1$, ¿es cierto que $\omega\wedge\omega=0$? ¿Qué pasa si $\dim M=3$?

\item Sea $M$ una variedad diferenciable. Probar que $TM$ es una variedad orientable.

\item Probar que si $M$ tiene un atlas de la forma $\A=\{(U,\varphi); (V,\psi)\}$ donde $U\cap V$ es conexo, entonces $M$ es orientable.

\item Ver que toda $M$ paralelizable es orientable.

\item Sea $M$ y $N$ variedades diferenciables. Probar que son equivalentes
\begin{enumerate}
\item $M$ y $N$ son orientables,
\item $M \times N$ es orientable.
\end{enumerate}

\item Probar que la esfera $S^n$ y $\RR^n$ son orientables. Probar que el $n$-toro $T^n$ y el cilindro son orientables.

\item Sea $M$ una variedad orientable conexa y $f:M\to M$ un difeomorfismo. Si $\A$ es un atlas orientado compatible con la orientación, probar que para dos cartas $(U_i,\varphi_i)\in\A$ ($i=1,2$) el signo de $J(\varphi_2\circ f\circ \varphi_1^{-1})$ es constante (donde está definida la composición). Interpretar.

\item Sea $X$ una variedad diferenciable, $(U,\varphi)$ una carta y $\omega\in\Omega^k(X)$. Calcular $d\omega|_U$ en las coordenadas de $(U,\varphi)$ para los casos $0 \leq k \leq 2$.

\item Sea $\omega\in\Omega^k(X)$. Probar que
\begin{eqnarray*}
d\omega(X_1,\dots,X_{k+1})
	&= &\sum_{i=1}^{k+1}(-1)^{i-1}X_i \omega(X_1,\dots,\hat X_i,\dots,X_{k+1}) \\
	&& + \sum_{i<j} (-1)^{i+j}\omega([X_i,X_j],X_1,\dots,\hat X_i, \dots, \hat X_j, \dots, X_{k+1}).
\end{eqnarray*}

\item Sea $F:\RR^3\to\RR^3$ un campo vectorial diferenciable.
\begin{enumerate}
\item Demostrar que $\omega_F^1(x)(v):=\langle F(x),v \rangle$ define una $1$-forma en $\RR^3$.
	Encontrar las coordenadas de $\omega_F^1$ en la base $\{dx,dy,dz\}$. Rec\'{\i}procamente,
	si $\omega$ es una $1$-forma en $\RR^3$, probar que $\omega$ determina un \'unico campo
	$G$ en $\RR^3$ tal que $\omega_G^1=\omega$.
\item Demostrar ahora que $\omega_F^2(x)(u,v):=\langle F(x), u\times v\rangle$ define una
	$2$-forma en $\RR^3$. Calcular sus coordenadas en la base
	$\{dx \wedge dy, dz \wedge dx, dy\wedge dz\}$. Rec\'{\i}procamente, probar que toda
	$2$-forma $\omega$ define un \'unico campo $G$ en $\RR^3$ tal que $\omega_G^2=\omega$.
\item Sea $f \in \diff(\RR^3)=\Omega^0(\RR^3)$. Encontrar la relaci\'on entre
	\begin{enumerate}
	\item $df$ y $\nabla f$,
	\item $\rot F $ y $d\omega_F^1$,
	\item $\Div F$ y $d\omega_F^2$ (aqu\'{\i} identificamos $\Omega^3(\RR^3)\simeq\diff(\RR^3)$
		usando la base $dx\wedge dy\wedge dz$).
	\end{enumerate}
	Concluir, usando la relaci\'on $d\circ d=0$, las f\'ormulas cl\'asicas
	$\rot\nabla\equiv 0$ y $\Div\rot\equiv 0$.	
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
