
%\newcommand{\ti}{\;\;\makebox[0pt]{I}\makebox[0pt]{$\cap$}\;\;}





%\centerline{\bf Grupos de Lie y 'Algebras de Lie}
%\centerline{\bf Acciones de grupos - Curvas integrales}


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\newcommand\dlim{\lim\limits}
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\def\rank{rango}
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\newtheorem{teo}{Teorema}

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\lhead{Geometría Diferencial}
\chead{Práctica 5}
\rhead{Página \thepage}
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\begin{document}

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\begin{large}

\begin{center}

\noindent{{\sc Geometría Diferencial}}
- \bigskip{{\sc Primer Cuatrimestre de 2013}}

\sc{Práctica 5}
\end{center}

\end{large}

\noindent\hrule 
\bigskip


\section*{Grupos y álgebras de Lie y curvas integrales}

\begin{enumerate}

\item Sea $G$ un grupo de Lie conexo y $U$ en entorno abierto de $e$.
\begin{enumerate}
\item Probar que existe un abierto $V$ tal que $e\in V\subset U$ que cumple $V=V^{-1}$, donde $V^{-1}=\{g^{-1},\ g\in V\}$.
\item Probar que $G=\bigcup_{n=1}^{\infty} U^n$, donde $U^n=\{g_1g_2\dots g_n,\ g_i\in U\}$.
\end{enumerate}

\item Sea $G$ grupo de Lie y $H\subset G$ un subgrupo que es al mismo tiempo una subvariedad regular. Probar que $H$ es cerrado en $G$.

\item Probar que $O(n)=\{A\in GL(n,\RR),\ A^tA=Id\}$ es grupo de Lie.

\item Sea $H$ un subgrupo (en el sentido algebraico) de un grupo de Lie $G$. Probar que la clausura $\overline H$ también es subgrupo de $G$.

\item Sea $G$ un grupo de Lie que actúa sobre una variedad diferenciable $M$. Dado $x\in M$, considerar el grupo de isotropía $G_x$.
\begin{enumerate}
 \item Probar que $G_x$ es cerrado en $G$.
\item Si la acción es transitiva, probar que para todo $x,y\in M$, $G_x$ y $G_y$ son conjugados.
\end{enumerate}

\item Probar que $O(n)$ actúa transitivamente en $\SS^{n-1}$ y determinar los grupos de isotropía.

\item Probar que los siguientes grupos discretos $G$ actúan en forma propiamente discontinua sobre la variedad $M$ y calcular la variedad de órbitas $M/G$.
\begin{enumerate}
\item $G=\ZZ$ que actúa sobre $M=\RR$ vía $m\cdot x=x+m$.
\item $G$ el grupo de raíces $n$-ésimas de la unidad en $\CC$ (para un $n\in\NN$ fijo) que actúa sobre $\SS^1$ por multiplicación.
\item $G=\ZZ_2$ actuando en $\SS^n$ vía $\sigma\cdot x=-x$.
\end{enumerate}

\item En la práctica 3 se probó que $(\cam(M),[,])$ es un álgebra de Lie para cualquier variedad $M$. Probar que  $[,]$ no es $C^{\infty}(M)$-bilineal. Más precisamente, probar que $[fX,gY]=fg[X,Y]+f(X(g))Y-g(Y(f))X$, para $f,g$ funciones diferenciables y $X,Y\in\cam(M)$.

\item Probar que el álgebra de Lie asociada a $GL(n,\RR)$ es $gl(n,\RR)$.

\item Sean $G,H$ grupos de Lie y sean $\mathfrak{g}$ y $\mathfrak{h}$ sus álgebras de Lie asociadas (campos invariantes a izquierda). Dado un morfismo de grupos de Lie $f:G\to H$ e identificando las álgebras de Lie con los tangentes en las identidades, queda definido un morfismo $df:\mathfrak{g}\to \mathfrak{h}$. Probar que $df$ es morfismo de álgebras de Lie.

\item Sea $(\mathfrak{g},[,])$ un álgebra de Lie. Si $\dim \mathfrak{g}=1$, entonces $\mathfrak{g}$ es abeliana (es decir $[,] \equiv 0$). Si $\dim \mathfrak{g} =2$ demuestre que, o bien $\mathfrak{g}$ es abeliana, o bien existe una base $\{x,y\}$ de $\mathfrak{g}$ tal que $[x,y]=x$.

\item Sea $\mathfrak{g}=\RR^3$ y definamos $[v,w]:= v\times w$. Verificar que $\mathfrak{g}$ es un álgebra de Lie.

%\item Sea $\varphi:G \to H$ un morfismo de grupos de Lie.
%Probar que el siguiente diagrama conmuta.
%\[
%\xymatrix{
%G \ar@{->}[r]^\varphi \ar@{<-}[d]_{exp} & H \ar@{<-}^{exp}[d]
%\cr
%\g \ar@{->}[r]_{d\varphi} & \h
%}
%\]

\item Sea $f:M\to N$ una función diferenciable y $X\in\cam(M)$, $Y\in\cam(N)$ un par de campos $f$-relacionados. Probar que si $c$ es una curva integral de $X$ entonces $fc$ es una curva integral de $Y$.

\item Si $(U,\varphi)$ es una carta de $M$, calcular una curva integral del campo $\gan\varphi_1$.

\item Sea $N\subseteq M$ una subvariedad cerrada y $X\in\cam(M)$ tangente a $N$, es decir, para cada $p\in N$ se tiene $X_p\in T_pN$. Probar que $N$ es invariante por el flujo de $X$, es decir, una curva integral de $X$ que pasa por $N$ se mantiene en $N$. ¿Es invariante también su complemento $M\setminus N$? Mostrar con un ejemplo que la hipótesis de que $N$ es cerrada es necesaria.

\item En cada uno de los siguientes casos calcular el grupo uniparamétrico generado por el campo $X\in\cam(M)$.
\begin{enumerate}
\item $M=\RR^2$, $X(x_1,x_2)=(x_2,x_1)$ (v\'{\i}a la identificación $T_x\RR^2\simeq\RR^2$).
\item $M=\RR^2$, $X(x_1,x_2)=(x_1,-x_2)$.
\item $M=\GL_n$, $X(A)=BA$, con $B\in M_n(\RR)$.
\end{enumerate}

\item Sea $M$ una variedad, $p\in M$, $X\in\cam(M)$ un campo, $c:(a,b)\to M$ la curva integral maximal tal que $c(0)=p$. Si $\exists t\neq 0$ tal que $c(t)=p$, probar que $(a,b)=\RR$.

% \item Sea $M$ una variedad y $\theta: \RR \times M \to M$ un grupo uniparamétrico (acción suave). Consideramos el campo definido por
% \[
% X(f)(p) := \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(\theta_h(p))-f(p)}{h}.
% \]
% Probar que, en efecto, $X \in \cam(M)$ y que el flujo asociado es $\theta$. $X$ se llama el \emph{generador infinitesimal} de $\theta$.

\item En cada uno de los siguientes casos probar que $\phi:\RR\times M\to M$ es un grupo uniparam\'etrico y calcular su generador infinitesimal $X\in\cam(M)$
\begin{enumerate}
\item $M=V$ un $\RR$-espacio vectorial (de dimensión finita) y $\phi(t,v)=ta+v$, con $a\in M$ fijo.
\item $M=T^2=S^1\times S^1$, $\phi(t,z,w)=(e^{2t}z,e^{-t}w)$.
%\item $M=\GL_2$, $\phi(t,A)=\mdpd 1t01 A$.
\item $M=S^1\times\RR$, $\phi(t,z,x)=(e^{tx},z)$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{document}
