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\lhead{Geometría Diferencial}
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\begin{document}

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\begin{large}

\begin{center}

\noindent{{\sc Geometría Diferencial}}
- \bigskip{{\sc Primer Cuatrimestre de 2013}}

\sc{Práctica 3}
\end{center}

\end{large}

\noindent\hrule 
\bigskip

\section*{Espacio tangente}


\begin{enumerate}


\item Sea $f:M\to \RR$ diferenciable y sea $d_pf:T_pM\to T_{f(p)}\RR$ el diferencial. Identificando $T_{f(p)}\RR=\RR$ vía $\frac{\partial}{\partial t}|_{f(p)}=1$, probar que $d_pf(X_p)=X_p(f)$.

\item Sea $M\subset\RR^n$ una subvariedad definida como el conjunto $f^{-1}(0)$, donde $0$ es un valor regular de $f:\RR^n\to \RR$ diferenciable. Para $p\in M$ consideramos $i_*(T_pM) =  d_pi(T_pM)\subset T_p(\RR^n)$, donde $i$ es la inclusión. Demostrar que $T_pM$ es el núcleo de $d_pf$, concretamente
\[i_*(T_pM) =\left\{ \sum_{i=1}^n\lambda_i\frac{\partial}{\partial x_i}
\ / \ \sum_{i=1}^n
\lambda_i\frac{\partial f }{\partial x_i}=0
\right\}.\]

\item Sea $S^2=\{(x,y,z)\ / \ x^2+y^2+z^2=1\}$. Dar la fórmula del plano tangente en cada punto de la esfera.

\item Dado un punto $p\in M$ se define $F_p\subseteq \diff(p)$ como el conjunto de gérmenes que se anulan en $p$. Notar que está bien definido.
\begin{itemize}
 \item Probar que $F_p$ es un ideal de la $\RR$-álgebra $\diff(p)$.
 \item Probar que para todo $p$ hay un isomorfismo natural $T_pM \simeq (F_p/F_p^2)^\ast$, donde $F_p^2$ es el ideal generado por los productos de pares de elementos de $F_p$ (es decir el cuadrado del ideal) y $^\ast$ simboliza el espacio dual.
\end{itemize}

\item Probar que si $M=\SS^1$, entonces $TM$ es difeomorfo al cilindro $\SS^1\times\RR$.

\item
\begin{enumerate}
\item Considerar $\pi:TM\to M$ la proyección canónica. Probar que $\pi$ es diferenciable y de rango constante. Deducir que $T_pM$ es una
subvariedad de $TM$.
\item Sea $M\subseteq\RR^n$ una subvariedad. Se identifica $T_pM=d_pi(T_pM)\subseteq T_p(\RR^n)\simeq \RR^n$ y se toma $F:TM\to\RR$, $F(v)=<v,v>$, con el producto interno usual en $\RR^n$. Probar que $T_1M:=F^{-1}(1)$ es una subvariedad de $TM$ de dimensi\'on $2\dim M-1$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\section*{Campos vectoriales}

\begin{enumerate}

\item Sea $M$ una variedad, $p\in M$ y $v\in T_p(M)$ un vector tangente. Probar que existe un campo $X\in\cam(M)$ tal que $X(p)=v$.

\item Sea $p\in M$, $X$ un campo definido en un entorno de $p$ tal que $X(p)\neq 0$. Probar que existe una carta $(U,\varphi)$, con $U$ incluido en el dominio de $X$, tal que $X|_U=\frac{\partial}{\partial \varphi_1}$.

\item Sean $p\in M$ y $X_1,\dots,X_k$ campos definidos en un entorno de $p$ tales que $\{X_1(p),\dots,X_k(p)\}$ es un conjunto l.i. en $T_pM$. Probar que existe un entorno $U$ de $p$ tal que $\{X_1(q),\dots,X_k(q)\}$ es un conjunto l.i. para todo $q\in U$.

\item Dado un campo $X$ en $M$, se lo puede considerar como $X:\diff(M)\to \diff(M)$, $f\mapsto X(f)$ por la fórmula
\[(X(f))(p):=X(p)(f).\]
Mostrar que la composición $X\circ Y$ de dos campos considerados como derivaciones no es necesariamente una derivación, pero
que el corchete de Lie $[X,Y]:=X\circ Y-Y\circ X$ sí lo es.

\item Consideremos $(U, \varphi)$ una carta alrededor de un punto $p$ de una variedad $n$-dimensional. Verificar que los
campos $X_i:=\frac{\partial}{\partial \varphi_i}$ satisfacen $[X_i,X_j]=0\ \forall i,j$.

\item Sea $M=\RR^2$. Identificando $T_pM$ con $M$ de la manera natural, probar que no existe una carta $(U,\varphi)$ tal que los campos $\frac{\partial}{\partial \varphi_1}$, $\frac{\partial}{\partial \varphi_2}$ coincidan respectivamente con los campos $(x,y)\mapsto(1,0)$, $(x,y)\mapsto(0,y(x^2+1))$.

\item Probar que los campos vectoriales sobre una variedad tienen estructura de álgebra de Lie, es decir: el corchete es $\RR$-bilineal, antisimétrico ($[X,Y]=-[Y,X]$) y satisface la identidad de Jacobi:
\[
[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0 \quad\forall X,Y,Z\in\cam(M).
\]

\item ¿Es cierto que el corchete de Lie es $\diff(M)$-bilineal? Buscar un caso donde $X_p=0$ pero $[X,Y]_p\neq 0$.

\item Sea $M=S^3$ y sean $X_i, i=1,2,3$ los siguientes campos vectoriales en la esfera conseguidos por restricción
de los siguientes campos vectoriales de $\RR^4$:
\[X_1=
-x_2\frac{\partial }{\partial x_1}
+x_1\frac{\partial }{\partial x_2}
+x_4\frac{\partial }{\partial x_3}
-x_3\frac{\partial }{\partial x_4}\]
\[X_2=
-x_3\frac{\partial }{\partial x_1}
-x_4\frac{\partial }{\partial x_2}
+x_1\frac{\partial }{\partial x_3}
+x_2\frac{\partial }{\partial x_4}\]
\[X_3=
-x_4\frac{\partial }{\partial x_1}
+x_3\frac{\partial }{\partial x_2}
-x_2\frac{\partial }{\partial x_3}
+x_2\frac{\partial }{\partial x_4}
\]
\begin{itemize}
\item Verificar que son campos vectoriales en la esfera (es decir, que en cada punto de la esfera da un vector tangente, y que las
funciones $X_i:S^3\to TS^3$ son diferenciables).
\item Con el producto interno usual de $\RR^4$, verificar que en todo punto de la esfera dan una base ortonormal del tangente y deducir que $TS^3$ es trivial.
\item Calcular $[X_i,X_j]$ para todo $i,j=1,2,3$, y expresarlo en términos de los $X_i$'s.
\end{itemize}

\item Probar que, si existiera un campo vectorial $X$ nunca nulo en la esfera $S^2$, existiría otro campo $Y$ tal que, en cada punto, $\{X_p,Y_p\}$ es una base de $T_pS^2$.

Comentario: esto no sucede.

\item Sea $f:N\to M$ diferenciable y sean $X\in\cam(N)$ e $Y\in\cam(M)$. Se dice que $X$ e $Y$ están $f$-relacionados si para todo $p\in N$ se tiene que $d_pf(X_p)=Y_{fp}$ (notar que no se pide que $f$ sea sobreyectiva). Probar que si $f:N\to M$ es un difeomorfismo, entonces todo campo $X\in\cam(N)$ está $f$-relacionado con un único campo en $M$.

\item Sea $f:N\to M$ diferenciable y sea $X\in\cam(N)$. Probar que un campo $Y\in\cam(M)$ que esté $f$-relacionado con $X$ (en caso de existir) está univocamente determinado si y sólo si $f(N)$ es denso en $M$.

\end{enumerate}

\section*{Fibrados vectoriales}

\begin{enumerate}

\item Recordar que el espacio proyectivo \[\PP^n(\RR)=\left\{(x_0:\ \cdots \ :x_n)\ / \ (x_0,\dots,x_n)\in \RR^{n+1}\setminus\{0\}\right\}\] consiste en el conjunto de rectas en $\RR^{n+1}$ que pasan por el origen. Se define el siguiente subconjunto de $\PP^n(\RR)\times \RR^{n+1}$:
\[\U:=\{ (x_0:\ \cdots \ :x_n),v)\ / \ (x_0:\ \cdots \ :x_n)\in \PP^n(\RR)\hbox{ y } v\in \langle (x_0, \dots ,x_n) \rangle \}\] 
donde $\langle (x_0, \dots  ,x_n) \rangle$ significa la recta generada por $(x_0,\dots, x_n)$. Probar que $\U$ es una variedad 
diferenciable de dimensión $n+1$ y que la proyección $\pi:\U\to\PP^n(\RR)$
\[ ((x_0:\ \cdots \ :x_n),v)\mapsto (x_0:\ \cdots \ :x_n)\] hace de $\U$ un fibrado sobre $\PP^n(\RR)$.

\item Sea $\pi:L\to M$ un fibrado de línea (es decir, un fibrado vectorial de dimensión 1), con $M$ conexa. Si $m\in M$, se llama $0_m$ al cero del espacio vectorial $L_m$. Considerar el conjunto $S_0:=\{(m,0_m): \  \ m\in M\}$. Demostrar que si $L$ es un fibrado de línea trivial, entonces $L\setminus S_0$ tiene dos componentes conexas.

\item Demostrar que el fibrado de línea ``banda de Moebius" no es trivial. Observar que se puede comprobar este hecho empíricamente, recortando por el medio una banda de Moebius, y viendo que queda conexo. 

\item Sea $E \xto p M$ un fibrado vectorial de dimensión $d$ y sea $N \xto f M$ una función diferenciable.
\begin{enumerate}
\item Probar que el pullback, $f^\ast(E) : = \{(y, e) \in N \times E \ :  \ f(y) = p(e)\}$ es una variedad diferenciable y que la aplicación $\- p : f^\ast(E) \to N$ (dada por la proyección en la primera coordenada) es un fibrado vectorial de dimensión $d$.
\item Probar que la clase de fibrados sobre $M$, con estos morfismos forman una categoría (que denotaremos $\vect M$).
\item Probar que $f$ define un funtor $f^\ast: \vect M \to \vect N$.
\end{enumerate}

\item Sean $p:E\to M$ y $p':E'\to M$ fibrados. Dado $b\in M$, denotamos $E_{b}$ a la fibra $p^{-1}(b)$ y $E'_{b}$ a $p^{'-1}(b)$.
Construir $E\oplus E':=\{(x,y) : p(x)=p'(y)\}$. Probar que, con la función adecuada, es un fibrado sobre $M$. Observar que la fibra sobre cada $b$ es $(E\oplus E')_{b}=E_{b}\times E'_{b}$.

\item Probar que si $E, E'$ son fibrados triviales, entonces $E \oplus E'$ es un fibrado trivial.

\item Probar que si $E \to \SS^1$ es el fibrado de línea de Moebius, entonces $E \oplus E$ es trivial.

\item Considerar los fibrados tangente $T \SS^n \to \SS^n$ y normal $N \SS^n \to \SS^n$. Probar que la suma directa es trivial.

\item Probar que $\Gamma(M,TM)=\cam(M)$.

Notación: $\Gamma(M,E)$ es el conjunto de secciones de un fibrado $p:E\to M$.

\item Si $p:E\to M$ es un fibrado, demostrar que con las operaciones punto a punto $\Gamma(M,E)$ es un $\diff(M)$-módulo.

\item Sea $E= M \times V$  fibrado trivial con fibra $V$, entonces $\Gamma(M,E)\cong \diff(M,V)\cong \diff(M)^n$ donde $n=\dim(V)$.
Es decir, $\Gamma(M,E)$ es un $\diff(M)$-módulo libre de rango $\dim(V)$.

\item Sea $E \xto p M$ un fibrado, Probar que existen $k$ secciones linealmente independientes (en todo punto) si y sólo si existe un subfibrado de $E$ trivial de dimensión $k$.

\item Sea $M$ una variedad. Probar que se tiene un funtor $\Gamma (M, \centerdot ) : \vect M \to \diff(M)$-módulos.

\end{enumerate}
\end{document}
