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\lhead{Geometría Diferencial}
\chead{Práctica 1}
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\begin{document}

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\begin{large}

\begin{center}

\noindent{{\sc Geometría Diferencial}}
- \bigskip{{\sc Primer Cuatrimestre de 2013}}

\sc{Práctica 1}
\end{center}

\end{large}

\noindent\hrule 
\bigskip

\section*{Variedades topológicas}

\begin{enumerate}

\item Probar que toda variedad es localmente conexa y localmente compacta. Probar además que toda variedad es unión numerable de
compactos.

\item
Probar que toda variedad es paracompacta.

\item
Probar que no todo espacio paracompacto, localmente euclidiano y Hausdorff tiene una base numerable.

\item Sea $M = (0,1) \times (0,1)$ con la topología del orden lexicográfico. Probar que $M$ es Hausdorff y localmente euclidiana pero no es una variedad topológica. ¿Qué pasa con $[0,1]\times[0,1]$?

\item Verificar que un abierto de una variedad es una variedad (de la misma dimensión). Verificar que el producto cartesiano de dos variedades es naturalmente una variedad (su dimensión es la suma).

\item Verificar que la esfera $\SS^2$ y el toro son superficies compactas, notar que el toro es homeomorfo a $\SS^1\times \SS^1$.

\item Probar que si se identifican los puntos opuestos del disco $\DD^2$, se obtiene una superficie compacta.

\item Probar que los espacios proyectivos reales $\PP^n$ son variedades.

\item Sea $V$ un $\RR$-espacio vectorial de dimensión 3 con producto interno. Probar que el conjunto de puntos $(x,y)$  en $V\times V$ ambos de norma 1 y que son mutuamente ortogonales, es una variedad. Calcular su dimensión.

\item Sea $C$ una curva en $\RR^3$ (variedad de dimensión 1). Probar que el conjunto de todos los vectores normales a $C$ forman una
variedad tridimensional.

\end{enumerate}

\section*{Variedades diferenciables}

\begin{enumerate}

\item Probar que los siguientes conjuntos tienen una estructura de variedad diferenciable de dimensión $d$ y encontrar un atlas.
\begin{enumerate}
\item Esfera $\SS^n\subseteq\RR^{n+1}$, $d=n$ (ver ejercicio siguiente).
\item Espacio proyectivo $\PP^n(\RR)=\SS^n/\sim$, donde $x\sim y$ si $x=\pm y$, $d=n$.
\item Espacio proyectivo $\PP^n(\RR)=(\RR^{n+1}\setminus\{0\})/\sim$, donde
	$x\sim y$ sii son l.d.
\item Toro $\TT^n=\SS^1\times\cdots\times \SS^1$ ($n$ veces), $d=n$.
\item Cilindro $\{(x,y,z)\in\RR^3\ |\ x^2+y^2=1\}\cong S^1\times \RR$, $d=2$.
\end{enumerate}

\item Probar que los siguientes conjuntos tienen una estructura de variedad diferenciable
	de dimensión $d$.
\begin{enumerate}
\item $\GL_m(\RR)=\{A\in M_m(\RR)\ |\ \det(A)\neq 0\}$, $d=m^2$.
\item $\GL_m(\CC)=\{A\in M_m(\CC)\ |\ \det(A)\neq 0\}$, $d=2m^2$.
\item $\SL_m(\RR)=\{A\in M_m(\RR)\ |\ \det(A)=1\}$, $d=m^2-1$.
\item $\Or_m(\RR)=\{A\in M_m(\RR)\ |\ A\cdot A^t=1\}$, $d=m(m-1)/2$.
\end{enumerate}

\item Probar que si $G$ es uno de los grupos del ejercicio anterior, la multiplicación $\bullet : G \times G \to G$ y tomar inversa $ ^{-1} : G \to G$ son diferenciables.

\item En $\RR$ se definen las cartas $(\RR,\id)$ y $(\RR,c)$, donde $c(x)=x^3$.
Probar que estas cartas no son compatibles. Deducir que los atlas maximales que
contienen a cada una de estas cartas son distintos. Por último, probar que
estas dos estructuras de variedad diferenciable sobre $\RR$ son difeomorfas.

\item En la recta con dos orígenes $X=\RR\cup\{0'\}$, con $0'\notin\RR$, se consideran dos cartas:
una es $(\id,\RR)$, y la otra es $(\phi,U)$, donde $U=X-\{0\}$, $\phi(x)=x$ 
si $x\neq 0$ y
$\phi(0')=0$. Probar que con esta estructura todo punto de $X$ tiene un entorno homeomorfo
a un abierto de $\RR$, que el cambio de coordenadas de este atlas es diferenciable,
pero $X$ no es una variedad.
\[\xymatrix{
&&&&\ar[0,-4]\!\!\!\!\hbox{:}\!\!\!\!\ar[0,4]&&&&}
\]

\item Probar que son diferenciables:
\begin{enumerate}
 \item La identidad $\id:X\to X$.
 \item La composición de funciones diferenciables.
 \item La diagonal $\Delta:X\to X\times X$, $\Delta(x)=(x,x)$.
 \item Las proyecciones $\pi_X:X\times Y\to X$, $\pi_Y:X\times Y\to Y$.
\end{enumerate}

\item Probar que si $M$ es una variedad conexa de dimensión 1, entonces $M = \SS^1$ o $M = \RR$.

\item Probar que si $M$ es una variedad, eventualmente con borde, conexa y compacta de dimensión 1, entonces $M = \SS^1$ o $M = I$.

\item Probar que si $f : M \to N$ es un difeomorfismo, entonces $\gan f = f|_ {\gan M}: \gan M \to \gan N$ también.

\item Probar que el cilindro con borde $\SS^1 \times I$ y la cinta de M\"obius con borde no son difeomorfos.

\item Sean $U \subset \RR^n$ y $V \subset H^n$ entornos de $0$. Probar que $U$ y $V$ no son difeomorfos.

\end{enumerate}

\end{document}