Programa

1. Espacios vectoriales. Definición. Subespacios. Sistemas de generadores. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos. Independencia lineal. Bases y dimensión. Suma de subespacios. Teorema de dimensión de la suma. Suma directa.

2. Matrices. Subespacios de matrices. Operaciones con matrices. Propiedades del álgebra de matrices. Matrices inversibles. Cálculo de la inversa. Matrices elementales como generadores de GL(n,K). Coordenadas y matrices de cambio de base.

3. Transformaciones lineales. Definición. Núcleo, imagen. Epimorfismo, monomorfismo e isomorfismo. Teorema de la dimensión para transformaciones lineales. Proyectores y nilpotentes. Matriz de una transformación lineal. Rango de una matriz. Teorema sobre la dimensión del subespacio de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Equivalencia y semejanza de matrices.

4. Espacio dual. Definición. Base dual. Anulador. Dimensión del espacio anulador. Ecuaciones para un subespacio en una base. Cambios de bases duales a partir de las bases originales. Anulador de la suma y de la intersección de subespacios. Función transpuesta.

5. Determinante. Funciones multilineales alternadas por columnas definidas en matrices cuadradas. Existencia y unicidad fijando el valor en la identidad. Definición del determinante como la única función multilineal alternada que vale 1 en la identidad. Desarrollo del determinante por filas y por columnas. Efectos de la triangulación sobre el determinante. Criterio del determinante para decidir invertibilidad de matrices. Matriz adjunta. Regla de Cramer. Cálculo del rango de una matriz a partir de determinantes de submatrices. Fórmula del determinante usando permutaciones.

6. Diagonalización. Polinomio característico de una matriz cuadrada. Autovalores y autovectores. Diagonalización de matrices. Polinomio minimal. Teorema de Hamilton-Cayley. Criterios de diagonalización basados en el polinomio característico y en el minimal. Subespacios invariantes.

7. Forma de Jordan. Forma de Jordan para endomorfismos nilpotentes. Semejanza de matrices nilpotentes en C^nxn. Forma de Jordan general en C^nxn. Criterios para establecer semejanza de matrices en C^nxn. Potencias de una matriz en C^nxn.

8. Espacios vectoriales con producto interno. Ortogonalidad y ortonormalidad. Método de Gram-Schmidt. Proyecciones ortogonales. Distancia y ángulo. Adjunta de una transformación lineal. Transformaciones ortogonales. Clasificación en Rⁿ. Isometrías.

9. Variedades lineales. Definición de variedad lineal. Dimensión de una variedad lineal. Ecuaciones implícitas. Variedades paralelas y alabeadas. Distancia entre variedades lineales.

10. Formas bilineales simétricas. Definición. Matriz de una forma bilineal. Clasificación de formas bilineales simétricas reales. 

Bibliografía

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• Algebra lineal y geometría, A. Larotonda, 2da. ed., Eudeba, Buenos Aires, 1977.
• Algebra lineal, S. Lipschutz, 2da. ed. McGraw-Hill, 1992.
• Matrix analysis and applied linear algebra, C. Meyer, SIAM, Philadelphia, 2000.
• Algebra lineal y sus aplicaciones, G. Strang, Fondo Educativo Interamericano, México, 1982
• Algebra lineal aplicada, B. Noble, D. James, Prentice-Hall Hispanoamericana, México, 1989.
• Algebra Lineal, E. Gentile, Editorial Docencia, Serie: Notas de Algebra, 2.