Seminario QA

2019

Abstracts

Lunes 28 de octubre

Yago Antolin (Madrid)
Rational Coset Growth

Abstract

Following ideas that go back to Cannon, we show the rationality of various growth functions counting embeddings of convex subgraphs in locally-finite graphs with the (relative) falsification by fellow traveller property. One of our applications concerns Schreier coset graphs of hyperbolic groups relative to quasi-convex subgroups, we show that these graphs have rational growth, the falsification by fellow traveller property, and the existence of a lower bound for the growth rate independent of the generating set and the quasi-convex subgroup (provided it that has infinite index). We will also discuss some results concerning the rationality of the growth of parabolic cosets of Garside groups obtained with L. Paris.
Viernes 25 de octubre

Marco Bonatto
Involutive latin solution of the Yang Baxter equation

Abstract

Wolfgang Rump showed that there is a one-to-one correspondence between nondegenerate involutive set-theoretic solutions of the Yang-Baxter equation and binary algebras in which all left translations $L_x$ are bijections, the squaring map is a bijection, and the identity $(xy)(xz) = (yx)(yz)$ holds. We call these algebras rumples in analogy with quandles, another class of binary algebras giving solutions of the Yang-Baxter equation. We focus on latin rumples, that is, on rumples in which all right translations are bijections as well. In particular, we study the family of affine solutions and their extension theory. We develop the extension theory of rumples sufficiently to obtain examples of latin rumples that are not affine, not even isotopic to a group. Joint work with M. Kinyion, D. Stanovsky and P. Vojtechovsky.
Viernes 18 de octubre

Pablo Zadunaisky
Un álgebra de Lie asociada a una solución de Yang-Baxter

Abstract

A cada solución de YB se le asocia una cierta álgebra de Lie. La asignación no es del todo canónica pero en el caso de las soluciones conjuntistas hay una elección clara, y este álgebra de Lie a su vez refleja algunas propiedades de la solución clásica asociada. Por ejemplo, daremos una demostración sencilla del siguiente hecho: si la solución conjuntista (X,r) se retrae a una solución flip, entonces la solución vectorial asociada es diagonal y sus autovalores son raíces de la unidad [esto generaliza un resultado de Gateva-Ivanova y Majid sobre soluciones conjuntistas involutivas]. Después comentaré algunos avances hechos en el estudio de casos más generales en colaboración con Agustín Muñoz.
Viernes 11 de octubre

Kevin Piterman
Los posets de p-subgrupos y propiedades p-locales en grupos finitos

Abstract

Los posets de p-subgrupos fueron introducidos en la década del 70 por K. Brown y D. Quillen durante el estudio de la cohomología equivariante módulo p de G-espacios en relación con las propiedades p-locales del grupo G. Si G es un grupo finito y p es un primo que divide a su orden, denotamos por Sp(G) al poset de p-subgrupos no triviales de G (ordenados por la inclusión). En esta charla veremos que muchas propiedades p-locales del grupo G se pueden codificar en términos del tipo homotópicos de K(Sp(G)), el complejo de orden asociado al poset Sp(G) (sus símplices son las cadenas no vacías de elementos de Sp(G)). Por ejemplo, Quillen probó que K(Sp(G)) es disconexo si y solo si G posee un subgrupo fuertemente p-embebido, y que si G posee un p-subgrupo normal no trivial, entonces K(Sp(G)) es contráctil. La recíproca a este último es la bien-conocida conjetura de Quillen, que actualmente sigue abierta. Veremos también que el estudio de esta conjetura y de las propiedades homotópicas en general de estos posets guardan una profunda relación con la clasificación de los grupos finitos simples.
Viernes 27 de septiembre

Arne Van Antwerpen
Structure monoid of left non-degenerate solutions of the Yang-Baxter equation

Abstract

In this talk we will discuss the structure monoid M(X,r) of a finite left non-degenerate solution of the Yang--Baxter equation and its associated monoid algebra. Using a realization of Lebed and Vendramin of M(X,r) as a regular submonoid in the semidirect product $A(X,r) \rtimes Sym}(X), we will prove that KM(X,r) is a finite module over a central affine subalgebra. In particular, it is a Noetherian PI-algebra of finite Gelfand--Kirillov dimension. Furthermore, we will discuss some results on prime ideals of M(X,r) and we will discuss the positive answer to a conjecture of Gateva--Ivanova on cancelability of M(X,r).
Viernes 20 de septiembre

Marco Bonatto
The Wiegold problem and non-unital idempotent rings

Abstract

The Wiegold problem asks if every finitely generated perfect group is generated as a normal subgroup by a single element. The answer is positive in the finite case, but it is still open in general. An analog of this problem can be formulated for idempotent non-unital ring (IRNG), asking wheter every IRNG is generated by a single element as an ideal. Such problem is still open. We present the contents of the paper "Is an IRNG singly generated as an ideal?" (Monod, Ozawa, Thom), in which the connection within these two problems is explained.
Viernes 6 de septiembre

Emiliano Acri
Skew braces de tamaño pq

Abstract

En los últimos años se desarrolló el concepto de skew brace para estudiar soluciones no degeneradas de la ecuación conjuntista de Yang-Baxter. Se trata de una estructura algebraica que generaliza la noción de anillo radical en el sentido de Jacobson. Un problema bastante difícil de atacar es el de la clasificación de todas las soluciones finitas no degeneradas. Gracias a aportes de Bachiller, Cedó y Jespers, se sabe que toda solución no degenerada se puede construir a partir de una skew brace. Esto reduce el problema a la clasificación de skew braces. Se han hecho distintos aportes con distintas hipótesis sobre el tamaño de la skew brace (por ejemplo, se conocen todas las de tamaño p, p^2 y p^3 para p un primo). En un trabajo en conjunto con Marco Bonatto, construimos todas las skew braces de tamaño pq con p y q primos distintos. La charla intenta ser una introducción a los conceptos básicos así como una presentación de los métodos utilizados para la construcción. Daremos además una presentación explícita de las skew braces conseguidas. Preprint: https://arxiv.org/abs/1908.03228
Viernes 30 de agosto y Viernes 13 de septiembre

Santiago Ramírez
Sobre la conjetura de Hezog-Schonheim

Abstract

La conjetura de Herzog-Schonheim dice que si cubrimos un grupo por coclases, de subgrupos posiblemente distintos, entonces por lo menos dos de estas deberían corresponderse a subgrupos del mismo índice. Esta conjetura es una generalización de un problema sobre sucesiones aritméticas originalmente planteado por Erdos. En esta charla vamos a introducir la conjetura y comentar resultados tanto clásicos, como la solución del problema original de Erdos, como recientes al respecto.
Miércoles 27 de agosto

Javier Cóppola (Uruguay)
Conmutatividad graduada trenzada en cohomología de Hochschild

Abstract

Se sabe hace tiempo que la cohomología de Hochschild a coeficientes triviales de un álgebra de Hopf tiene un producto cup conmutativo en el sentido graduado. Por otro lado hay álgebras, como las álgebras de Nichols, que no cumplen esa propiedad, pero son álgebras de Hopf en categorías con trenzas “diferentes de la usual” (esto es, el funtor de olvido a Vec no preserva la trenza). ¿Se puede ver esa trenza en la cohomología? Les voy a contar un caso donde se sabe interpretar la conmutatividad en un sentido trenzado bajo ciertas hipótesis de finitud, y lo que estoy tratando de empezar a hacer fuera de esas hipótesis.

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