\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[utf8x]{inputenc}

% Caracteres especiales
\def\A{\mathbb{A}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def \N{\mathbb{N}}
\def \P{\mathbb{P}}
\def \Q{\mathbb{Q}}
\def \R{\mathbb{R}}
\def \Z{\mathbb{Z}}
\def \sen{\textrm{sen}}

\newtheorem{ejer}{Ejercicio}
\newcommand{\bej}{\begin{ejer}\rm}
\newcommand{\fej}{\end{ejer}}



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\begin{document}

%----------------------------------------------------------
%Encabezado:

\centerline{{\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matemática}}
 
 \vskip 0.2cm
 \hrulefill
 \vskip 0.2cm

 \centerline{{\bf\Large{\sc Elementos de Cálculo Numérico / Cálculo Numérico}}}
 \vskip 0.2cm
 \centerline{\ttfamily Curso de Verano 2019}
 \hrulefill

 \bigskip
 \centerline{\bf Práctica N$^\circ$ 8: Integración Numérica - Métodos Multipaso}
 \bigskip




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% 1
\bej \label{base-lag}
Interpolando las funciones de base de Lagrange, hallar una fórmula de cuadratura por interpolación de la forma
\[\int_0^{2h} f(x) \ dx \sim A_0 f(0) + A_1 f(h). \]
Para $f$ una función $C^2$ probar que el error cometido  no excede el valor $\dfrac{\| f''\|_\infty}2 h^3$.
\fej

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% 2
\bej Usar el método de coeficientes indeterminados para dar una fórmula de cuadratura por interpolación:
\[ \int_0^{3h} f(x) \ dx \sim A_0 f(0) +A_1 f(h) + A_2 f(3h). \]
\fej

%----------------------------------------------------------
% 3
\bej Construir la fórmula abierta de Newton-Cotes para calcular $\int_{-1}^1 f(x) \ dx$ con nodos $-1/2,\ 0,\ 1/2$, y la fórmula cerrada de Newton-Cotes con nodos en los puntos $-1$, $-1/3$, $1/3$, $1$.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 4
\bej Considerar la función definida en $[-h,h]$ ($h>0$):
\[f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 0, &\mbox{si}\ -h\leq x \leq 0\\
x,&\mbox{si}\quad \ \ 0< x \leq h. \end{array} \right.\]
Hallar el error de la regla de trapecios aplicada a $f(x)$. ¿El orden es igual al obtenido para una función suficientemente suave?
\fej

%----------------------------------------------------------
% 5
\bej La fórmula de cuadratura
$$\int_a^b f(x) \ dx \sim f\Big(\frac{a+ b}2\Big)\big(b-a\big)$$
es conocida como {\it Regla de los Rect\'angulos}. Para $f\in C^1[a,b]$ acotar el error que se comete al utilizarla.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 6
\bej
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Hallar una fórmula de cuadratura del tipo:
$$\int_{-1}^1 f(x) \ dx \sim Af(-2) + Bf(0) + Cf(2).$$
\item Para $f\in C^3[-2,2]$ probar que el error cometido no excede el valor $\frac 7{12}\| f^{(3)}\|_\infty.$
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 7
\bej \label{subs} Escribir programas que reciban una función $f$ y los límites del intervalo $[a,b]$, y utilicen las reglas de trapecios y de Simpson para aproximar $\int_a^b f$.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 8
\bej
Escribir programas que reciban una función $f$, los límites del intervalo $[a,b]$ y un parámetro $n$, y utilicen las reglas de trapecios y de Simpson compuestas para aproximar $\int_a^b f$, partiendo $[a,b]$ en $n$ intervalos.
\fej



% %----------------------------------------------------------
% % 9
% \bej\label{adaptivo} Se desea implementar una regla de cuadratura \emph{adaptiva}, es decir, una cuadratura compuesta que utilice más subintervalos en la zona en que la aproximación obtenida sea peor. Para ello, notamos $S(a,b)$ a la regla de Simpson en el intervalo $[a,b]$. Si notamos $c=\frac{a+b}{2}$, se tiene que:
% $$\big|S(a,b)-S(a,c)-S(c,b)\big|/15 \sim E(a,c,b),$$
% donde $E(a,c,b)$ es el error cometido al aplicar la regla compuesta: $S(a,c)+S(c,b)$. Implementar un programa que reciba como input una función $f$, un intervalo $[a,b]$ y una tolerancia $\varepsilon$ y calcule las cuadraturas: $q=S(a,b)$, $q_1=S(a,c)$ y $q_2=S(c,b)$. Si $|q-q_1-q_2|<15\varepsilon$, se devuelve el valor $q_1+q_2$. En caso contrario, se aplica el mismo criterio para integrar $f$ en los intervalos $[a,c]$ y $[c,b]$, con una tolerancia $\varepsilon/2$. 
% 
% Probar el programa calculando $\int_0^1 x e^{-x^2}dx = \frac{1}{2}(1-e^{-1})$. Comparar los resultados (y los tiempos de ejecución) con los obtenidos por la regla de Simpson compuesta. 
% \fej

%----------------------------------------------------------
% 9
\bej Se sabe que $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \ dx= \frac \pi4.$
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Para $n=1,\ldots, 100$, utilizar las reglas de trapecios y Simpson compuestas para aproximar numéricamente la integral y dar un valor cercano a $\pi$.
\item Graficar las sucesiones obtenidas junto con el valor de $\pi$ que arroja {\tt Octave} y el valor que se obtiene al aplicar el programa del ejercicio anterior. 
\end{enumerate}
\fej
%----------------------------------------------------------
% 10
\bej
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Calcular exactamente la integral \[ I= \int_0^{2\pi} [1-\cos(32x)]\ dx. \]
\item Aproximar el valor de $I$ usando el programa del Ejercicio \ref{subs} con los métodos de los trapecios, Simpson, trapecios compuesta y Simpson compuesta para $n=2,4,8$ y $16$.
% \item Calcular el valor de $I$ que produce el programa del ejercicio \ref{adaptivo}.
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 11
\bej Se quiere calcular $\int_{-1}^1 e^{-x^2} \ dx$ utilizando la regla de trapecios compuesta, partiendo el intervalo $[-1,1]$ en $n$ subintervalos. Hallar $n$ de modo que el error sea menor que $10^{-3}$.
\fej
%----------------------------------------------------------
% 12
\bej Determinar el grado de precisión de las fórmulas para $\int_{-1}^{1} f(x) \ dx$:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $\frac{4}{3} f(-0.5)- \frac{2}{3} f(0)+ \frac{4}{3} f(0.5).$
\item $\frac{1}{4}f(-1)+\frac{3}{4}f(-\frac{1}{3})+ \frac{3}{4}f(\frac{1}{3}) +\frac{1}{4}f(1).$
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 13
\bej Hallar reglas de cuadratura de grado de precisión máximo para aproximar $\int_{-3}^3 f(x) \ dx$, de las siguientes formas:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $A[f(x_0) + f(x_1)]$ (repitiendo el coeficiente).
\item $A f(x_0) + B f(x_0 + 4).$
\end{enumerate}
y determinar cuáles son dichos grados.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 14
\bej \label{trasla} Sea $w:\R\to\R$ una función estrictamente positiva. Se tiene una fórmula de cuadratura en el intervalo $[a,b]$ de la forma:
\begin{equation}\label{cuadratura}
\int_a^b f(x)w(x) dx \sim \sum_{i=1}^n A_i f(x_i).
\end{equation}
Aplicando un cambio de variables, obtener, a partir de \eqref{cuadratura}, una cuadratura para el intervalo $[c,d]$, de la forma $$\int_c^d f(x)w(x) \sim \sum_{i=1}^n B_i f(y_i).$$
Calcular los coeficientes $B_i$ en función de los $A_i$ y los nodos $y_i$ en función de los $x_i$. ¿Tiene la cuadratura en $[c,d]$ el mismo grado de precisión que la cuadratura en $[a,b]$? 
\fej

%----------------------------------------------------------
% 15
\bej Calcular $\int_{-1}^1 f(x) x^2 \ dx $ mediante una regla decuadratura de la forma
\[\int_{-1}^1 f(x) x^2 \ dx \sim A_0 f(x_0)+A_1 f(x_1) \]
que sea exacta para polinomios de grado menor o igual que 3.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 16
\bej \begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Hallar una regla de cuadratura del siguiente tipo
$$\int_{-1}^1 f(x)\sqrt{|x|}dx \sim A_0f(x_0) + A_1f(x_1).$$
que tenga grado de precisión máximo. ¿Cuál es dicho grado?
\item Hallar una regla de cuadratura del siguiente tipo
$$\int_{0}^4 f(x)\sqrt{\Big|\frac{x-2}{2}\Big|}dx \sim A_0f(x_0) + A_1f(x_1).$$
que tenga grado de precisión máximo. ¿Cuál es dicho grado? Sugerencia: Usar el ejercicio \ref{trasla}.
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 17
 \bej Sea $w$ una función de peso. Se considera la regla de cuadratura de 1 punto:
\[ \int_a^b f(x) w(x) \ dx \sim A_0 f(s).\]
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Probar que, cualquiera sea $w$, la fórmula tiene grado de precisión máximo si $s=\dfrac{\int_a^b x w(x) \ dx}{\int_a^b w(x) \ dx}$.
\item Probar que si $w(x)\equiv 1$, esta regla coincide con la regla de los rectángulos.
\item Considerar el intervalo $[-1, 1]$ y $w(x)= (x-1)^2$. Acotar el error que produce el uso de esta regla para funciones $C^1$.
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 18
\bej Hallar los pesos y los nodos de las f\'ormulas de Gauss-Legendre de dos y tres puntos. (Los polinomios de Legendre m\'onicos de grado dos y tres son $x^2-\frac{1}{3}$ y $x^3-\frac{3}{5} x$).
\fej

%----------------------------------------------------------
% 19
%\bej Usar las fórmulas de Gauss-Legendre de tres puntos para estimar:
%\[{\rm (a)}\quad \int_{-1}^1 \sin (3x) \ dx, \hspace{1cm} {\rm (b)}\quad
%\int_1^3 \ln (x) \ dx, \hspace{1cm} {\rm (c)}\quad \int_1^2 e^{x^2} \ dx. \]
%\fej

%----------------------------------------------------------
% 19
\bej Probar que una fórmula de cuadratura
\[\int_a^b f(x) w(x) \ dx \sim Q_n(f)=\sum_{j=0}^n A_j f(x_j) \]
no puede tener grado de precisión mayor que $2n+1$, independientemente de la elección de los coeficientes $(A_j)$ y de los nodos $(x_j)$.

Sugerencia: Hallar un polinomio $p\in \R_{2n+2}[X]$ para el cual $\displaystyle Q_n(p)\neq \int_a^b p(x) w(x) \ dx$.
\fej


% \bej Para $f:\R^2\to\R$ una funci\'on continua, se quiere dar
% una f\'ormula de cuadratura que aproxime $\displaystyle \iint_{D} f(x,y) \ dx
% \ dy$ con $D\subset \R^2$ usando el Teorema de Fubini de la
% siguiente manera:
% 
% \begin{enumerate}[label=\alph*)]
% \item Si $D= [0,1]\times [0,1]$, se define la funci\'on
% $\displaystyle F(x)=\int_0^1 f(x,y)\ dy$ y luego
% \begin{itemize}
% \item Se aproximan los valores $F(0), F(\frac 12), F(1)$ con la
% regla de Simpson.
% 
% \item Se aproxima $\displaystyle\int_0^1 F(x)\ \ dx$ usando otra
% vez la misma regla.
% \end{itemize}
% 
% Hallar expl\'\i citamente la regla que se obtiene.
% 
% \item Repetir el procedimiento y dar la f\'ormula correspondiente
% para $D$ el tri\'angulo de v\'ertices $(0,0), (0,1), (1,0)$.
% 
% Sugerencia: considerar $\displaystyle F(x)=\int_0^{1-x} f(x,y)\ dy$.
% 
% \item Probar que si $D$ es el tri\'angulo de v\'ertices $(0,0),
% (0,1), (1,0)$ la f\'ormula anterior es exacta para $f(x,y)= x^2 +
% y^2$.
% \end{enumerate}
% \fej

%----------------------------------------------------------
% 20
\bej Considerar la ecuaci\'on $y'(t)= f(t,y(t))$.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Deducir la fórmula de Milne:
$$y_{n}=y_{n-2}+ h(\frac13f_n + \frac43f_{n-1}+\frac13f_{n-2}),$$
aproximando la integral
$$\int_{t_{n-2}}^{t_{n}}f(t,y(t))dt=\int_{t_{n-2}}^{t_{n}}y'(t)dt=y(t_{n})-y(t_{n-2}),$$
con la fórmula de Simpson. Usar el Ejercicio \ref{trasla}.

\item Proceder en forma análoga al ítem anterior y dar un método multipaso de la forma
$$y_{n+1} - y_n =h\big[A f_n + B f_{n-1} + Cf_{n-2}\big].$$
\item Analizar la convergencia (estabilidad y consistencia) de los métodos de los ítems anteriores y calcular su orden.
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 21
\bej Analizar la convergencia de los siguientes métodos y calcular su orden.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item {\bf Adams-Bashforth.}
$$y_{n+3}-y_{n+2}=\frac{h}{12}(23f_{n+2}-16f_{n+1}+5f_{n}).$$
\item {\bf Adams-Moulton.}
$$y_{n+3}-y_{n+2}=\frac{h}{12}(5f_{n+3}+8f_{n+2}-f_{n+1}).$$
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 22
\bej Considerar el método de 2 pasos
$$y_{n+2}+ay_{n+1}+ay_{n}=h(\beta_2f_{n+2}+\beta_1f_{n+1}+\beta_0f_{n+1}).$$
Determinar $a,\beta_2,\beta_1,\beta_0$ de modo que el método resultante tenga orden 4.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 23
\bej Decidir si existe algún valor de $a \in \R$ para el cual el siguiente método multipaso sea convergente:
$$y_{n+3} - 3y_{n+2} + (3-a^2)y_{n+1} + (a^2-1)y_{n} = h[5f_{n+2} + (-a^2 -5)f_n ]. $$
\fej







\end{document}