\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{enumitem}
\usepackage[utf8x]{inputenc}

% Caracteres especiales
\def\A{\mathbb{A}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def \N{\mathbb{N}}
\def \P{\mathbb{P}}
\def \Q{\mathbb{Q}}
\def \R{\mathbb{R}}
\def \Z{\mathbb{Z}}
\def \sen{\textrm{sen}}

\newtheorem{ejer}{Ejercicio}
\newcommand{\bej}{\begin{ejer}\rm}
\newcommand{\fej}{\end{ejer}}

\def\dt{\Delta t}
\def\dx{\Delta x}

\topmargin-2cm \vsize 29.5cm \hsize 21cm
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\setlength{\oddsidemargin}{0.0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.0cm}


\begin{document}

%----------------------------------------------------------
%Encabezado:

\centerline{{\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matemática}}
 
 \vskip 0.2cm
 \hrulefill
 \vskip 0.2cm

 \centerline{{\bf\Large{\sc Elementos de Cálculo Numérico / Cálculo Numérico}}}
 \vskip 0.2cm
 \centerline{\ttfamily Curso de Verano 2019}
 \hrulefill

 \bigskip
 \centerline{\bf Práctica N$^\circ$ 6: Interpolación.}
 \bigskip


%----------------------------------------------------------
% 1
\bej\label{tabla} Para cada uno de los conjuntos de datos dados,
calcular el polinomio $p(x)$ interpolador de grado menor o igual
que 3:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item en la forma de Lagrange,
\item por coeficientes indeterminados,
\item utilizando diferencias divididas.
\end{enumerate}

 Verificar los resultados en \verb+Octave+, utilizando el comando
{\bf polyfit}.  Graficar el polinomio interpolador, usando {\bf polyval}.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline
x&-1&0&2&3\\
y&-1&3&11&27\\
\hline 
\end{tabular}
\quad
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline
x&-1&0&1&2\\
y&-3&1&1&3\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\fej


%----------------------------------------------------------
% 2
\bej Agregar a las tablas de datos del Ejercicio \ref{tabla} el
punto $x=4,\ y=1$. Calcular los polinomios interpoladores, aumentando las tablas de diferencias divididas.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 3
\bej {\bf Método de Horner}
Dado un polinomio $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0$. ¿Cuántos productos y cuántas sumas se realizan al evaluar el poliomio en un cierto $x_0$? Horner propone como alternativa escribir a $p$ como $p(x) = a_0+x(a_1+x(a_2+\dots+x(a_{n-1}+xa_n)))$. ¿Cuántos productos y cuántas sumas se realizan al evaluar $p$ bajo esta forma?
\fej

%----------------------------------------------------------
% 4
\bej\label{runge} Interpolar cada una de las siguientes funciones en $n+1$ puntos equiespaciados en el intervalo $[-1,1]$. Graficar simultáneamente la función con sus respectivos interpoladores para $n=5,10,15$.
$$f_1(x) = \frac{1}{1+25x^2},\qquad f_2(x) = |x|,\qquad f_3(x)=\sen(\pi x).$$

%Para $f_1$ graficar también los polinomios que la aproximan en el sentido de cuadrados mínimos en $n+1$ puntos equiespaciados y tienen grado $\frac 25 n$ y $\frac 45 n$
\fej


%----------------------------------------------------------
% 5
\bej\label{difdiv}
Implementar un programa que reciba como input dos vectores $x,y\in\R^n$, calcule la tabla de diferencias divididas y devuelva el polinomio que interpola los puntos $(x_i,y_i)$. 
\fej

%----------------------------------------------------------
% 6
\bej Encontrar una función del tipo $2^{ax^3 + bx^2 + cx + d}$
que interpole la siguiente tabla de datos:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & -1&0&1&2\\
\hline
$y$ & 1&1&0.5&4\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\fej


%----------------------------------------------------------
% 7
\bej Hallar y graficar una función del tipo
$e^{a_4x^4 + a_3x^3 + \dots + a_0}$ que interpole a la función $f(x) = 1/x$ en 5 nodos equiespaciados en el intervalo $[1, 10]$.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 8
\bej \label{equies}\begin{enumerate}
\item Dado el intervalo $[a,b]$, sea $m$ el punto medio
entre $a$ y $b$ y sea $h \le (b-a)/2$. Sea $p= m - h$ y $q = m + h$. Demostrar que para todo $x$ en $[a,b]$,
$$|(x-p)(x-q)| \le \frac{(b-a)^2}{4}.$$

\item Sean $x_0=a,\ldots,x_i=x_0+\frac{b-a}{n},\ldots,x_n=b$, $n+1$ puntos en el intervalo $[a,b]$, distribuidos simétricamente respecto del punto medio. Demostrar que para todo $x$ en $[a,b]$,
$$|(x-x_0)\dots(x-x_n)| \le \frac{(b-a)^{n+1}}{2^{n+1}}.$$
\end{enumerate}
\fej


%----------------------------------------------------------
% 9
\bej Sea $f$ una funci\'on $C^\infty$ tal que para todo $k\in \N$ y para todo $x\in [a,b]$ se tiene:
\[ |f^{k}(x)| \leq C^{k} k! \]

Mostrar que, si $0< C < \frac{1}{b-a}$ y $P_n$ en un polinomio de grado $n$ que interpola a $f$ en $n+1$ puntos distintos, entonces $P_n$ converge a $f$ uniformemente en $[a,b]$, es decir, $\|f - P_n\|_{\infty,[a,b]} \to 0$ cuando $n$ tiende a $\infty$.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 10
\bej Sea $f:[-1,1]\to\R$, $f(x)=\frac{1}{a+x}$. Sean $(x_n)_{n\geq 0}$ una sucesi\'on arbitraria de puntos en $[-1,1]$ y $P_n(x)$ el polinomio que interpola a $f(x)$ en $x_0,x_1,\ldots,x_n$. Demostrar que si $a > 3$ entonces $P_n$ converge a $f$ uniformemente en $[-1,1]$.
\fej


%----------------------------------------------------------
% 11
\bej \label{graf} Sea $f:[0,1]\to\R$, $f(x)= \sin(\pi x) + e^{x}$. Sea $P_n$ el polinomio de grado $n$ que interpola a $f$ en $n+1$ puntos equiespaciados.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Usando el Ejercicio \ref{equies}, acotar el error $\|f - P_n\|_\infty$.
\item Sea $C_n$ la cota hallada en (a). Para $n=1, 3, 5,$ graficar simult\'aneamente $f$, $f+ C_n$, $f- C_n$ y $P_n$.
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 12
\bej Dado un intervalo $[a,b]$, decidir como tienen que estar distribuidos $n+1$ nodos $x_0 < x_1 < \dots < x_n$ en el intervalo de modo que exista $x \in [a,b]$ tal que
$$|(x-x_0)\dots (x-x_n)|\sim (b-a)^{n+1}$$
\fej

%----------------------------------------------------------
% 13
\bej
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Hallar $n$ de modo que el polinomio $P_n$ que interpola a la funci\'on $f(x)=e^{2x}$ en los ceros de $T_{n+1}$ verifique que $\| f-P_n\|_\infty \leq 10^{-2}$ en $[-1,1]$.
\item Repetir el \'{\i}tem anterior para $f(x)=e^{x}$, $x\in [0,4]$.
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 14
\bej Para $n=5,10,15$; graficar simult\'aneamente  el polinomio $W_{n+1}(x)=\prod_{i=0}^{n} (x-x_i)$, donde $x_i=-1+2i/n$, $i=0,\ldots,n$ y el polinomio de Tchebychev $T_{n+1}$.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 15
\bej Repetir el Ejercicio \ref{runge} usando los polinomios que interpolan a la función $f$ en los ceros del polinomio de Tchebychev de grado $n+1$, para $n=5,10,15$.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 16
\bej \label{pprima} Utilizar el m\'etodo de coeficientes indeterminados para hallar un polinomio $p$ de grado 2 que satisfaga:
\[ p(1)=0,\ \ p'(1)=7,\ \ p(2)=10. \]
\fej

%----------------------------------------------------------
% 17
\bej Para ilustrar qué pasa cuando se desea interpolar no sólo una función sino también sus derivadas, consideramos el problema de hallar $p$ de grado a lo sumo 3 que verifique:

$
\begin{array}{lllll}
\mbox{(a)} &  p(0)=1, & p'(0)=1, & p'(1)=2, & p(2)=1;\\
\mbox{(b)} & p(-1)=1, & p'(-1)=1, & p'(1)=2, & p(2)=1;\\
\mbox{(c)} & p(-1)=1, & p'(-1)=-6, & p'(1)=2, & p(2)=1.
\end{array}
$

Usando el método de coeficientes indeterminados, demostrar que el problema (a) tiene solución única, el problema (b) no tiene solución, y el problema (c) tiene infinitas soluciones.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 18
\bej Analizar para qué valores de $x_0,\ x_1,\ x_2$, y $\alpha_0, \ \alpha_1,\ \alpha_2$ existe un polinomio de grado 2 que satisface:
\[ p(x_0)=\alpha_0, \ p(x_1)=\alpha_1, \ p'(x_2)=\alpha_2.\]
y cu\'ando este polinomio es \'unico.
\fej


%----------------------------------------------------------
% 19
\bej
\item \begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Sea $f(x) = \cos(\pi x)$, hallar un polinomio de grado menor o igual que $3$ que verifique
\[ p(-1)=f(-1), \ p(0)=f(0), \ p(1)=f(1) , \ p'(1)=f'(1).\]
\item
Hallar un polinomio de grado menor o igual que $4$ que verifique las condiciones del item anterior, m\'as la condici\'on
$$p''(1)=f''(1).$$
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 20
\bej Sea $f:[-1,1]\to\R$ la funci\'on $f(x)=e^{2x-1}$ y sean $x_0 <\ x_1<\ldots <x_n$ los ceros del polinomio de Tchebychev, $T_{n+1}$. Se interpola a $f$ con un polinomio $P$ de grado $\leq n+1$ de modo que $P(x_0)=f(x_0),\ P(x_1)=f(x_1),\ldots, P(x_n)=f(x_n)$ y adem\'as $P'(x_n)=f'(x_n)$. Probar que si $n\geq 6$ entonces, el error cometido en la interpolaci\'on sobre el intervalo $[-1,1]$ es menor que $10^{-3}$.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 21
\bej Sea $f\in C^2[a,b]$, y sean $x_0=a,x_1=a+h,\ldots,x_n=b$, donde $h=(b-a)/n$. Considerar la poligonal $\ell(x)$ que interpola a $f$ en los puntos $x_i$, $i=0\ldots n$.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Probar que $$ |f(x)-\ell(x)|\le \frac{ h^2 }{2} \max_{x\in [a,b]}|f''(x)|.$$
\item Para los $x\in [a,b]$ tales que $l$ es derivable, probar que
$$|f'(x)-\ell'(x)|\le  h \max_{x\in [a,b]}|f''(x)|.$$
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 22
\bej
Calcular un spline cúbico que interpole los datos: $x=(0,0.5,1)$, $y=(0,1,0)$. Graficar el spline junto con la función $\sen(\pi x)$. 
\fej

\end{document}