\documentclass[12pt]{article}
%\include{amsfonts}
\usepackage{amssymb,amsmath,latexsym,epsfig,euscript,multicol}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[utf8x]{inputenc}

% Caracteres especiales
\def\A{\mathbb{A}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def \N{\mathbb{N}}
\def \P{\mathbb{P}}
\def \Q{\mathbb{Q}}
\def \R{\mathbb{R}}
\def \Z{\mathbb{Z}}
\def \sen{\textrm{sen}}

\newtheorem{ejer}{Ejercicio}
\newcommand{\bej}{\begin{ejer}\rm}
\newcommand{\fej}{\end{ejer}}

\def\dt{\Delta t}
\def\dx{\Delta x}

\topmargin-2cm \vsize 29.5cm \hsize 21cm
\setlength{\textwidth}{16.75cm}\setlength{\textheight}{23.5cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0.0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.0cm}


\begin{document}

%----------------------------------------------------------
%Encabezado:

\centerline{{\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matemática}}
 
 \vskip 0.2cm
 \hrulefill
 \vskip 0.2cm

 \centerline{{\bf\Large{\sc Elementos de Cálculo Numérico / Cálculo Numérico}}}
 \vskip 0.2cm
 \centerline{\ttfamily Curso de Verano 2019}
 \hrulefill

 \bigskip
 \centerline{\bf Práctica N$^\circ$ 3: Ecuaciones Diferenciales: problemas de valores de contorno.}
 \bigskip

%----------------------------------------------------------
% 1
\bej Hallar el error local de las siguientes discretizaciones de la derivada primera indicando en cada caso las hipótesis de suavidad que requiere de la función $u$:

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $u^\prime (x) \sim \frac{u(x+h)-u(x)}{h}$ (diferencia \emph{forward})
\item $u^\prime (x) \sim \frac{u(x)-u(x-h)}{h}$ (diferencia \emph{backward})
\item $u^\prime (x) \sim \frac{u(x+h)-u(x-h)}{2h}$ (diferencias centradas)
\item $u^\prime (x) \sim -\frac{1}{h}(\frac{3}{2}u(x)-2u(x+h)+ \frac{1}{2}u(x+2h))$
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 2
\bej
Hallar el error local para la discretización habitual de la derivada segunda, y explicitar sus requerimientos de suavidad:
\[ f''(x) \sim \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} \]
\fej

%----------------------------------------------------------
% 3
\bej  Se tiene una masa sujeta a un resorte. Suponiendo que no existe rozamiento, la posición $y(t)$ de la masa a tiempo $t$ está regida por la ecuación:
$$m\ddot{y} = - ky,$$
donde $m$ es la masa y $k$ la constante del resorte. 

Supongamos que la masa se encuentra en movimiento y que se registra que su posición a tiempo $0$ es $y(0)=0$, mientras que a cierto tiempo $t_f$, es $y(t_f)=y_f$.

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Discretizar el intervalo $[0,t_f]$ con paso $h$. Utilizando la discretización usual para la derivada segunda y teniendo en cuenta las condiciones de contorno, discretizar el pro\-blema, formulándolo como un sistema lineal.  
\item Hacer un programa que reciba como input la masa $m$, la constante $k$ y el paso $h$, construya la matriz del sistema, lo resuelva, y grafique la solución. 
\item Resolver para $t_f=10$, con los siguientes datos:
\begin{itemize}
\item $y_f = 1$, $m=\frac{1}{4}$, $k=\frac{1}{2}$. 
\item $y_f = 1$, $m=0.025$, $k=\frac{1}{2}$.
\item $y_f = 1$, $m=\frac{1}{4}$, $k=0.05$.
\item $y_f = 1$, $m=0.025$, $k=0.05$.
\end{itemize}
Observar el efecto que producen las modificaciones en los distintos parámetros. 
 \end{enumerate} 
\fej


%----------------------------------------------------------
% 4
\bej
Si al problema anterior se le agrega rozamiento y un forzante se obtiene una ecuación de la forma:
$$m\ddot{y} = -ky -b\dot{y} + f,$$
donde $b$ es el coeficiente de rozamiento y $f=f(t)$ el forzante. 
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Escribir el sistema discretizado que corresponde a utilizar la discretización usual de la derivada segunda y diferencias centradas para la derivada primera.
\item Repetir usando diferencias forward para la derivada primera. 
\item Modificar el programa del ejercicio anterior para incorporar los nuevos términos de la ecuación utilizando diferencias centradas o forward para la derivada primera. 
\item Para $f=0$ proponer soluciones de la forma $y(t)=Ae^{\lambda t}$.  Hallar valores de $\lambda$ en función de los parámetros $m$, $k$ y $b$. Estudiar el comportamiento de la solución de acuerdo a la naturaleza de los valores de $\lambda$ hallados. 
\item Resolver tomando $y_0=1$, $t_f=10$, $y_f = 0$, con distintas combinaciones de los parámetros:
\begin{itemize}
\item $m=0.25$, $m=0.025$.
\item $k=0.5$, $k=0.05$.
\item $b=5\times 10^{-3}$, $b=0.05$, $b=0.1$.
\end{itemize}
Analizar si los resultados obtenidos son cualitativamente consistentes con lo esperado. 
\end{enumerate}
\fej


%----------------------------------------------------------
% 5
\bej
Calcular el error de truncado de las discretizaciones usadas en el ejercicio anterior, tanto para diferencias centradas como para forward. ¿Cuál parece preferible?
\fej


%----------------------------------------------------------
% 6
\bej\label{ej:estacionario}
Considerar el problema del calor estacionario en el intervalo $[0,1]$:
$$\begin{array}{c} 
-\alpha u''(x) =  f(x),\\
u(0) = u(1) =  0,\end{array}$$
donde $u$ representa la distribución de temperatura generada por una fuente $f$ y $\alpha>0$ es el coeficiente de difusividad térmica. 
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Formular el problema de forma matricial. 
\item Estudiar el error de truncado.
\item Resolver y graficar la solución para distintos valores de $\alpha$.
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 7
\bej
Considerar el problema de evolución para la ecuación del calor, dado por la ecuación en derivadas parciales: 
$$\begin{array}{lr}
u_t (x,t) =  \alpha u_{xx}(x,t) & x\in(0,1),\; t>0 \\
u(x,0) = g(x) & x\in[0,1] \\
u(0,t) = u(1,t) = 0 & t>0, 
\end{array}$$
donde tomamos $\alpha=1$.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Discretizar el problema usando un esquema explícito con paso $h$ en $x$ y paso $\dt$ en $t$. 
\item Calcular el error de truncado del método. ¿Existe algún valor de $r=\frac{\dt}{h^2}$ tal que el error de truncado sea mejor?
\item Hallar condiciones sobre $r$ que garanticen la estabilidad del método en norma infinito. 
\item Probar que el error de discretización $e_j^{n}=U(x_j,t_n)-u_j^n$ es solución de la ecuación en diferencias:
\[e_j^{n+1}=re_{j-1}^n+(1-2r)e_j^n+re_{j+1}^n + \Delta t\ T(x_j,t_n), \]
donde $T(x_j,t_n)$ es el error de truncado local en $(x_j,t_n)$.
\item Probar que si se satisfacen las condiciones de estabilidad el método resulta convergente. 
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 8
\bej\label{ej:calor}
Para el problema del ejercicio anterior:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Implementar un programa que reciba como input los pasos $h$ y $\dt$, el coeficiente $\alpha$, el dato inicial $g$ y un tiempo final $t_f$ y resuelva el problema. 
\item Graficar la solución $u$ con dominio en el plano $[0,1]\times[0,t_f]$. ¿Qué se observa cuando se resuelve utilizando un valor de $r$ que no satisface la condición de estabilidad?
\item Graficar la solución en el intervalo $[0,1]$, para cada instante de tiempo. Usando los comandos \verb+drawnow+ y \verb+pause(+$\cdot$\verb+)+ puede obtenerse una \emph{película} mostrando la evolución de la solución. 
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 9
\bej
Modificar el programa del Ejercicio \ref{ej:calor} para que resuelva la ecuación
$$u_t(x,t) = \alpha u_{xx}(x,t) + f(x,t),$$
donde $f$ es una fuente. 

Resolver tomando $g(x)\equiv 0$, para alguna $f$. Por ejemplo, pueden tomarse:
\begin{itemize}
\item $f(x,t) = x(1-x)$
\item $f(x,t) = \chi_{[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}(x)$
\item $f(x,t) = \chi_{[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}(x) \sin(t)$
\item $f(x,t) = \chi_{[\frac{1}{8},\frac{3}{8}]}(x)\chi_{[2i,2i+1]}(t) + \chi_{[\frac{5}{8},\frac{7}{8}]}(x)\chi_{[2i+1,2i+2]}(t)$, tomando $i=0,\dots,I-1$, $t_f = 2I$. 
\end{itemize}
Para las $f$ independientes de $t$, comparar la solución a tiempo $t_f$ con la obtenida al resolver el problema estacionario del Ejercicio \ref{ej:estacionario}.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 10
\bej Considerar la ecuación $u_t=\alpha u_{xx}$ con condiciones de Dirichlet homogéneas y con $\alpha>0$. Para el método implícito de primer orden:
\[u_j^{n+1}-u_j^n=r\alpha(u_{j-1}^{n+1}-2u_j^{n+1}+u_{j+1}^{n+1}). \]
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Estudiar la estabilidad en norma infinito.
\item Probar que el error de truncado es $O(\dt)+O(h^2)$.\\
\end{enumerate}
\fej

\end{document}

\bej
Considerar el problema de evolución para la ecuación del calor, dado por la ecuación en derivadas parciales: 
$$\begin{array}{lr}
u_t (x,t) =  \alpha u_{xx}(x,t) & x\in(0,1),\; t>0 \\
u(x,0) = g(x) & x\in[0,1] \\
u(0,t) = u(1,t) = 0 & t>0. 
\end{array}$$
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Plantear las ecuaciones del método de líneas para este problema, discretizando el espacio en $N+1$ nodos equiespaciados. 
\item Escribir una función que reciba como parámetro a $N$ y un tiempo final $t_f$, y resuelva el sistema con el método de líneas utilizando algún método para resolución de sistemas visto en la práctica anterior (por ejemplo, \verb+ode45+, \verb+ode23s+). Se puede tomar $g(x)=\sin(\pi x)$. 
\item Utilizar la función del ítem anterior para resolver el sistema con $N=10, 50$ y $100$. ¿Qué se observa?
\end{enumerate}
\fej