\documentclass{amsart}

%Referencias
\usepackage{amsrefs}

%Idioma
\usepackage[spanish]{babel}

%Fuente
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[bitstream-charter]{mathdesign}


%Comandos para escribir N, Z, Q, R, C más rápido
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%Entornos con estilo 'tipo teorema'
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{ej}[equation]{Ejercicio}
\newtheorem{teo}[equation]{Teorema}
\newtheorem{prop}[equation]{Proposición}
\newtheorem{lem}[equation]{Lema}
\newtheorem{coro}[equation]{Corolario}

%Entornos con estilo 'tipo observación'
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{defi}[equation]{Definición}
\newtheorem{obs}[equation]{Observación}

%Hipervínculos cliqueables, en color azul
\usepackage[colorlinks=true,allcolors=blue]{hyperref}

%Título
\title{{\LARGE Topología}\\Segundo cuatrimestre 2022\\
\large Entrega 1: espacios topológicos finitos
}

%Fecha
\date{}

%Nombre
\author{Nombre Apellido}

\begin{document}

\maketitle

Un \emph{preorden} es un conjunto $X$
junto con una relación reflexiva y transitiva
$\le \ \subseteq X \times X$. Decimos que dos elementos
$x,y \in X$ son \emph{comparables} si
$x \le y$ ó $y \le x$.

\begin{ej} \label{ej:pre-a-esp}
Sea $X$ un preorden finito. Para cada $x \in X$,
sea $U_x = \{y \in X : y \le x\}$. Probar que la familia
\[
\beta = \{U_x : x \in X\}
\]
es una base para una topología en $X$. ¿Qué topología
tiene el conjunto $\{0,1\}$ si tomamos el orden
$0 < 1$?
\end{ej}
%\begin{proof}[Resolución]
%\end{proof}

\begin{ej} \label{ej:esp-a-pre}
Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico finito.
Para cada $x \in X$, sea $U_x = \cap_{U \ni x \text{ abierto}}U$. Probar que la relación
\[
y \le x \iff y \in U_x
\]
define una estructura de preorden en $X$. ¿Qué
estructura de preorden obtenemos si consideramos
el espacio de Sierpiński?
\end{ej}
%\begin{proof}[Resolución]
%\end{proof}

\begin{ej} \label{ej:equiv}
Convencerse de que las construcciones de los Ejercicios
\ref{ej:pre-a-esp} y \ref{ej:esp-a-pre} son inversas.
\end{ej}

En vista del Ejercicio \ref{ej:equiv}, vamos a
tratar a un preorden como espacio topológico con la
topología del Ejercicio \ref{ej:pre-a-esp}; recíprocamente
hablaremos de un espacio finito como un preorden haciendo referencia al Ejercicio \ref{ej:esp-a-pre}.

\begin{ej} \label{ej:caminos}
Sea $X$ un espacio topológico finito y $x,y \in X$
tales que $x \le y$. Probar que la función
\[
f \colon [0,1] \to X, \qquad
f(t) = \begin{cases}
x &\text{si $t \in [0,1)$}\\
y &\text{si $t = 1$}
\end{cases}
\]
es continua.
\end{ej}
%\begin{proof}[Resolución]
%\end{proof}

El Ejercicio \ref{ej:caminos} nos dice en particular
que los abiertos básicos $U_x$ son siempre arcoconexos,
para todo espacio finito. En consecuencia, los
espacios finitos son conexos si y sólo si son arcoconexos.

\begin{ej} Sea $X$ un espacio finito. Probar que las
siguientes condiciones son equivalentes:
\begin{itemize}
    \item[i)] El espacio $X$ es conexo.
    \item[ii)] Dados $x,y \in X$, existen puntos
    $z_0 = x, z_1, \ldots, z_n = y\in X$ tales que $z_i$ y $z_{i+1}$ son comparables para todo $i \in \{0,\ldots,n-1\}$.
\end{itemize}
\end{ej}
%\begin{proof}[Resolución]
%\end{proof}

\end{document}
