
\documentclass[12pt]{article}

\topmargin -1in
\oddsidemargin -0.4in
\evensidemargin 0in
\textwidth 7.1in
\textheight 10in
\parskip .06in

\newcommand\bthe {\mbox{\boldmath $\theta$}}

\def\natural{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt N$}}
\def\real{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt R$}}

\begin{document}
\noindent
\textbf{Estad\'\i stica (M)}\hspace{12.6cm}\textbf{Pr\'actica 5}
\vspace{-0.3cm}
\newline
\rule{18cm}{0.2mm}

{\sf A) Estimadores de Bayes. }

\begin{enumerate}
\item  Consideremos una muestra aleatoria $X_{1},\dots ,X_{n}$ tal que $%
X_{i}|_{\bthe=\theta} \sim F_{\theta }$ y $\bthe $ tiene distribuci\'{o}n a priori $%
\Lambda .$ Se quiere estimar $q\left( \theta \right) $ con funci\'{o}n de
p\'{e}rdida cuadr\'{a}tica. Probar que si $T\left( {\bf X}\right) $ es un
estad\'\i stico suficiente para $\theta $, entonces el estimador de Bayes de $q\left(
\theta \right) $ depende de ${\bf X}$ s\'{o}lo a trav\'{e}s de $T.$

\item 
\begin{enumerate}
\item  Sea $\bthe $ con distribuci\'{o}n a priori $\Lambda $ y $X_{1},\dots
,X_{n}$ una m.a. tal que $X_{i}|_{\bthe=\theta} \sim F_{\theta }$. Se desea estimar $%
q\left( \theta \right) $ utilizando la funci\'{o}n de p\'{e}rdida
cuadr\'{a}tica. Demostrar que si el estimador de Bayes $\delta _{\Lambda
}\left( {\bf X}\right) $ es un estimador insesgado de $q\left( \theta
\right) $, es decir 
\[
E\left( \delta _{\Lambda }\left( {\bf X}\right) \mid \bthe=\theta \right) =q\left(
\theta \right) \ \ \forall \theta \in \Theta , 
\]
entonces $E\left[ \left( \delta _{\Lambda }\left( {\bf X}\right) -q\left(
\bthe \right) \right) ^{2}\right] =0.$

\item  Mostrar que $\bar{X}$ no es un estimador de Bayes de $\theta $ para
ninguna distribuci\'{o}n a priori $\Lambda $ cuando $X|_{\bthe=\theta}\sim N\left(
\theta ,1\right) $ y cuando se usa la p\'erdida cuadr\'atica.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item  Sea $X_1,\ldots ,X_n$ una m.a. tal que $X_{i}|_{\bthe=\theta} \sim F_{\theta} $ y $
\bthe \sim \Lambda $. Se quiere estimar $\theta $ con funci\'{o}n de
p\'{e}rdida $L\left( \theta ,d\right) .$ Se define el riesgo a posteriori de
un estimador $\delta \left( {\bf X}\right) $ como 
\[
r\left( \delta |{\bf x}\right) =E\left( L\left( \bthe ,\delta \left( {\bf X}%
\right) \right) |{\bf X}={\bf x}\right) . 
\]
Probar que si existe una funci\'{o}n $\delta _\Lambda \left( {\bf x}\right) $
tal que $r\left( \delta _\Lambda |{\bf x}\right) =\displaystyle\min_\delta \; r\left( \delta
|{\bf x}\right) ,$ entonces $\delta _\Lambda \left( {\bf X}\right) $ es un
estimador de Bayes de $\theta $.

\item  Hallar el estimador de Bayes de $\theta $ cuando $L\left( \theta
,d\right) =w\left( \theta \right) \left( \theta -d\right) ^2$ con $w\left(
\theta \right) >0.$

\item  Hallar el estimador de Bayes de $\theta $ cuando $L\left( \theta
,d\right) =\left| \theta -d\right| .$
\end{enumerate}

\item  Sea $X$ una v.a. tal que $X|_{\bthe=\theta} \sim {\cal U}\left( 0,\theta
\right) $ y $\bthe \sim \Gamma \left( 2,1\right) .$

\begin{enumerate}
\item  Encontrar el estimador de Bayes de $\theta$ cuando $L\left( \theta ,d\right)
=\left( \theta -d\right) ^2.$

\item  Encontrar el estimador de Bayes de $\theta$ cuando $L\left( \theta ,d\right)
=\left| \theta -d\right| .$
\end{enumerate}

\item  Sea $X_1,\dots ,X_n$ una m.a. tal que $X_i|_{\bthe=\theta} \sim Bi\left(
1,\theta \right) $ y $\bthe \sim \Lambda $ continua. Consideremos la
funci\'{o}n de p\'{e}rdida cuadr\'{a}tica.

\begin{enumerate}
\item  Probar que $\bar{X}$ no es un estimador de Bayes de $\theta .$

\item  Hallar el estimador de Bayes $\delta _{\Lambda }$ cuando $\Lambda
=\beta \left( r,s\right) $, con $r,s>0$. Mostrar que $\delta _{\Lambda }$ es un promedio pesado entre $\bar{X}$ y $\displaystyle\frac{r}{ r+s}.$ Interpretar.

\it Recordar: \rm  que $\bthe \sim \beta \left( r,s\right) $ si su funci\'{o}n de
densidad es 
$$
f(\theta)=\frac{ \Gamma \left(
r+s\right)}{\Gamma \left( r\right) \Gamma \left( s\right) }\theta ^{r-1}\left( 1-\theta \right) ^{s-1}I_{\left( 0,1\right)
}\left( \theta \right) 
$$

\item  Encontrar el estimador de Bayes de $\theta $ con funci\'{o}n de
p\'{e}rdida $L\left( \theta ,d\right) =\displaystyle\frac{\left( \theta -d\right) ^{2}}{%\left[
\theta \left( 1-\theta \right) %\right]
}.$ \textquestiondown Qu\'{e} pasa en
el caso $\Lambda ={\cal U}\left( 0,1\right) $?
\end{enumerate}

\newpage
\item  Consideremos una m.a. $X_1,\ldots ,X_n$ tal que $X_i|_{\bthe=\theta} \sim 
{\cal P}\left( \theta \right) $ y $\bthe \sim \Gamma \left( r,\lambda
\right) ,$ con $r,\lambda >0.$

\begin{enumerate}
\item  Encontrar el estimador Bayes $\delta _{\Lambda }$ y calcular $r\left( \delta _{\Lambda },\Lambda \right) $ el riesgo de Bayes.

\item  Mostrar que $\delta _{\Lambda }$ puede escribirse como un promedio
pesado entre $\bar{X}$ y $\displaystyle\frac{r}{\lambda}.$ Interpretar.

\item  Comparar $r\left( \delta _{\Lambda },\Lambda \right) $ con $r\left( \bar{X}
,\Lambda\right) .$ Mostrar que $\displaystyle\frac{r\left( \bar{X},\Lambda\right)}{r\left( \delta _{\Lambda},\Lambda \right)} \rightarrow 1$ cuando $n\rightarrow \infty .$

\item  Encontrar el estimador de Bayes de $\theta $ para la funci\'{o}n de
p\'{e}rdida $L\left( \theta ,d\right) =\displaystyle\frac{\left( \theta -d\right) ^{2}}{\theta }$
y calcular $r\left( \delta _{\Lambda },\Lambda\right) .$
\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\vspace{0.2cm}
{\sf B) Estimadores minimax y admisibles.}

%\begin{enumerate}
\item  Demostrar que si un estimador es admisible y tiene riesgo constante,
entonces es minimax. Recordar que $\delta \left( {\bf X}\right) $ es un
estimador $admisible$ de $\theta $ si y s\'{o}lo si no existe $\delta ^{\ast
}\left( {\bf X}\right) $ otro estimador tal que:

\begin{itemize}
\item  $R\left( \delta ^{\ast },\theta \right) \leq R\left( \delta ,\theta
\right) \ \ \forall \theta \in \Theta ,$ siendo $R\left( \delta ,\theta
\right) =E\left( L\left( \bthe ,\delta \left( {\bf X}\right) \right)
|\bthe=\theta \right) $ el riesgo frecuentista.

\item  $\exists \ \theta ^{\ast }:R\left( \delta ^{\ast },\theta ^{\ast
}\right) <R\left( \delta ,\theta ^{\ast }\right) $
\end{itemize}

\item  Sea $X|_{\bthe=\theta}\sim Bi\left( n,\theta \right) $ y supongamos que se quiere
estimar $\theta $ con funci\'{o}n de p\'{e}rdida cuadr\'{a}tica. Dado $%
0<\varepsilon <1,$ consideremos el estimador aleatorizado 
\[
\delta _{\varepsilon }\left( X\right) =\left( 1-\bf \tau\rm \right) \cdot \frac{X}{n%
}+\bf\tau\rm \cdot \frac{1}{2} 
\]
donde $\bf \tau\rm \sim Bi\left( 1,\varepsilon \right) $ y es independiente de $X.$

\begin{enumerate}
\item  Determinar la funci\'{o}n de riesgo de $\delta _{\varepsilon }$ y
verificar que para $\varepsilon =1/(n+1)$ es constante y menor que $%
\displaystyle\sup_{\theta }R\left( \theta ,X/n\right) .$ (Por lo tanto $X/n$ no es
minimax.)

\item  Demostrar que 
\[
\delta ^{\ast }\left( X\right) =\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n}}\cdot \frac{X}{n}+%
\frac{1}{1+\sqrt{n}}\cdot \frac{1}{2} 
\]
es minimax y admisible.

\it Sugerencia: \rm usar el ejercico 5 de la parte anterior.
\item  Probar que $R\left( \theta ,X/n\right) >R\left( \theta ,\delta ^{\ast
}\right) \Leftrightarrow \theta \in I_{n},$ donde el intervalo $I_{n}$ es de
la forma $1/2\pm c_{n}$ con $c_{n}\rightarrow 0.$ \quad Por lo tanto, dado
cualquier $\theta \neq 1/2,$ existe $N_{\theta }$ tal que $R\left( \theta
,X/n\right) <R\left( \theta ,\delta ^{\ast }\right) $ para $n\geq N_{\theta
}.$ \quad Por otra parte, $R\left( 1/2,X/n\right) /R\left( 1/2,\delta ^{\ast
}\right) \rightarrow 1.$ Sacar conclusiones.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item  Si $X_{1},\ldots ,X_{n}$ es una m.a. tal que $X|_{\bthe=\theta}\sim Bi\left( 1,\theta \right) ,$ probar que $\bar{X}$ es minimax y admisible
para la funci\'{o}n de p\'{e}rdida $L\left( \theta ,d\right) =\left( \theta
-d\right) ^{2}/\left[ \theta \left( 1-\theta \right) \right] .$

\item  Deducir que $\bar{X}$ tambi\'{e}n es admisible para la funci\'{o}n de
p\'{e}rdida cuadr\'{a}tica.
\end{enumerate}

\item  Si $X_{1},\ldots ,X_{n}$ es una m.a. tal que $X|_{\bthe=\theta}\sim {\cal P}
\left( \theta \right) ,$ mostrar que $\bar{X}$ es el \'{u}nico minimax para
la funci\'{o}n de p\'{e}rdida $L\left( \theta ,d\right) =\left( \theta
-d\right) ^{2}/\theta .$
\end{enumerate}

\end{document}