
\documentclass[12pt]{article}


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\def\natural{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt N$}}
\def\real{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt R$}}

\newcommand\bX {\mathbf X}

\begin{document}

\noindent
\textbf{Estad\'\i stica (M)}\hspace{12.6cm}\textbf{Pr\'actica 3}
\vspace{-0.3cm}
\newline
\rule{18cm}{0.2mm}


{\sf A) Familias exponenciales.}

\begin{enumerate}
\item[1.]  Mostrar que las siguientes familias de distribuciones son
exponenciales. En cada caso, hacer una elecci\'{o}n expl\' \i cita de $a( {\bf \theta }) $, $h( {\bf x}) $, $c_{j}( {\bf \theta }) $ y $t_{j}( {\bf x}) $ y
exhibir un estad\' \i stico suficiente para ${\bf \theta }.$

\begin{enumerate}
\item  ${\cal P}\left( \theta \right) $; $\theta >0$.

\item  $N\left( \mu ,\sigma ^{2}\right) $; ${\bf \theta }=\left( \mu ,\sigma
^{2}\right) ,$ con $\mu \in {\real}$ y $\sigma ^{2}>0$.

\item  $\Gamma \left( \alpha,\lambda \right) $; ${\bf \theta }=\left( r,\lambda
\right) ,$ con $\alpha,\lambda >0$.

\item  ${\cal M}\left( n,\theta _{1},\dots ,\theta _{k}\right) $; ${\bf %
\theta }=\left( \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}\right) ,$ con $0<\theta
_{j}<1,$ $\sum_{j=1}^{k}\theta _{j}=1$ y $n$ conocido.

\item  $BN\left( r,\theta \right) ;$ $0<\theta <1$ y $r$ conocido.

\item  $\beta \left( r,s\right) ;$ ${\bf \theta }=\left( r,s\right) ,$ con $%
r,s>0.$
\end{enumerate}

\item [2.] Consideremos la familia de distribuciones normales bivariadas $%
N\left( \mu _{1},\mu _{2},\sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2},\rho \right) $,
donde ${\bf \theta }=\left( \mu _{1},\mu _{2},\sigma _{1}^{2},\sigma
_{2}^{2},\rho \right) ,$ con $\sigma _{1},\sigma _{2}>0$ y $\left| \rho
\right| <1$, cuya densidad conjunta es:
\[
f\left( x,y;{\bf \theta }\right) =\frac{1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}\left(
1-\rho ^{2}\right) }\exp \left\{ -\frac{
\left( \frac{x-\mu _{1}}{\sigma _{1}}\right) ^{2}+\left( \frac{y-\mu _{2}}{
\sigma _{2}}\right) ^{2}-2\rho \left( \frac{x-\mu _{1}}{\sigma _{1}}\right)
\left( \frac{y-\mu _{2}}{\sigma _{2}}\right) }{2\left( 1-\rho ^{2}\right) } \right\} 
\]

\begin{enumerate}
\item  Probar que esta familia es exponencial.

\item  Encontrar un estad\' \i stico suficiente para ${\bf \theta }$ a partir de una m.a. $\bX_{1},\dots ,\bX_{n}.$
\end{enumerate}

\item [3.]
\begin{enumerate}
\item  Sea $\left\{ f\left( x;{\bf \theta }\right) :{\bf \theta }\in \Theta
\right\} $ una familia exponencial. Probar que el soporte de $%
f\left( x;{\bf \theta }\right) $ no depende de ${\bf \theta }$.

\item  Mostrar que la familia $\left\{ {\cal U}\left( 0,\theta \right)
:\theta >0\right\} $ no es exponencial.
\end{enumerate}

\item [4.]
\begin{enumerate}
\item  Sea $\left\{ f\left( {\bf x};\theta _{1},\theta _{2}\right) :{\bf %
\theta }\in \Theta \right\} $ una familia exponencial a dos par\'{a}metros
en forma can\'{o}nica (es decir que $c_{j}\left( {\bf \theta }\right)
=\theta _{j}$). Sea $T=\left( T_{1},T_{2}\right) $ el estad\' \i stico suficiente can\'{o}nico (es decir, el estad\'\i stico asociado a $(c_{1}\left( {\bf \theta }\right),c_{2}\left( {\bf \theta }\right)$). Demostrar que la distribuci\'{o}n de $%
T_{2}|T_{1}$ pertenece a una familia exponencial de par\'{a}metro $\theta
_{2}.$

\item  Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra aleatoria de una distribuci\'{o}%
n $N\left( \mu ,\sigma ^{2}\right) .$ Por lo tanto los par\'{a}metros can%
\'{o}nicos son $\theta _{1}=\mu /\sigma ^{2}$ y $\theta _{2}=-1/2\sigma ^{2},
$ y el estad\' \i stico suficiente can\'{o}nico es $T=\left( \sum X_{i},\sum X_{i}^{2}\right) .
$ Verificar que la distribuci\'{o}n de $\sum X_{i}^{2}$ condicional a $\sum
X_{i}$ pertenece a una familia exponencial cuyo par\'{a}metro no depende de $%
\mu .$

{\it Sugerencia: }\rm usar que $\sum X_{i}$ y $\sum \left( X_{i}-\bar{X}\right)
^{2}$ son independientes.
\end{enumerate}

\item  [5.] Consideremos $X_{1},\dots ,X_{n}$ una m.a. de una $f\left( {\bf x};%
{\bf \theta }\right) $ que pertenece a una familia exponencial a $k$ par\'{a}%
metros en forma can\'{o}nica. Sea $\psi \left( {\bf \theta }\right) $ tal
que $a\left( {\bf \theta }\right) =\exp \left\{ -\psi \left( {\bf \theta }%
\right) \right\} .$ Mostrar que el EMV de ${\bf \theta }$ satisface el
sistema de ecuaciones: 
\[
\frac{\partial \psi }{\partial \theta _{j}}\left( \widehat{{\bf \theta }}%
\right) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}t_{j}\left( {\bf X}_{i}\right) ,\mbox{para}\quad j=1,\ldots ,k.
\]
\end{enumerate}

\pagebreak

{\sf B) Estimadores IMVL e IMVU.}

\begin{enumerate}
\item  [6.] Sea $\delta _{0}$ un estimador insesgado de $q\left( {\bf \theta }%
\right) .$ Definamos la clase de estad\' \i sticos
\[
{\cal U}=\left\{ U:E_{{\bf \theta }}\left( U\right) =0\;\quad \forall \quad {\bf \theta }\right\} . 
\]
Probar que cualquier estimador insesgado de $q\left( {\bf \theta }\right) $
es de la forma $\delta =\delta _{0}-U$ para alg\'{u}n $U\in {\cal U}.$

\item  [7.] Sea $X$ una v.a. tal que $R_{X} =\left\{
-1\right\} \cup {\natural}_{0}$ cuya funci\'{o}n de probabilidad puntual
est\'{a} dada por 
\[
p_{X}\left( -1\right) =\theta ,\;\;p_{X}\left( k\right) =\left( 1-\theta
\right) ^{2}\theta ^{k}\mbox{ si }k\in {\natural}_{0},\mbox{ para }\theta
\in \left( 0,1\right) . 
\]

\begin{enumerate}
\item  Sean $\delta _{1}=I\left\{ X=-1\right\} $ y $\delta _{2}=I\left\{
X=0\right\} .$ Probar que $\delta _{1}$ es un estimador insesgado de $%
q_{1}\left( \theta \right) =\theta $ y $\delta _{2}$ es un estimador
insesgado de $q_{2}\left( \theta \right) =\left( 1-\theta \right) ^{2}.$

\item  Mostrar que $U\in {\cal U}$ si y s\'{o}lo si $U=aX$ para alguna
constante $a\in {\real}.$

{\it Sugerencia:} usar que $1/\left( 1-r\right) ^{2}=\sum_{i=1}^{\infty
}kr^{k-1}$ si $\left| r\right| <1.$

\item  Se define el {\it Estimador de M\' \i nima Varianza Local para }$q\left( \theta \right) ${\it \ en }$\theta
=\theta _{0}$ {\it basado en la muestra aleatoria} $X_{1},\dots ,X_{n},$ es
decir el IMVL de $q\left( \theta \right) ${\it \ en }$\theta =\theta _{0}$
basado en la muestra aleatoria $X_{1},\dots ,X_{n}$ a un estad\' \i stico $\delta ^{\ast }\left( X_{1},\dots ,X_{n}\right) =\delta ^{\ast }$ que
satisface

\begin{itemize}
\item  $E_{\theta }\left( \delta ^{\ast }\right) =q\left( \theta \right)
\;\;\forall \theta ,$ es decir es un estimador insesgado de $\theta $

\item  Si $\delta $ es cualquier otro estimador insesgado de $\theta ,$
entonces $Var_{\theta _{0}}\left( \delta ^{\ast }\right) \leq Var_{\theta
_{0}}\left( \delta \right) .$\allowbreak
\end{itemize}

Encontrar los estimadores IMVL de $q_{1}\left( \theta \right) $ y $%
q_{2}\left( \theta \right) $ en $\theta =\theta _{0}.$

\item  Probar que existe un estimador IMVU para $q_{2}\left( \theta \right) $
pero no para $q_{1}\left( \theta \right) .$
\end{enumerate}

\item [8.]
\begin{enumerate}
\item  Sea $\delta $ un estimador insesgado de $q(\theta)$,  demostrar que $\delta $ es IMVL de $q\left( {\bf \theta }\right) $ en 
${\bf \theta =\theta }_{0}$ si y s\'{o}lo si para todo $U\in {\cal U}$ tal
que $V_{{\bf \theta }_{0}}\left( U\right) <\infty $ se tiene que $E_{{\bf %
\theta }_{0}}\left( \delta U\right) =0.$

\item  Si $\delta _{1}$ y $\delta _{2}$ son IMVL de $q\left( {\bf \theta }%
\right) $ en ${\bf \theta =\theta }_{0},$ probar que $P_{{\bf \theta }%
_{0}}\left( \delta _{1}=\delta _{2}\right) =1.$
\end{enumerate}

\item [9.] Sea $X$ una v.a. como en el ejercicio 7. Probar que $q\left(
\theta \right) $ tiene un estimador IMVU si y s\'{o}lo si es de la forma $%
q\left( \theta \right) =a+b\left( 1-\theta \right) ^{2}$ para $a,b\in {\real%
}.$

{\it Sugerencia:} extender el ejercicio 8 para estimadores IMVU.
\item  [10.] Sean $\delta _{1}$ y $\delta _{2}$ dos estimadores IMVU de $%
q_{1}\left( {\bf \theta }\right) $ y $q_{2}\left( {\bf \theta }\right) $
respectivamente, y $c_{1},c_{2}\in {\real}.$ Demostrar que $c_{1}\delta
_{1}+c_{2}\delta _{2}${\bf \ }es IMVU de $c_{1}q_{1}\left( {\bf \theta }%
\right) +c_{2}q_{2}\left( {\bf \theta }\right) .$

\end{enumerate}



{\sf C) Completitud.}

\begin{enumerate}
\item [11.] Consideremos una familia ${\cal P}=\left\{ P_{{\bf \theta }}:{\bf %
\theta }\in \Theta \right\} $ y sea $T$ un estad\' \i stico suficiente para ${\cal P}$. Su\-pon\-ga\-mos que $\delta \left( T\right) $
es un estimador insesgado de $q\left( {\bf \theta }\right) $. Entonces $%
\delta $ es el \'{u}nico estimador insesgado que es funci\'{o}n de $T$ si y
s\'{o}lo si $T$ es completo para ${\cal P}.$

\item [12.] {\bf (Teorema de Basu)} Sea $T$ un estad\' \i stico suficiente y completo para una familia ${\cal P}.$ Si $V$ es un estad\' \i stico ancilario (es decir, que su distribuci\'{o}n no depende de ${\bf %
\theta }$) probar que $T$ y $V$ son independientes.

{\it Sugerencia:} probar que $P\left( V\in A|T\right) =P\left( V\in
A\right) $ para todo evento $A.$

\item  [13.] Analizar si los estad\' \i sticos suficientes hallados en los ejercicios 1 y 2 son completos.

\item [14.] Sea $X_1,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria de una distribuci\'{o}n $%
N\left( \mu ,1\right) $.

\begin{enumerate}
\item  Mostrar que $T=\left( X_1,\sum_{i=2}^nX_i\right) $ es suficiente para 
$\mu $ pero no completo.

\item  Hallar un estad\' \i stico completo y un estimador IMVU de $\mu .$
\end{enumerate}

\item  [ 15.] Sea $X_1,\dots ,X_n$ una m.a. de una distribuci\'{o}n ${\cal U}\left(
0,\theta \right) .$ Probar que $X_{\left( n\right) }$ es completo para $\theta .$

\item  [16.] Sea $X_1,\dots ,X_n$ una m.a. de una distribuci\'{o}n $Bi\left(
1,\theta \right) $, con $\theta \in \Theta \subset \left( 0,1\right) .$

\begin{enumerate}
\item  Mostrar que si $\Theta $ tiene m\'{a}s de $n$ puntos, el estad\'\i stico $T=\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ es completo.

\item  Deducir que $\bar{X}$ es IMVU de $\theta $.

\item  Mostrar que $q(\theta )=\theta /(1-\theta )$ no es estimable mediante
un estimador insesgado.\ 
\end{enumerate}

\item  [17.] Sea $X_1,\dots ,X_n$ una m.a. de una distribuci\'{o}n $N\left( \mu
,\sigma ^2\right) .$

\begin{enumerate}
\item  Mostrar que si $\sigma ^2$ es conocido, $\bar{X}$ es IMVU para $\mu $.

\item  Mostrar que si $\mu $ es conocido, $\frac 1n\sum_{i=1}^n(X_i-\mu )^2$
es IMVU para $\sigma ^2$.

\item  Mostrar que si ambos par\'{a}metros son desconocidos, entonces $\bar{X%
}$ es IMVU para $\mu $ y $s^2$ es IMVU para $\sigma ^2$.
\end{enumerate}

\item [18.]  En el ejercicio 13 de la Pr\'{a}ctica 2, hallar estimadores IMVU para 
$\lambda ,\lambda ^{2}$ y $\mu .$

\item  [19.] En el ejercicio 14 de la Pr\'{a}ctica 2, hallar un estimador IMVU
para $q\left( \theta \right) .$

\item  [20.] En el ejercicio 15 de la Pr\'{a}ctica 2, hallar un estimador IMVU
para $p.$

\item  [21.] Sea $X_1,\dots ,X_n$ una m.a. de una distribuci\'{o}n ${\cal E}\left(
\theta \right) .$ Hallar un estimador IMVU de $\theta .$

\item  [22.] Sean $X_1,\dots ,X_n$ e $Y_1,\ldots ,Y_m$ dos m.a. independientes,
con distribuci\'{o}n $N\left( \mu ,\sigma _1^2\right) $ y $N\left( \mu
,\sigma _2^2\right) $ respectivamente. Consideremos el par\'{a}metro ${\bf %
\theta }=\left( \mu ,\sigma _1^2,\sigma _2^2\right) .$

\begin{enumerate}
\item  Probar que $T\left( {\bf X},{\bf Y}\right) =\left( \sum X_i,\sum
Y_j,\sum X_i^2,\sum Y_j^2\right) $ es suficiente para $\theta $ pero no
completo.

\item  Supongamos que $r=\sigma _1^2/\sigma _2^2$ es conocido. Probar que 
\[
T^{*}\left( {\bf X},{\bf Y}\right) =\left(
\sum_{i=1}^nX_i+r\sum_{j=1}^mY_j,\sum_{i=1}^nX_i^2+r\sum_{j=1}^mY_j^2\right) 
\]
es completo para $\theta .$ Hallar un estimador IMVU de $\mu .$
\end{enumerate}


\medskip
\end{enumerate}

{\sf D) Estad\' \i sticos minimales suficientes.}

\begin{enumerate}
\item  [23.] Analizar si los estad\' \i
sticos suficientes hallados en los ejercicios 1 y 2 son minimales.

\item [24.]  Sean $X_{1},\ldots ,X_{n}$ e $Y_{1},\ldots ,Y_{m}$ muestras
aleatorias independientes con distribuci\'{o}n $N\left( \mu ,\sigma
^{2}\right) $ y $N\left( \eta ,\tau ^{2}\right) $ respectivamente. Encontrar
estad\' \i sticos suficientes minimales para ${\bf \theta }$ cuando:

\begin{enumerate}
\item  ${\bf \theta }=\left( \mu ,\eta ,\sigma ^2,\tau ^2\right) ,$ si $\mu
,\eta \in {\real}$ y $\sigma ^2,\tau ^2>0.$

\item  ${\bf \theta }=\left( \mu ,\eta ,\sigma ^2\right) ,$ si $\mu ,\eta
\in {\real}$ y $\sigma ^2=\tau ^2>0.$

\item  ${\bf \theta }=\left( \mu ,\sigma ^2,\tau ^2\right) ,$ si $\mu =\eta
\in {\real}$ y $\sigma ^2,\tau ^2>0.$
\end{enumerate}

\item  [25.] Sea $X_1$ una variable $N\left( \mu ,\sigma_1^{2}\right)$ y $X_2$ con distribuci\'on $N\left( \mu ,\sigma_2^{2}\right)$ independiente de $X_1$. Probar que $T=\left( X_1,X_2,X_1^2,X_2^2\right)$ es minimal suficiente pero no completo y que no existe un estimador IMVU para $\mu$.  

\item  [26.] Sea ${\cal P}=\left\{ N\left( \theta ,\theta ^2\right) :\theta
>0\right\} $ y $X_1,\ldots ,X_n$ una m.a. con distribuci\'{o}n en ${\cal P}%
. $ Probar que $T\left( {\bf X}\right) =\left( \sum X_i,\sum X_i^2\right) $
es suficiente minimal para ${\cal P}.$

\item  [27.] Dada una muestra aleatoria $X_1,\ldots ,X_n,$ demostrar que $T\left( 
{\bf X}\right) =\left( X_{\left( 1\right) },\ldots ,X_{\left( n\right)
}\right) $ es suficiente minimal para $\theta $ cuando la muestra tiene
distribuci\'{o}n:

\begin{enumerate}
\item  ${\cal C}\left( \theta ,1\right) $, con densidad 
\[
f\left( x;\theta \right) =\frac 1\pi \cdot \frac 1{1+\left( x-\theta \right)
^2} 
\]

\item  ${\cal L}\left( \theta ,1\right) ,$ cuya densidad es 
\[
f\left( x;\theta \right) =\frac{e^{-\left( x-\theta \right) }}{\left[
1+e^{-\left( x-\theta \right) }\right] ^2} 
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
{\sf E) Desigualdad de Rao--Cramer.}

\begin{enumerate}
\item [28.] Probar que si $f\left( x;\theta \right) $ admite derivada segunda
respecto de $\theta $ y si se puede derivar dentro de la integral, entonces 
\[
I\left( \theta \right) =-E_\theta \left[ \frac{\partial ^2}{\partial \theta
^2}\ln f\left( X;\theta \right) \right] . 
\]

\item [29.] Consideremos una familia $\left\{ f\left( x;\theta \right) :\theta
\in \Theta \right\} $ y supongamos que se hace una reparametrizaci\'{o}n $%
\xi =h\left( \theta \right) $ con $h$ biyectiva y derivable. Mostrar que $%
I\left( \xi \right) =I\left( \theta \right) /\left[ h^{\prime }\left( \theta
\right) \right] ^2.$

\item  [30.] Sea $X_1,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria de una distribuci\'{o}n $%
Bi\left( 1,\theta \right) $.

\begin{enumerate}
\item  Calcular el n\'{u}mero de informaci\'{o}n de Fisher $I_1\left( \theta
\right) $.

\item  Mostrar que $\bar{X}$ alcanza la cota de Rao--Cramer y deducir que es
IMVU para $\theta $.
\end{enumerate}

\item [31.] Sea $X$ una v.a. con distribuci\'{o}n ${\cal P}\left( \lambda \right) 
$ y sean $\mu $ y $\delta^*(T)$ como en el ejercicio 13 de la Pr\'{a}ctica 2.
Mostrar que aunque $\delta^*(T)$ es un estimador IMVU de $\mu ,$ la cota de
Rao--Cramer es estrictamente menor que $V_{\lambda }\left( \delta^*(T)\right) $%
.

\item [32.] Sea $X_1,\dots ,X_n$ una m.a. de una distribuci\'{o}n $N\left( \mu
,\sigma _0^2\right) $, con $\sigma _0^2$ conocido.

\begin{enumerate}
\item  Mostrar que $\bar{X}$ es un estimador IMVU para $\mu $, usando la
desigualdad de Rao--Cramer.

\item  Mostrar que $\bar{X}^2-\sigma _0^2/n$ es un estimador IMVU de $\mu ^2$%
, aunque no alcanza la cota de Rao--Cramer.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}