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\documentclass[12pt]{article}

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\def\natural{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt N$}}
\def\real{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt R$}}

\begin{document}

\noindent
\textbf{Estad\'\i stica (M)}\hspace{12.6cm}\textbf{Pr\'actica 2}
\vspace{-0.3cm}
\newline
\rule{18cm}{0.2mm}


{\sf A) Error cuadr\'{a}tico medio. Estimadores insesgados.}


\begin{enumerate}
\item[1.]  Sea $X_1,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria de una distribuci\'{o}n
con par\'{a}metro $\theta .$ Sea $\hat{\theta}_n=\delta \left( {\bf X}%
\right) $ un estimador de $\theta $ con varianza finita. Si $b( \hat{%
\theta}_n) $ es el sesgo de $\hat{\theta}_n,$ probar que ${\rm ECM}%
( \hat{\theta}_n) =V( \hat{\theta}_n) +b( \hat{\theta}_n) ^2.$

\item[2.]  Sea $X_1,\dots ,X_n$ una m.a. de una distribuci\'{o}n tal que existe $%
E\left( X_1\right) =\mu .$ Consideremos la clase de estimadores 
\[
{\cal D}=\left\{ \delta \left( {\bf X}\right) =\sum_{i=1}^n\alpha
_iX_i:\alpha _i\in {\real},\;\sum_{i=1}^n\alpha _i=1\right\} . 
\]

\begin{enumerate}
\item  Probar que todo $\delta \in {\cal D}$ es un estimador insesgado de $%
\mu .$

\item  Supongamos que existe $V\left( X\right) =\sigma ^2.$ Mostrar que $%
\bar{X}=\displaystyle\arg \min_{\delta \in {\cal D}}V\left( \delta \right) .$
\end{enumerate}

\item  [3.] Sea $X_1,\dots ,X_n$ una m.a. de una distribuci\'{o}n tal que existe $%
V\left( X\right) =\sigma ^2$. 


\begin{enumerate}
\item Demostrar que 
\[
s^2=\frac 1{n-1}\sum_{i=1}^n\left( X_i-\bar{X}\right) ^2 
\]
es un estimador insesgado de $\sigma ^2$.

\item  Sea $X_1,\dots ,X_n$ es una m.a. de
una distribuci\'{o}n $N\left( \mu ,\sigma ^2\right) $, calcular el ${\rm ECM}(s^2)$ y el  ${\rm ECM}(\tilde{\sigma}^2)$ donde $\tilde{\sigma}^2=\left( n-1\right)
s^2/\left( n+1\right) $.

\item  Probar que, aunque ${\rm ECM}\left( s^2\right) >{\rm ECM}\left( 
\tilde{\sigma}^2\right) $, la raz\'{o}n entre los ECM tiende a 1 cuando $%
n\to \infty $.

\item  Mostrar que la contribuci\'{o}n del sesgo de $\tilde{\sigma}^2$ a $%
{\rm ECM}\left( \tilde{\sigma}^2\right) $ es despreciable cuando $n\to
\infty $ (en el sentido de que la raz\'{o}n entre $b\left( \tilde{\sigma}%
^2\right) ^2$ y ${\rm ECM}\left( \tilde{\sigma}^2\right) $ tiende a 0).
\end{enumerate}

\item  [4.] Dada una m.a. $X_1,\dots ,X_n$ de una distribuci\'{o}n ${\cal U}%
\left( 0,\theta \right) ,$ sea $\hat{\theta}_n$ el EMV de $\theta $ y $%
\tilde{\theta}_n$ el estimador de $\theta $ basado en el primer momento.

\begin{enumerate}
\item  Probar que $\tilde{\theta}_n$ es insesgado y que $\hat{\theta}_n$ es
asint\'{o}ticamente insesgado.

\item  Calcular el ECM de ambos estimadores. \textquestiondown Qu\'{e}
estimador preferir\'{\i}a desde este punto de vista?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
{\sf B) Estad\'{\i}sticos suficientes.}

\begin{enumerate}

\item [5.] Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra aleatoria de una distribuci\'{o}%
n ${\cal P}\left( \lambda \right) $. Demostrar que $T=\sum_{i=1}^{n}X_{i}$
es un estad\'{\i}stico suficiente para $\lambda $:

\begin{enumerate}
\item  Aplicando la definici\'{o}n.

\item  Aplicando el Teorema de Factorizaci\'{o}n.
\end{enumerate}

\item  [6.] Sean $X_1,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria con distribuci\'{o}n
continua $F\left( x,\theta \right) $. Demostrar que $T\left( {\bf X}\right)
=\left( X_{\left( 1\right) },\dots ,X_{\left( n\right) }\right) $ es
suficiente para $\theta $.

\item  [7.] Sean $X_1,\dots ,X_n$ variables aleatorias independientes. Probar que:

\begin{enumerate}
\item  Si $X_i\sim Bi\left( n_i,p\right) ,\;1\leq i\leq n,$ con $n_i$
conocidos, entonces $\sum_{i=1}^nX_i$ es suficiente para $p$.

\item  Si $X_i\sim \Gamma \left( \alpha ,\lambda \right) $ entonces $\left(
\prod_{i=1}^nX_i,\sum_{i=1}^nX_i\right) $ es suficiente para $\left( \alpha
,\lambda \right) .$

Si $\alpha $ es conocido, entonces $\sum_{i=1}^nX_i$ es suficiente para $%
\lambda .$

Si $\lambda $ es conocido, entonces $\prod_{i=1}^nX_i$ es suficiente para $%
\alpha .$

\item  Si $X_i\sim \beta \left( r,s\right) $ entonces $\left(
\prod_{i=1}^nX_i,\prod_{i=1}^n\left( 1-X_i\right) \right) $ es suficiente
para $\left( r,s\right) .$

Si $r$ es conocido, entonces $\prod_{i=1}^n\left( 1-X_i\right) $ es
suficiente para $s.$

Si $s$ es conocido, entonces $\prod_{i=1}^nX_i$ es suficiente para $r.$

\item  Si $X_i$ tiene funci\'{o}n de probabilidad puntual 
\[
f\left( x;\theta ,p\right) =\left( 1-p\right) p^{x-\theta }\mbox{ para }x=\theta ,\theta +1,\theta +2,\ldots 
\]
con $\left( \theta ,p\right) \in {\real\times }$ $\left( 0,1\right) ,$
entonces $\left( X_{\left( 1\right) },\sum_{i=1}^nX_i\right) $ es suficiente
para $\left( \theta ,p\right) .$

Si $p$ es conocido, entonces $X_{\left( 1\right) }$ es suficiente para $%
\theta .$

Si $\theta $ es conocido, entonces $\sum_{i=1}^nX_i$ es suficiente para $p.$
\end{enumerate}

\item [8.] Sean $X_1,\dots ,X_n$ v.a.i.i.d. ${\cal U}\left( \theta _1,\theta
_2\right) $. Mostrar que $\left( X_{\left( 1\right) },X_{\left( n\right)
}\right) $ es suficiente para ${\bf \theta }$.

\item [9.] Sea $X_1,\dots ,X_n$ una m.a. de una distribuci\'{o}n con densidad 
\[
f\left( x;\mu ,\sigma \right) =\frac 1\sigma \exp \left\{ -\frac{\left(
x-\mu \right) }\sigma \right\} I_{\left[ \mu ,\infty \right) }\left(
x\right) 
\]
con $\mu \in \real$ y $\sigma >0$.

\begin{enumerate}
\item  Exhibir un estad\'{\i}stico suficiente bidimensional para $\left( \mu ,\sigma \right) $.

\item  Hallar un estad\'{\i}stico suficiente para $\mu $ cuando $\sigma $ es fijo y conocido.

\item  Hallar un estad\'{\i}stico suficiente para $\sigma $ cuando $\mu $ es fijo y conocido.
\end{enumerate}

\item [10.]   Consideremos una familia $\left\{ p\left( {\bf x},{\bf \theta }
\right) :{\bf \theta }\in \Theta \right\} $ tal que el soporte $S=$ $\left\{ 
{\bf x}:p\left( {\bf x},{\bf \theta }\right) >0\right\} $ es independiente
de ${\bf \theta }$ y ${\bf \theta }=\left( \theta _1,\theta _2\right) ,$ con 
$\theta _1\in \Theta _1$ y $\theta _2\in \Theta _2$ variando
independientemente. Supongamos que $T_1({\bf X})$ es suficiente para $\theta
_1$ cuando $\theta _2$ es fijo y conocido y que $T_2\left( {\bf X}\right) $
es suficiente para $\theta _2$ cuando $\theta _1$ es fijo y conocido.

\begin{enumerate}
\item Demostrar que $T\left( {\bf X}\right) =\left( T_1\left( {\bf X}
\right) ,T_2\left( {\bf X}\right) \right) $ es suficiente para ${\bf \theta }
$.

\item  Mostrar que la rec\'{\i}proca de (a) no es cierta en general. Considerar la familia $N\left( \mu
,\sigma ^{2}\right) .$
\end{enumerate}

\item  [11.] Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra aleatoria de una distribuci\'{o}n $P_{{\bf \theta }}$. Sup\'{o}ngase que $T({\bf X})$ es un estad\'{\i}stico suficiente para ${\bf \theta }.$ Demostrar que el EMV de ${\bf \theta }
$ depende de ${\bf X}$ s\'{o}lo a trav\'{e}s de $T({\bf X})$.
\end{enumerate}

\medskip

{\sf C) Estimadores basados en estad\'{\i}sticos suficientes.}

\begin{enumerate}
\item [12.] Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una muestra aleatoria de una distribuci\'{o}%
n $Bi(1,\theta )$. Luego, $\delta \left( {\bf X}\right) =X_{1}$ es un
estimador insesgado de $\theta $ y $T\left( {\bf X}\right)
=\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ es un estad\'{\i}stico suficiente.

\begin{enumerate}
\item  Usando el Teorema de Rao--Blackwell, hallar un estimador insesgado $%
\delta ^{*}\left( T\right) $ que sea mejor que $\delta .$

\item  Probar que $V_\theta \left( \delta ^{*}\right) <V_\theta \left(
\delta \right) \quad \forall \;\theta $ si $n>1.$
\end{enumerate}

\item  [13.] Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una m.a. de una distribuci\'{o}n ${\cal P}%
\left( \lambda \right) $ y $T=\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ el estad\'{\i}stico suficiente.

\begin{enumerate}
\item  Sea $\mu =e^{-\lambda }$. Mostrar que $\hat{\mu}=I\left\{
X_1=0\right\} $ es un estimador insesgado de $\mu .$

\item  Aplicar el Teorema de Rao--Blackwell para obtener un estimador
insesgado $\delta ^{*}\left( T\right) $ mejor que $\hat{\mu}$ y comparar los
ECM de ambos estimadores.
\end{enumerate}

\item  [14.] Sea $X_1,\dots ,X_n$ una m.a. de una distribuci\'{o}n $Bi\left(
1,\theta \right) $. Dados $m$ y $k$ tales que $k\leq m<n,$ se quiere estimar 
$q(\theta )= {m\choose k} \theta ^k(1-\theta )^{m-k}.$ Sea $S=\sum_{i=1}^mX_i$ y $%
h\left( S\right) =I\left\{ S=k\right\} .$

\begin{enumerate}
\item  Probar que $h\left( S\right) $ es un estimador insesgado de $q(\theta
)$.

\item  Construir un estimador insesgado de $q(\theta )$ mejor que $h\left(
S\right) .$
\end{enumerate}

\item [15.] Sea $X_1,\dots ,X_n$ una m.a. de una distribuci\'{o}n $N\left( \mu
,1\right) $ y $\xi \in \real$ un n\'{u}mero fijo y conocido. Se desea
estimar $p=P\left( X_1\leq \xi \right) .$

\begin{enumerate}
\item  Mostrar que $I\left\{ X_1\leq \xi \right\} $ es un estimador
insesgado de $p.$

\item  A partir de $T=\bar{X},$ construir otro estimador insesgado $\delta
^{*}\left( T\right) $ mejor que el anterior.

{\it Sugerencia: \rm} probar y usar que $\bar{X}$ y $X_1-\bar{X}$ son
independientes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


{\sf D) Ejercicio para hacer usando la computadora.}

\begin{enumerate}
\item [16.]   El objetivo de este ejercicio es etimar $\theta,$ de una poblaci\'on  $U(0,\theta)$, para esto tenemos  los siguientes 4 estimadores de $\theta$:
\begin{enumerate}
\item[–] M\'etodo de momentos: $\widehat{\theta}_1= 2\bar{X}_n$
\item[–] M\'etodo de m\'axima verosimilitud: $\widehat{\theta}_2 = \max\{X_1, . . . ,X_n\}$
\item[–] Un estimador robusto: $\widehat{\theta}_3 = 2\mediana\{X_1, . . . ,X_n\}$
\item[–] MV corregido: $\widehat{\theta}_4 = (6/5)\widehat{\theta}_2$
\end{enumerate}
 La propuesta es sin usar herramientas te\'oricas inferir cual podr\'\i a dar una mejor estimaci\'on. Para esto generemos 1.000 muestras $X_1, . . . ,X_n$ de tama\~no $n=5$ de una poblaci\'on $U(0, 1)$ (es decir, buscamos estimar $\theta=1$.) 
\begin{enumerate}
\item Para cada una de las 1.000 muestras calcular los cuatro estimadores alternativos de $\theta$.
\item Para cada uno de los 4 conjuntos de 1000 datos (los estimadores calculados), graficar en un mismo gr\'afico los boxplots. Qu\'e observa? Qu\'e estimador tiene mayor varianza? hay alg\'un  estimador que pareciera sesgado? Qu\'e estimador prefiere?
\item Seg\'un el gr\'afico anterior cuanto vale aproximadamente $P_\theta(\widehat{\theta}_1\leq \theta)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}

