

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[12pt]{article}

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\usepackage{color}

\def\natural{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt N$}}
\def\real{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt R$}}

\begin{document}

\noindent
\textbf{Estad\'\i stica (M)}\hspace{12.6cm}\textbf{Pr\'actica 1}
\vspace{-0.3cm}
\newline
\rule{18cm}{0.2mm}

\begin{center}
\bf Estimaci\'on puntual\rm
\end{center}

{\sf A) Estimadores basados en los momentos.}

\begin{enumerate}
\item  Sea $X_1,\dots ,X_n$ una muestra aleatoria de una distribuci\'{o}n

\begin{itemize}
\item  $Bi\left( 1,\theta \right) ,\;0<\theta <1.$

\item  ${\cal P}\left( \theta \right) ,\;\theta >0.$

\item  ${\cal E}\left( \theta \right) ,\;\theta >0.$

\item  ${\cal G}\left( \theta \right) ,\;0<\theta <1.$
\end{itemize}

En cada uno de estos casos, encontrar:

\begin{enumerate}
\item  Un estimador de $\theta $ basado \'{u}nicamente en el primer momento.

\item  Un estimador de $\theta $ basado \'{u}nicamente en el segundo momento.
\end{enumerate}

Verificar que los respectivos estimadores cumplan las restricciones
impuestas sobre el par\'{a}metro. Mas precisamente, si $\delta_n(X_1,\dots,X_n)$ es el estimador resultante, verificar que $\delta_n(X_1,\dots,X_n)\in \bar\Theta$

\item (Para hacer en R) El n\'{u}mero de part\'{\i}culas que emite una fuente radiactiva por segundo, constituye un proceso de
Poisson de intensidad $\lambda $. \newline
Se recogieron durante 15 minutos los siguientes valores de emisiones: 
\[
\begin{array}{ll}
& 500-488-426-510-450-368-508-514-426 \\ 
& 476-512-526-444-524-236
\end{array}
\]
Estimar el valor del par\'{a}metro $\lambda $ basado en la muestra utilizando un estimador de momentos basado en el momento de orden 1 y otro basado en el momento de orden 2. Mediante un \textit{bootstrap} param\'etrico, obtenga una aproximaci\'on de la distribuci\'on de los estimadores obtenidos (grafique la funci\'on emp\'irica de distribuci\'on o bien obtenga un histograma con las realizaciones del estimador). Utilizando tambi\'en \textit{bootstrap} estime la varianza del estimador.

\item  Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una m.a. de una distribuci\'{o}n ${\cal E}%
\left( \theta \right) $.

\begin{enumerate}
\item Hallar un estimador de los momentos de $\theta$.
\item A partir del estimador obtenido en a), hallar un estimador de momentos de $q\left( \theta \right)
=P_{\theta }\left( X_{1}\geq 1\right)$.
\item Hallar un estimador de momentos de $q(\theta)$ en forma directa utilizando otra funci\'on \lq\lq g\rq\rq.
\end{enumerate}


\item  Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una m.a. de una distribuci\'{o}n $N\left(
0,\sigma ^{2}\right) ,$ con $\sigma >0.$

\begin{enumerate}
\item  Encontrar un estimador de $\sigma $ basado en el segundo momento.

\item  Encontrar otro estimador de $\sigma $ a partir de $E_{\sigma }\left(
\left| X_{1}\right| \right) .$
\end{enumerate}

\item  Sean $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ variables aleatorias independientes
e id\'{e}nticamente distribuidas. Hallar el estimador de los
momentos de $\mu $ si

\begin{enumerate}
\item  la densidad de $X_{1}$ est\'{a} dada por: 
\[
f\left( x\right) =\frac{1}{\mu ^{4}}xI_{[0,\mu ^{2}]}\left( x\right) +%
\frac{1}{\mu ^{4}}(2\mu ^{2}-x)I_{[\mu ^{2},2\mu ^{2}]}\left(
x\right) \qquad \mu >0
\]

\item  la funci\'{o}n de probabilidad de $X_{1}$ est\'{a} dada por: 
\[
\begin{tabular}{llll}
\multicolumn{1}{l|}{$k$} & 1 & 2 & 4 \\ \hline
\multicolumn{1}{l|}{$p\left( k\right) $} & $\mu ^{2}$ & $2\mu \left( 1-\mu
\right) $ & $\left( 1-\mu \right) ^{2}$%
\end{tabular}
\qquad \qquad 0<\mu <1
\]
\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\newpage
\medskip 
{\sf B)\ Estimadores de m\'{a}xima verosimilitud.}

\begin{enumerate}
\item  Dada una muestra aleatoria $X_1,\dots ,X_n$ para cada una de las
distribuciones consideradas en el ejercicio A.1, encontrar los respectivos
estimadores de m\'{a}xima verosimilitud (EMV) de $\theta .$

\item  Sea $X_1,\dots ,X_n$ una m.a. de una distribuci\'{o}n $N\left( \mu
,\sigma ^2\right) .$ Consideremos el par\'{a}metro bivariado ${\bf \theta }%
=\left( \mu ,\sigma ^2\right) .$

\begin{enumerate}
\item  Encontrar el EMV de ${\bf \theta }.$

\item  Dado $\xi \in \real,$ encontrar el EMV de $p=P_{{\bf \theta }%
}\left( X_1>\xi \right) .$

\item  Dado $p\in \left( 0,1\right) ,$ encontrar el EMV del valor $\xi $ tal
que $P_{{\bf \theta }}\left( X_1>\xi \right) =p.$

\item  Hallar el EMV de $\mu $ cuando $\sigma ^2$ es conocido.
\textquestiondown Es razonable que no dependa de $\sigma ^2?$

\item  Hallar el EMV de $\sigma ^{2}$ cuando $\mu $ es conocido. 
\textquestiondown Es razonable que dependa de $\mu ?$

\item  Se supone que la distribuci\'{o}n de un \'{\i}ndice de colesterol en cierta poblaci\'{o}n es $N(\mu ,\sigma ^{2})$, donde $\mu $ y $\sigma ^{2}$ son par\'{a}metros desconocidos. Se hacen an\'{a}lisis
a 25 personas elegidas al azar de la poblaci\'{o}n y se obtienen los
siguientes datos: 
\[
\begin{array}{llllllllll}
1.53 & 1.65 & 1.72 & 1.83 & 1.62 & 1.75 & 1.72 & 1.68 & 1.65 & 1.61 \\ 
1.70 & 1.60 & 1.73 & 1.61 & 1.52 & 1.81 & 1.72 & 1.50 & 1.51 & 1.65 \\ 
1.58 & 1.82 & 1.65 & 1.72 & 1.65 &  &  &  &  & 
\end{array}
\]

\begin{enumerate}
\item[i)]  Estimar $\mu $ y $\sigma ^{2}$ por m\'{a}xima verosimilitud
basados en la muestra dada. 

\item[ii)]  Se considera que el \'{\i}ndice es normal si es menor que 1.73. Estimar la proporci\'{o}n de la poblaci%
\'{o}n con un \'{\i}ndice anormal. 
\item[iii)] (Para hacer en R) Como se ha hecho en el ejercicio 2 de de la secci\'on de momentos, mediante un \textit{bootstrap} param\'etrico estime la distribuci\'on y la varianza del estimador obtenido.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item  Si $X_{1},\dots ,X_{n}$ es una m.a. de una distribuci\'{o}n ${\cal U}%
\left[ 0,\theta \right] $

\begin{enumerate}
\item  Hallar el EMV de $\theta $.

\item  Hallar el estimador de los momentos de $\theta .$
\end{enumerate}


\item  Sea $X_{1},\dots ,X_{n}$ una m.a. de una distribuci\'{o}n exponencial
desplazada, cuya densidad es 
\[
f\left( x\right) =e^{-\left( x-\theta \right) }I_{\left[ \theta ,\infty
\right) }\left( x\right) .
\]

\begin{enumerate}
\item  Encontrar el EMV de $\theta .$

\item  Encontrar el estimador de los momentos de $\theta .$
\end{enumerate}

\item  Si $X_{1},\dots ,X_{n}$ es una m.a. de una distribuci\'{o}n ${\cal U}%
\left[ \theta -1/2,\theta +1/2\right] $, mostrar que cualquier $T$ tal que $%
X_{\left( n\right) }-1/2\leq T\leq X_{\left( 1\right) }+1/2$ es un EMV de $%
\theta $.

\item  Sean $X_{1},\dots ,X_{n}$ una m.a. de una distribuci\'{o}n $N\left(
\mu _{1},\sigma ^{2}\right) $ e $Y_{1},\dots ,Y_{m}$ una m.a. de una
distribuci\'{o}n $N\left( \mu _{2},\sigma ^{2}\right) ,$ independientes
entre s\' \i.

\begin{enumerate}
\item  Hallar el EMV de ${\bf \theta }=\left( \mu _{1},\mu _{2},\sigma
^{2}\right) .$

\item  Hallar el EMV de $\alpha =\mu _1-\mu _2.$
\end{enumerate}

\item  Se tienen observaciones independientes $X_1,\ldots ,X_n$ de
poblaciones normales con la misma media $\mu $ pero con varianzas $\sigma
_1^2,\ldots ,\sigma _n^2$ respectivamente.

\begin{enumerate}
\item  \textquestiondown Es posible estimar todos los par\'{a}metros por
m\'{a}xima verosimilitud?

\item  Suponiendo $\sigma _{1}^{2},\ldots ,\sigma _{n}^{2}$ conocidos,\
hallar el EMV de $\mu .$ Interpretar.
\end{enumerate}


\item  El n\'{u}mero de microorganismos que se encuentran por grupo sobre
una superficie sigue la si\-guien\-te distribuci\'{o}n
\[
p(x)=\theta I_{\{1\}}(x)+\frac{1-\theta }{k-1}I_{\{2,3,\ldots ,k\}}(x)
\]
donde $0<\theta <1$. Supongamos que se examinan en forma independiente $n$
grupos y se cuentan el n\'{u}mero de microorganismos $X_{1},\ldots ,X_{n}$
en cada uno de ellos. Calcular el estimador de m\'{a}xima verosimilitud de $\theta $.


\end{enumerate}
 
\medskip 
{\sf C)\ Estimadores de m\'{\i}nimos cuadrados.}

En todos los ejercicios de esta secci\'{o}n se supondr\'{a} que $\varepsilon
_1,\ldots ,\varepsilon _n$ son v.a.i.i.d. con media cero y varianza finita.

\begin{enumerate}
\item  Demostrar que la media muestral $\bar{X}$ es el estimador de m\'{\i}nimos cuadrados (EMC) de $\theta $ en el modelo de posici\'{o}n: $X_{i}=\theta +\varepsilon _{i},\,1\leq i\leq n.$

\item  Consideremos el modelo de regresi\'{o}n lineal simple: $X_i=\theta
_1t_i+\theta _2+\varepsilon _i,\,1\le i\le n,$ donde $t_i$ son constantes
conocidas. Hallar los EMC de $\theta _1$ y $\theta _2$.

\item  Sea el modelo$\;X_i=S_i\left( {\bf \theta }\right) +\epsilon
_i,\;1\leq i\leq n,\;{\bf \theta }\in \real^k.$ Si $\varepsilon _i\sim
N\left( 0,\sigma ^2\right) $, mostrar que el EMC y el EMV de ${\bf \theta }$
coinciden.\par
\it Sugerencia: \rm Notar que $X_i\sim
N\left( S_i(\theta),\sigma ^2\right)$.

\item  Consideremos nuevamente el modelo$\;X_{i}=S_{i}\left( {\bf \theta }%
\right) +\epsilon _{i}$,$\;1\leq i\leq n,\;{\bf \theta }\in \real^{k}.$
Se define el estimador de {\em m\'{\i}nimos valores absolutos} (EMVA) como aquel valor $\widehat{{\bf \theta }}$
que minimiza 
\[
\sum_{i=1}^{n}\left| X_{i}-S_{i}\left( {\bf \theta }\right) \right| 
\]

\begin{enumerate}
\item  Mostrar que el EMVA coincide con el EMV si los $\varepsilon _i$
tienen distribuci\'{o}n doble exponencial, cuya densidad es 
\[
f(t)=\frac 12e^{-\left| t\right| } 
\]
\it Sugerencia: \rm Hallar la distribuci\'on de $X_i$ para $1\leq i\leq n$.
\item  Mostrar que la mediana de $X_1,\dots ,X_n$ es el EMVA en el modelo de
posici\'{o}n.
\it Sugerencia: \rm Considere primero el caso $n$ impar.
\end{enumerate}

\item (Para hacer en R) Tenemos el modelo real $Y_i = X_i + \epsilon_i$, con $X_i \sim U(0,1)$ y $\epsilon_i \sim N(0,1)$. El modelo tentativo ser\'a $Y_i= \beta X_i + \epsilon_i$. Fije $n=20$, genere los datos siguiendo el modelo real, graf\'iquelos y mediante una regresi\'on de m\'inimos cuadrados sobre el modelo tentativo estime el valor de $\beta$. Usando regresi\'on por medianas, efect\'ue tambi\'en una estimaci\'on de $\beta$. Sea $\widehat{Y}_i= \widehat{\beta}X_i$, grafique $(X_i, \widehat{Y}_i)$ en ambos casos.

Ahora, genere nuevamente usando el modelo real los $(X_i,Y_i)$ pero vamos a introducir una contaminaci\'on en la primer observaci\'on. Cambiaremos el valor de $X_1$ por 2, 10, 50 y 100 (niveles de contaminaci\'on) e $Y_1=-30$. Para cada valor nuevo para $X_1$, regenere nuevamente la estimaci\'on usando ambos m\'etodos y nuevamente grafique $(X_i, \widehat{Y}_i)$. C\'omo se compara el comportamiento de ambos m\'etodos frente a los distintos valores de contaminaci\'on?


\end{enumerate}




%{\sf D)\ Ejercicio para hacer con la computadora.}

%\begin{enumerate}
%\item \begin{enumerate}
%\item Generar $n=100$ muestras de una variable aleatoria $\varepsilon(\lambda)$ con $\lambda=1$ y graficar su distribuci\'on emp\'\i rica junto con la funci\'on de distribuci\'on acumulada. 
%\item Para las 100 muestras obtenidas en la parte a), calcular el estimador de $\lambda $ por el m\'etodo  de los momentos y por m\'axima verosimilitud. 
%\item Proponer un estimador de la funci\'on de distribuci\'on acumulada distinto al obtenido en a) y graficarlo en el gr\'afico anterior. Qu\'e observa? Mejora su propuesta la estimaci\'on dada en a)?
%\item Qu\'e pasar\'\i a con las estimaciones anteriores si tendr\'\i amos otro tama\~no de muestra? Repita los puntos anteriores con $n=10$ y $n=1000$. 
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\end{document}