\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{enumitem}
\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\renewcommand\labelenumi{\theenumi)}

\newtheorem{ejer}{Ejercicio}
\newcommand{\bej}{\begin{ejer}\rm}
\newcommand{\fej}{\end{ejer}}


\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\def\dt{\Delta t}
\def\dx{\Delta x}

\topmargin-2cm \vsize 29.5cm \hsize 21cm
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\begin{document}
\centerline{{\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matemática}}

 \vskip 0.2cm
 \hrulefill
 \vskip 0.2cm

 \centerline{{\bf\Huge {\sc Análisis Numérico}}}
 \vskip 0.2cm
 \centerline{\ttfamily Segundo Cuatrimestre 2017}
 \hrulefill

 \bigskip
 \centerline{\bf Práctica N$^\circ$ 4: Elementos Finitos (Introducción).}
 \bigskip

{{\bf Notaci\'on:} {\em Designaremos $V^k=\{ v : v \ $ es una
funci\'on $C^{(k-1)}([0,1])$, con derivada $v^{(k)}$
continua a trozos y acotada en [0,1]\}, y $V^k_0$ al subespacio de $V^k$ de funciones que se anulan en el borde, más precisamente, $V^k_0 = \{ v\in V^k : v(0)=v(1)=...=v^{(k-1)}(0)=v^{(k-1)}(1)=0 \}$.

Notaremos $<u,v>=\int_0^1 u v dx.$

Para una funci\'on dada $f$, llamaremos (D) al siguiente problema de valores de contorno:
\[ \left\{ \begin{array}{ll} -u''(x)=f(x)& 0<x<1\\
u(0)=u(1)=0&
\end{array} \right. \]


(V) será el problema variacional:

$$\textrm{Encontrar }u\in V\textrm{ tal que }<u',v'>=<f,v>,\quad \forall v \in V_0^1. $$}

\bej Probar que si $w$ es continua en $[0,1]$ y $\displaystyle
\int_0^1 wv \ dx=0 \ \ \forall v \in V_0^1$, entonces $w(x)=0 \
\forall x\in [0,1]$. \fej \bej Probar que si $u$ satisface el
problema (V), y $u''$ existe en el sentido habitual y es continua,
$u$ es tambi\'en soluci\'on del problema (D).
\fej


\bej\label{diri}
Considerar el problema:
\[
\left\{
\begin{array}{c}
-u''(x)+u(x)=f(x) \ \ \mbox{en}\ \ I=(0,1)\\
u(0)=u(1)=0
\end{array} \right. \]
con $f$ una funci\'on prefijada en $C(\overline{I})$.

\begin{enumerate}
\item ¿Cómo definiría una solución débil?
\item Probar que toda solución clásica es una solución débil.
\end{enumerate}
\fej

\bej
Sean $f$ una funci\'on prefijada en $C(\overline{I})$, $\alpha$ y $\beta \in \R$. Realizar un análisis como el del ejercicio anterior para el problema no
homogéneo:
\[
\left\{
\begin{array}{c}
-u''(x)+u(x)=f(x) \ \ \mbox{en}\ \ I=(0,1)\\
u(0)=\alpha,\ u(1)=\beta
\end{array} \right. \]
\fej


\bej
\label{neuman}
Sean $f$ una funci\'on prefijada en $C(\overline{I})$. Realizar un análisis similar para el problema con condiciones de
Neumann homogéneas:
\[
\left\{
\begin{array}{c}
-u''(x)+u (x)=f(x) \ \ \mbox{en}\ \ I=(0,1)\\
u'(0)=u'(1)=0
\end{array} \right. \]
\fej


\bej
Probar que el espacio vectorial $V$ de las poligonales con
v\'ertices en $a=x_0 < x_1<\cdots <x_n=b$ es un espacio de Hilbert
con el producto escalar $\displaystyle \left( \phi,\psi
\right)=\sum_0^n \phi(x_i)\psi(x_i)$.
\fej


\bej Considerar una
partición uniforme del intervalo $(0,1)$, $\bigcup_{1}^N
I_i=(0,1)$. Construir el sistema lineal resultante, para las
ecuaciones dadas en los Ejercicios \ref{diri}, \ref{neuman}, al
realizar aproximaciones de Galerkin con
$$V_h=\{\phi\in {\cal C}^0(0,1), \ \ \mbox{tales que}\ \ \phi \ \ \mbox{es lineal en cada} \ \ I_i \}$$
defininiendo las condiciones de borde adecuadas en cada caso. \fej

\bej Para el espacio
$$V_h=\{\phi\in {\cal C}^0(0,1), \textrm{ tales que }\phi\textrm{ es cuadrática en cada } I_i \}$$
construir bases adecuadas y obtener la matriz de rigidez para el problema
$$ \left\{ \begin{array}{ll} -u''(x)=f(x)& 0<x<1\\
u(0)=u(1)=0&
\end{array} \right.$$

\fej

\bej\label{21}Encontrar la solución discreta correspondiente al problema
variacional:
\begin{center}hallar $u\in V_0^1(I)$ tal que $<u',v'>=<f,v> \ \forall v \in V_0^1(I)$ \end{center}
utilizando discretizaciones con 2, 4, 8 y 16 elementos. Usar
elementos lineales, y cuadr\'aticos. En cada caso calcular las
normas $\|u-u_h\|_{L^{\infty}}$, $\|u-u_h\|_{L^2}$, y
$\|u'-u_h'\|_{L^2}$ (donde $u$ es la soluci\'on cl\'asica), y
graficarlas en funci\'on de $h$. Para los casos:
\begin{enumerate}
\item $f=1$.  ¿Qué sucede cuando se usan elementos cuadráticos?
\item $f=x$.
\end{enumerate}

\fej

\bej Repetir el ejercicio anterior pero para el problema
variacional correspondiente al ejericicio \ref{diri} con $f(x)=e^x$.



\fej


\bej Definir
$$V_h=\{\phi\in {\cal C}^0([0,1]), \ \ \mbox{tales que}\ \ \phi \ \ \mbox{es c\'ubica en cada} \ \ I_i \}$$
y probar que en general $V_h$ no est\'a incluido en $V^2$. Pensar
cómo definir un subespacio $W_h\subset V_h$ tal que $W_h\subset
V^2_0$. Construir las bases para $W_h$. \fej


\bej \label{barra} Considere el problema de contorno:
\[ \left\{ \begin{array}{ll} u''''(x)=f(x)& 0<x<1\\
u(0)=u'(0)=u(1)=u'(1)=0&
\end{array} \right. \]
Aqu\'{\i} $u$ representa, por ejemplo, la deflexi\'on de una barra
empotrada en sus extremos y sujeta a una fuerza transversal de
intensidad $f$. Llevar el problema a la forma d\'ebil: Hallar $u\in V^2_0(0,1)$ tal que
\[ <u'',v''>=<f,v> \ \ \ \forall v\in V^2_0(0,1) \]

Discretice este problema utilizando el ejercicio anterior.
\fej



% \begin{table}[ht]
% \centering
% \begin{tabular}{ c }
%   \includegraphics[width=0.1\textwidth]{./Galerkin.jpg} \\
%   Galerkin  \\
%   Moscu 1928 - Nueva York 1990
% \end{tabular}
% \end{table}

\end{document}



\bej Calcule el grado de precisión de la regla de cuadratura del punto medio:
$$\int_a^bf(x)dx\sim(b-a)f\Big(\frac{a+b}{2}\Big)$$
\fej

\bej Calcule el grado de precisión de la regla de cuadratura de Simpson:
$$\int_a^bf(x)dx\sim\frac{b-a}{6}\bigg[f(a)+4f\Big(\frac{a+b}{2}\Big)+f(b)\bigg]$$
\fej

\bej Resolver el problema (M) sobre el subespacio $V_h\subset V$,
$h=1/n$, $V_h=\{ v\ :\  v\in V $ y $v$ es lineal en cada intervalo
$[x_i,x_{i+1}]$, con $x_i=ih$, $i=0,n\}$. Este abordaje se llama
habitualmente M\'etodo de Ritz. Comparar el sistema de ecuaciones
resultante con el m\'etodo de diferencias finitas. \fej


\bej
Considerar el problema de contorno:
\[-u''+ku'+u=f \ \ \mbox{en [0,1]}\ \ \ \ u'(0)=u'(1)=0\]
Hallar una formulaci\'on variacional, y probar que para $k$
suficientemente peque\~no el problema variacional tiene soluci\'on
\'unica. Hallar un valor de $k$ tal que $a(v,v)=0$ pero $v \not
\equiv 0$ para alg\'un $v\in H^1$. \fej
