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\newtheorem{theorem}{Teorema}
\newtheorem{lemma}{Lema}
\newtheorem{proposition}{Proposici\'on}
\newtheorem{corollary}{Corolario}

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\def\RR{{\rm I}\!{\rm R}}
\def\NN{{\rm I}\!{\rm N}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\E{\mathbb{E}}
\def\U{\mathcal U}
\def\A{\mathcal A}
\def\V{\mathcal V}
\def\W{\mathcal W}
\def\F{\mathcal F}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\Cal{\mathcal}

\begin{document}

\fontfamily{cmss} \selectfont

\bigskip
\fontfamily{cmr} \selectfont
\begin{center}
{{\bf{Ejercicios para entregar - Movimiento Browniano} }}
\end{center}
En los siguientes ejercicios, $(B_t)_{t\geq0}$ es un Movimiento Browniano estándar en una dimensión.


\begin{enumerate}
\item Para cada $x \in \R$ sea $T_x = \inf \{ t \geq 0 : B_t = x \}$.
\begin{enumerate}
\item Probar que $P( T_x < +\infty ) =1$ para todo $x \in \R$.
\item Probar que $P( T_x \leq t ) = P( |B_t| \geq |x| )=2-2F_{B_1}(\frac{|x|}{\sqrt{t}})$ para todo $x \in \R$ y $t \geq 0$.
\item Calcular $f_{T_x}$ para cada $x \in \R$ y verificar que $\E(T_x)=+\infty$.
\end{enumerate}
\item Probar que si $-y < 0 < x$ entonces $P( T_{-y} < T_x ) = \frac{x}{x+y}.$

\noindent \textit{Sugerencia}. Probar que $(B_t)_{t \geq 0}$ es una martingala.

\item Probar que si $-y < 0 < x$ entonces $\E( T_{-y} \wedge T_x ) = xy.$

\noindent \textit{Sugerencia}. Probar que $(B^2_t - t)_{t \geq 0}$ es una martingala.


\item Sean $L:= \sup\{ t \in [0,1] : B_t = 0\}$ y $R:=\inf \{t \geq 1 : B_t = 0\}$.
\begin{enumerate}
\item ¿Es $L$ un tiempo de parada? Probar que $L \sim \frac{1}{R}$.
\item Utilizar la propiedad de Markov para probar que la función de densidad de $R$ verifica $$f_R(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}} f_{T_x}(t-1)dx.$$
\item Deducir la distribución de $L$. Ésta se conoce como la \textit{ley del arcoseno}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}




\end{document}
