\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{enumitem}
\usepackage[utf8x]{inputenc}

% Caracteres especiales
\def\A{\mathbb{A}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def \N{\mathbb{N}}
\def \P{\mathbb{P}}
\def \Q{\mathbb{Q}}
\def \R{\mathbb{R}}
\def \Z{\mathbb{Z}}
\def \sen{\textrm{sen}}

\newtheorem{ejer}{Ejercicio}
\newcommand{\bej}{\begin{ejer}\rm}
\newcommand{\fej}{\end{ejer}}

\def\dt{\Delta t}
\def\dx{\Delta x}

\topmargin-2cm \vsize 29.5cm \hsize 21cm
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\setlength{\oddsidemargin}{0.0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0.0cm}


\begin{document}

%----------------------------------------------------------
%Encabezado:

\centerline{{\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matemática}}
 
 \vskip 0.2cm
 \hrulefill
 \vskip 0.2cm

 \centerline{{\bf\Large{\sc Elementos de Cálculo Numérico / Cálculo Numérico}}}
 \vskip 0.2cm
 \centerline{\ttfamily Segundo Cuatrimestre 2016}
 \hrulefill

 \bigskip
 \centerline{\bf Práctica N$^\circ$ 7: Ecuaciones no lineales.}
 \bigskip


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% 1
\bej Implementar un programa que reciba como input una función $f$, dos números $a,b$, y una tolerancia $tol$ y aplique el método de bisección para aproximar una raíz de $f$ en el intervalo $[a,b]$, garantizando que el error cometido sea menor que $tol$. 
\fej

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% 2
\bej Elegir un intervalo apropiado y utilizar el método de bisección para calcular una raíz de la ecuación:
$$
2x= \tan (x)
$$
>Cuántos pasos hay que hacer para garantizar que el error
sea menor que $10^{-5}$?
\fej

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% 3
\bej Implementar un programa que reciba como input una función $f$, su derivada $f'$ y un punto inicial $x_0$ y aplique el método de Newton-Raphson para buscar una raíz de $f$ a partir de $x_0$. \fej

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% 4
\bej Implementar un programa que reciba como input una función $f$ y dos puntos $x_0$ y $x_1$ y aplique el método de la secante para buscar una raíz de $f$ con datos iniciales $x_0$ y $x_1$. \fej

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% 5
\bej Aproximar $\sqrt[3] 2$ utilizando el método de bisección con intervalo inicial $[1,2]$,  el m\'etodo 
N-R, comenzando con $x_0 = 2$ y el método de la secante con $x_0=3$, $x_1=2$. 

En todos los casos, calcular el error cometido en cada iteración comparando con el valor de $\sqrt[3] 2$ arrojado por Octave, y graficar el logaritmo del error para verificar el orden de convergencia de cada método.
\fej

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% 6
\bej Considerar la función $\displaystyle
f(x)=\frac{x}{1+|x|}$. Determinar para qu\'e valores de $x_0$ la
iteración N-R es convergente, para cuáles es divergente, y
cu\'ando se obtienen ciclos periódicos.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 7
\bej Sea $f$ una función $C^1$ y sea $(x_n)_{n\in \N}$ la
sucesión que se obtiene al aplicar el método N-R a $f$.
Supongamos que $x_n$ converge a $r$ y $f'(r)\ne 0$, mostrar que $r$ es raíz de $f$.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 8
\bej
\label {concav} Sea $f$ una funci\'on suave, y $a$ tal que
$f(a)=0$, y
 $f'(a)\neq 0$. Suponiendo que en $(a,b]$, $f,\ f',\ f''$ son positivas,
 probar
que la iteraci\'on de N-R generada a partir de $x_0 \in (a,b)$
converge decrecientemente hacia $a$.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 9
\bej Sea $f:\R \to \R, \ f(x)= (x+1)e^x -4$.

\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Probar que el método de Newton-Raphson es convergente para
todo $x_0 >1$.

\item Analizar la convergencia del método si se toma como valor
inicial $x_0 = -3$.
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 10
\bej Sea $f:\R\to\R$ tal que $f'(x)> \delta>0$ con una única raíz $r$. Se desea aplicar el método de Newton Raphson para hallar $r$.
\begin{enumerate}
\item Probar que si $f(x)>f'(x)(x-r)$ para todo $x>r$ entonces se tiene que $x_1<r$ para todo dato inicial $x_0 > r$. 
\item Probar que si $f''(x)<0$ para todo $x<r$, entonces el método genera una sucesión creciente que converge a $r$ para todo $x_0<r$. Concluir que si se cumplen ambas condiciones, el método converge.
\item Probar que Newton Raphson converge a la única raíz de  $f(x)=-e^{-x}+5x$ para todo dato inicial $x_0$. 
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 11
\bej Dada $F:\R^n\to\R^n$ el método N-R generalizado consiste en realizar la iteración vectorial $$x^{k+1}= x^k - (DF|_{x^k})^{-1}.F(x^k),$$ donde $(DF|_{x^k})^{-1}$ es la inversa de la matriz diferencial de $F$ evaluada en $x^k$.

Usar N-R generalizado para resolver el sistema de ecuaciones
$$2x - 3y = 0, \quad x^2 - y^2 - 3 = 0$$
comenzando con valores iniciales $(x_0, y_0) = (2,1)$.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 12
\bej {\bf Cuencas de atracción / Fractales de Newton: } Sea $P:\C\to\C$ un polinomio de grado $3$, con raíces $r_1,r_2,r_3$ contenidas en el rectángulo $R = [-1,1]\times[-1,1]$. Se desea saber, para cada punto $z_0$ en $R$, a qué raíz converge el método de Newton, cuando se toma dato inicial $z_0$. 
Hacer un programa que: 
\begin{enumerate}
\item Reciba como input un vector $P=(P_1,P_2,P_3,P_4)$, que representa al polinomio $P(x) = P_1 x^3+P_2 x^2+P_3 x+P_4$. 
\item Calcule las raíces de $P$ utilizando el comando \verb+roots+.
\item Haga una grilla de puntos de la forma $(x_j,y_k)\in R$.
\item Para cada punto $(x_j,y_k)$, corra 5 iteraciones del método de Newton, con dato inicial dado por el complejo $z = x_j+i y_k$. 
\item Determine la raíz $r$ más próxima al resultado obtenido.
\item Realice un gráfico que pinte cada punto $(x_j,y_k)$ de un color distinto de acuerdo a la raíz a la que el método se aproxime. Por ejemplo: si $r=r_1$, $(x_j,y_k)$ se pinta de azul, si $r=r_2$, de rojo y si $r=r_3$, de amarillo. 
\end{enumerate}
De este modo, la región pintada de azul es la \emph{cuenca de atracción} de la raíz $r_1$, etc. Comunmente, las cuencas de atracción resultan ser fractales. Puede repetirse el experimento para polinomios de mayor grado. 
\fej

%----------------------------------------------------------
% 13
\bej Sea $f(x)= x^3 - x -1$. La ecuación $f(x) = 0$ tiene una única raíz $r$ en el intervalo $(1,2)$. Se consideran las funciones:
$$ g(x) =  x^3-1,\hskip 2cm h(x)=\sqrt[3]{x+1}.$$
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Probar que $r$ es un punto fijo tanto de $g$ como de $h$.
\item Decidir si $g$ o $h$ pueden utilizarse para buscar $r$ a través de un método de punto fijo. 
\item Cuando sea posible, determinar un intervalo inicial $I$ en el cual el método converja, y dar un valor inicial $x_0\in I$ y la cantidad de iteraciones
necesarias para aproximar $r$ con error menor que
$10^{-5}$.
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 14
\bej Sea $f:\R_{>0}\to\R$ definida como $f(x)= \frac
{8x-1}x - e^x.$
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Determinar, mediante gráficos convenientes, el número de raíces de $f$, localizando cada una de ellas entre dos enteros consecutivos.
\item Proponer tres métodos de punto fijo para $f$ y determinar si convergen a alguna de sus raíces si se toma dato inicial $x_0=1$.
\end{enumerate}
\fej

%----------------------------------------------------------
% 15
\bej Sea $g$ una funci\'on tal que $g'$ es continua en $[s, b]$,
donde $s$ es un punto fijo de $g$. Si adem\'as, se verifica que
$0\leq g'(x)\leq K<1$ para todo $x\in[s,b]$, mostrar que la
iteraci\'on, comenzando con $x_0\in [s,b]$, converge
decrecientemente a $s$.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 16
\bej  Dada la funci\'on $f(x)=x+\frac{1}{x}-2$, $f:\R_{>0} \to \R$,
se construye el siguiente algoritmo para aproximar la ra\'{\i}z
$r=1$:
$$x_{n+1}=2-\frac{1}{x_n}$$
Verificar que si $x_0>1$ entonces la sucesi\'on $\{x_n\}$
es mon\'otona decreciente y acotada inferiormente por 1. Concluir
que $x_n\rightarrow 1$, aunque esta iteraci\'on no est\'a en las
hip\'otesis del teorema del punto fijo. ¿Qu\'e hip\'otesis no se
cumple?
\fej


%----------------------------------------------------------
% 17
\bej Sea $f$ una función $C^1$ en las condiciones del método
N-R. Sea $g(x)= x - \frac{f(x)}{f'(x)}$. Mostrar que el método
N-R es un m\'etodo de punto fijo.
\fej

%----------------------------------------------------------
% 18
\bej  Para $f$ una funci\'on $C^2$ que tiene una raíz de orden $2$ en $r$:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Demostrar que el método N-R converge sólo
linealmente a $r$ (Sugerencia: Notar que en este caso la $g$ del
ejercicio anterior no está definida para $x = r$, redefinirla
como $g(r) = r$, probar la diferenciabilidad de $g$ y demostrar
que $g'(r) \ne 0$).
\item >Cuál es el orden de convergencia de la siguiente
modificación?
\begin{equation}\label{NRmod}
x_{n+1}=x_n - 2 \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
\end{equation}
\item Sea $f(x) = 4x^3 - 3x +1$. $f$ tiene una raíz doble.Aproximarla calculando las 10 primeras iteraciones de los métodos N-R y del método \eqref{NRmod}, con dato inicial $x_0=25$. Graficar simultáneamente las dos sucesiones obtenidas. 
\end{enumerate}
\fej


\end{document}

