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\def\noi{\noindent}
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\def\bs {\bigskip}
\def\Ker {{\rm Ker}}
\def\Im {{\rm Im}}
\def\N {\mathbb{N}}
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\def\C {\mathbb{C}}

\begin{document}
\large
\centerline{\bf Cálculo Numérico - Elementos de Cálculo Numérico - Primer Parcial}

\normalsize
\centerline{Segundo cuatrimestre de 2016 (4/10/2016)}

\medskip

\centerline{\footnotesize{\begin{tabular} [c]{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Nombre y Apellido & 1 & 2 & 3
& 4 & 5 &Nota\\\hline \hspace{5.7cm} & \hspace{1.2cm} &\hspace{1.2cm}
&\hspace{1.2cm} &\hspace{1.2cm} &\hspace{1.2cm}  &\hspace{1.5cm}
\\ &  &  & & & &
\\\hline
\end{tabular}}}
\centerline{\scriptsize {Justificar todas las respuestas y escribir prolijo. Duraci\'on 4 horas.}}

\normalsize
\bigskip


\begin{enumerate}

%%%Ejercicio 1
\item Se tiene una máquina que utiliza el método de redondeo en base 10 y mantisa de 2 dígitos. 
  \begin{enumerate}
  \item ¿Cuál es el flotante de la suma $1+1/2+1/4+1/8+1/16$ (sumando en este orden)? Sabiendo que el valor exacto es $1.9375$, ¿cuál es el error relativo? ¿De qué otra forma se podría calcular esta suma para que el error sea menor? ¿Cómo da el nuevo error relativo? 
  \item \textcolor{red}{[modificado]} Dados $r_1=0.994$, $r_2=0.988036$ y $r_3=0.982107784$. Como $r_2=r_1^2$ y $r_3=r_1^3$, se propone calcular la suma $1+r_1+r_1^2$ por medio de la expresión $(1-r_3)/(1-r_1)$. Sabiendo que $1+r_1+r_1^2=2.982036$, ¿cuál es el error relativo?
  \end{enumerate}

%%%Ejercicio 2
\item Considerar el problema:
      $\left\{ \begin{array}{rcl} y'(t) &=& t (\cos(y(t)))^2 \\
                                   y(0)  &=& 1 \end{array}\right.$.

  \begin{enumerate}
  \item Escribir la iteración del método de Euler correspondiente a este problema. 
  \item Calcular el error de truncado local para $t\in[0,1]$.
  \item Si se escribe a la iteración del método de Euler como $y_{i+1}=y_i+h\phi(t_i,y_i,h)$ para $0\le i\le N-1$, mostrar que $\phi(t,y,h)$ es Lipschitz respecto de la segunda variable y concluir que $|y_N-y(1)|\to 0$ cuando $N\to+\infty$.
  \end{enumerate}



\bigskip

%%%Ejercicio 3
\item Se tiene el siguiente problema de valores de contorno:
      $$\left\{ \begin{array}{rcl} u''(x) - u'(x) & = & 2x-7 \quad \text{para } x\in(0,1), \\
                                   u(0) & = & 1, \\
                                   u(1) & = & 5. \end{array}\right.$$

  \begin{enumerate}
  \item Proponer un esquema discreto para resolver el problema usando diferencias finitas. 
  \item Estimar el error de truncado local del esquema propuesto.
  \item Escribir el esquema como un sistema lineal de la forma $Au = b$, indicando quiénes son la matriz $A$ y el vector $b$, y sus respectivas dimensiones. 
  \end{enumerate}

\bigskip

%%%Ejercicio 4
\item Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{cccc} n^2 & 2 & 1 & 8\\ 0 & n^{-2} & 0 & 3\\ 0 & 0 & n & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$. Mostrar que $\mathrm{cond}_1(A)\ge n^4$ si $n\ge 4$. Concluir que $\mathrm{cond}_1(A)\to+\infty$ cuando $n\to +\infty$.

%%%Ejercicio 5
\item 
  \begin{enumerate}
   \item Sean $M\in\R^{nxn}$ y $O\in \R^{nxn}$ una matriz ortogonal (es decir, $O^tO=OO^t=I_n$), y llamemos $B=OM$ y $C=MO$. Probar que $M^tM$ tiene los mismos autovalores que $B^tB$ y que $C^tC$. Concluir que si $M$ es inversible,  $\mathrm{cond}_2(M)=\mathrm{cond}_2(OM)$.
   \item Sean $A$, $Q$ y $R$ las matrices:
   {\small
   \[A=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{ccc} \sqrt{3} & \sqrt{3}+2\sqrt{2} & -3 \\ \sqrt{3} & \sqrt{3}-2\sqrt{2} & 3 \\ 0 & 2\sqrt{2} & 6 \end{array}\right), \quad 
     Q=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{ccc} \sqrt{3} & \sqrt{2} & -1 \\ \sqrt{3} & -\sqrt{2} & 1 \\ 0 & \sqrt{2} & 2 \end{array}\right), \quad 
     R=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right),\]
     }
     donde $A=QR$ es la descomposición $QR$ de la matriz $A$, calcular $\mathrm{cond}_2(A)$.
  \end{enumerate}
  
  
\end{enumerate}




\end{document}




