\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{enumitem}
\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\renewcommand\labelenumi{\theenumi)}

\newtheorem{ejer}{Ejercicio}
\newcommand{\bej}{\begin{ejer}\rm}
\newcommand{\fej}{\end{ejer}}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\def\dt{\Delta t}
\def\dx{\Delta x}

\topmargin-2cm \vsize 29.5cm \hsize 21cm
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\setlength{\oddsidemargin}{0.0cm}
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\begin{document}
\centerline{{\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matemática}}

 \vskip 0.2cm
 \hrulefill
 \vskip 0.2cm

 \centerline{{\bf\Huge {\sc Análisis Numérico}}}
 \vskip 0.2cm
 \centerline{\ttfamily Segundo Cuatrimestre 2016}
 \hrulefill

 \bigskip
 \centerline{\bf Práctica N$^\circ$ 5: Elementos Finitos 1D}
 \bigskip

\section*{Espacios de Sobolev}

\bej
\begin{enumerate}
\item Probar que la funci\'on definida como $h(x)=\exp (-1/x^2)$ para
$x>0$, $h(x)=0$ para $x\leq 0$, pertenece a $C^\infty(\R)$.

\item Probar que la funci\'on $g(x)=h(x-a)h(b-x)$, $a<b$ es
$C^\infty(\R)$ con soporte en $[a,b]$.

\item Construir una funci\'on en $C_0^\infty (\R^n)$ con
soporte en una bola o en un intervalo.
\end{enumerate}
\fej



\bej
\label{papa1}
\begin{enumerate}
\item Sea $f\in L^2(I)$ tal que $\int_I fg\ dx=0$  $\forall g\in L^2(I)$.
Probar que $f=0$ c.t.p.
\item Sea $f\in L^2(I)$ tal que $\int_I fg\ dx=0$ para toda $g\in
C_0^{k}(I)$.
Probar que $f=0$ c.t.p.
\item Sea $f\in L^2(I)$ tal que $\int_I fg\ dx=0$ para toda $g\in
C_0^{\infty}(I)$. Probar que $f=0$ c.t.p.\end{enumerate}
\fej

\bej\label{papa2}
\begin{enumerate}
\item Demostrar que si $f,g\in L^{p}$ son tales que
$\int_{I}f\phi'=-\int_{I}g\phi$ para toda $\phi\in C_0^{1}(I)$
entonces $g$ es \'unica.
\item Si la $f$ del item previo es derivable entonces
$f'=g$.
\end{enumerate}
\fej

\bej
\begin{enumerate}
\item Dada una función $\psi\in C_0^0(I)$ tal que
$\int_{I}\psi=1$ probar que $\theta=\omega-(\int_{I}\omega)\psi\in
C_0^{0}(I)$ para todo $\omega\in C_0^1(I)$, además $\int_{I}
\theta =0$. \item Si $I=(a,b)$, sea $\phi(x)=\int_a^x\theta$,
probar que $\phi(x)\in C^{1}_{0}(I)$, m\'as a\'un $\phi'=\theta$.
\item Si $f$ en $L_{loc}^1$ y $\int_{I}f\phi'=0$ para toda
$\phi\in C_0^{1}(I)$ entonces $f=cte$ c.t.p. (Sug. tomar $\phi$
como en el item previo y utilizar el Ejercicio \ref{papa1}).
\end{enumerate}
\fej

\bej Si $g\in L^1_{loc}(I)$ tomar $c\in I$ cualquiera, y
escribir para $x\in I$ $\int_c^xg=v(x)$, entonces $\int_{I}
v\phi'=-\int_{I}g\phi$ para todo $\phi\in C_{0}^{1}(I)$. \fej

\bej
Utilizando el ejercicio previo y tomando $f$ y $g$ como en el
Ejercicio \ref{papa2} deducir la identidad $f(x)=f(c)+\int_c^xg$
para casi todo $x$. \fej

\bej\label{inmer1} Probar que
si $f\in H^1(I)$ entonces $\|f\|_{\infty}\leq C\|f\|_{H^1}$.
\fej

\bej
Usando el ejercicio previo demostrar que si $u\in H^1_0(I)$, con
$I=(a,b)$ entonces $u(a)=u(b)=0$. Probar, utilizando este hecho,
que para $I$ acotado en $\R$  existe una constante $C$ (dependiente de
$|I|$) tal que
\[ \|u\|_{L^2}\leq C \|u'\|_{L^2} \ \ \ \forall u\in H_0^1  \qquad \mbox{(Desigualdad de Poincar\'e)}\]
y por ende
\[ \|u\|_{H^1(0.1)}\leq C \|u'\|_{L^2} \ \ \ \forall u\in H_0^1 \]


\bej Sea $I=(-1,1)$. Comprobar que:
\begin{enumerate}
\item La funci\'on $u(x)=\frac{1}{2}(x+|x|)$ pertenece a $W^{1,p}(I)$
para todo $1\leq p \leq \infty$ y que $u'=H$, donde $H$ es la
funci\'on de Heaviside:
\[ H(x)=\left\{\begin{array}{ccc}
1&\mbox{si}&0<x<1\\
0&\mbox{si}&-1<x<0
\end{array}
\right.
\]
\item La funci\'on $H \notin W^{1,p}$ para $1\leq p \leq \infty$.
\end{enumerate}
\fej


\fej \bej Sea $$u(x,y) = \frac{1}{\| (x,y)\|^{\epsilon}}$$ con $
0< \epsilon < 1$ y $(x,y) \in B_R(0) $.

\begin{enumerate}
\item
Probar que $u$ tiene derivadas generalizadas de primer orden en $L^1
(B_R(0))$; $u \in L^2 (B_R(0))$ pero  $u$ no tiene representante
continuo en $B_R(0)$.

\item Encontrar los valores de $p$ para los que $u\in W^{1,p}(B_R(0))$.
\end{enumerate}
\fej


 \bej \begin{enumerate}
 \item Demostrar que la función
$$ u(x,y) = | \ln (x^2 + y^2)|^{\frac{1}{3}}$$
está en $H^1(B_{\frac{1}{2}} )$ donde $B_{\frac{1}{2}} = \{ (x,y) \in \R^2, x^2+ y^2 < \frac{1}{2}\}$.\\
\item ¿Para que valores de $\alpha$ la función $u(x,y) = | \ln (x^2 + y^2))|^{\alpha}$
está en $H^1(B_{\frac{1}{2}} )$?

Concluir que las funciones de $H^1$ no son necesariamente acotadas
y por ende el resultado del Ejercicio \ref{inmer1} no se extiende a
más dimensiones.
\end{enumerate}
\fej


\section*{Teoría de Elementos Finitos 1D}

\bej Probar que las siguientes formas bilineales son continuas
y coercitivas en los respectivos espacios $V$
\begin{enumerate}
\item $V=\R ^n$, $a(u,v)=vAu^t$ con $A\in \R^{n\times
n}$, $A$ definida positiva. \item $V=L^{2}(0,1)$,
$a(u,v)=\int_0^1u(x)v(x)\rho(x)dx$, con $\rho(x)>0$ y continua en
$[0,1]$. \item $V=H^1(0,1)$,
$a(u,v)=\int_0^1(u(x)v(x)\rho_1(x)+u'(x)v'(x)\rho_2(x))dx$, con
$\rho_i(x)>0$ y continuas en $[0,1]$. \item  $V=H^1_0(0,1)$,
$a(u,v)=\int_0^1u'(x)v'(x)\rho(x)dx$, $\rho(x)>0$, continua en
$[0,1]$. \item $V=H^1(0,1)$,
$a(u,v)=\int_0^1(u'(x)v'(x)\rho_1(x)+ku'(x)v(x)+u(x)v(x)\rho_2(x))dx$
con $\rho_i$ como en los items previos, y $k$ constante
suficientemente chico. Es esta forma bilineal sim\'etrica?
\end{enumerate}
\fej
\bej
Para los problemas 3 y 5 de la práctica anterior
\begin{enumerate}
\item Probar que existe una solución única en $H_0^1(I)$ de la
formulación débil.
\item Probar que la solución débil es suficientemente regular
(esto es, que pertenece a $C^2(\overline{I})$), y que proporciona
una solución clásica.
\end{enumerate}
\fej



\bej Sea $I=(0,1)$ y sean $x_i$ tales que $0=x_0 < x_1 < \cdots <
x_{N-1} < x_N=1$ una partición de $I$.
\begin{enumerate}
\item Definimos para cada $1\le i\le N-1$, \quad $G_i(x)= \left\{
\begin{array}{cc}
(1-x_i)x& 0\le x\le x_i\\
x_i(1-x)& x_i\le x\le 1
\end{array}
\right. $
 Verificar que $G_i\in H^1_0(0,1)$ y que $\forall w\in
H^1_0(0,1)$
 se tiene que
$$\int_0^1w'(s)G_i'(s)ds=w(x_i)$$

\item Dada $f \in L^2(0,1)$ considerar el problema
\[\left\{
\begin{array}{c}
-u''=f\\
u(0)=u(1)=0
\end{array}
\right.
\]
Escribir el problema en forma variacional sobre $H^1_0$ y dar
formulación aproximada de Galerkin utilizando el espacio
$$V_h=\{u\in H^1_0\ \ \mbox{tal que}
\ \ u\in P_1(I_i)\ \ \mbox{para todo} \ \ 0\le i\le N-1\}$$
\begin{itemize}
\item Demostrar que ambos problemas variacionales tienen solución única.
\item Demostrar
que $\int_0^1(u-u_h)'v_h'=0$ para todo $v_h\in V_h$. De aqu\'{\i}
y del item previo concluya que $u(x_i)=u_h(x_i)$, i.e, la solución obtenida numéricamente interpola a $u$ en los nodos
(aquí $u_h$ denota la solución del problema discreto).  Verificar que efectivamene,
en el ejercicio $8$ sucede eso.
\end{itemize}
\item Hallar la matriz de rigidez (usando las bases de Lagrange).
\end{enumerate}
\fej

\bej \label{barra} Demostrar que el problema variacional del ejercicio 11 de la práctica anterior tiene soluci\'on \'unica sobre $H_0^2(0,1)$.
\fej

\bej Considerar el problema:
$$\left\{\begin{array}{c}
		-(a(x)u'(x))' + b(x)u'(x) = f(x)  \textrm{ en } I=(0,1) \\
		u(0) = u'(1) = 0
		\end{array}\right.$$
con $a\in C^1(\bar{I})$ y $b,f\in C(\bar{I})$.
\begin{enumerate}
\item Plantear la formulación débil del problema, en un espacio adecuado $V$.
\item Demostrar que para toda $u\in V$ se tiene que:
$$\|u\|_{L^2(I)}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\|u'\|_{L^2(I)}$$
\item Probar que si $a\ge\alpha>0$ y $$\|b\|_\infty\le \frac{1}{2}\min_{x\in[0,1]}a(x)$$ entonces existe una única solución del problema débil.
\item Probar que la solución débil es también solución del problema continuo.
\end{enumerate}
\fej


\bej Considerar el problema:
$$\left\{\begin{array}{cl}
	      -u''+\beta u' = f &x\in(0,1)\\
	      u(0)=u(1)=0 &
         \end{array}\right.
$$
siendo $\beta>0$.
\begin{enumerate}
 \item Plantear la formulación débil de este problema, de la forma:
 \begin{equation}\label{eq:cont}
  a(u,v) = F(v)\quad \forall v\in V,
 \end{equation}
 para un espacio adecuado $V$.
 \item Probar que $F$ y $a$ son continuas, y que si $\beta$ es suficientemente chico,  $a$ es coercitiva. Concluya existencia y unicidad de solución para el problema débil.
 \item Sea $\mathcal{T}_h$ una partición unifome del intervalo $[0,1]$, de parámetro $h>0$ dada por $\{x_i\}$, $x_i=ih$. Sea
 $$V_h=\{f\in C([0,1]):\; f|_{[x_i,x_{i+1}]}\in\mathcal{P}_1\}.$$ Considerar el problema discretizado:
 \begin{equation}\label{eq:discrete}
 a(u,v)=F(v)\quad \forall v\in V_h
 \end{equation}
 Si $u_h\in V_h$ es la solución de \eqref{eq:discrete}, y $u$ es la solución de \eqref{eq:cont}, probar, utilizando el lema de Cèa, que $$\|u-u_h\|_{H^1}\underset{h\to 0}{\longrightarrow} 0$$
\end{enumerate}
\fej


\bej \textbf{({\small Ej. tipo parcial})} Dada $f\in L^2(0,1)$, considere el siguiente problema:
$$
\left\{
        \begin{aligned}
            & u\in C^2[0,1] \\
            & -u''(x) + a u'(x)+u(x) =  f(x) \qquad 0<x<1, \quad a \in \mathbb{R}\\
            & u(0)=u'(1)=0
        \end{aligned}
\right.
$$
\begin{enumerate}
\item Hallar la forma débil en un espacio adecuado V.
\item Probar que si $u\in C^2([0,1])$ es una solución débil entonces es solución clásica del problema (incluyendo las condiciones de borde).
\item Probar que si $u\in H^1(0,1)$ y $u(0)=0$, entonces vale la desigualdad de Poincaré.
\item Probar que si $|a|<2$, existe una solución única en $V$ de la formulación
débil.
\item  Describir un espacio aproximante $V_h \subset V$, adecuado para este
problema, y mostrar una base.
\end{enumerate}
\fej

\bej\textbf{({\small Ej. tipo parcial})}
 Sea $I=(0,1)$ y $k(x)$ la funci\'on
\[
k(x)=\left\{\begin{array}{cl}k_1&\mbox{si }x\in I_1=\left(0,\frac12\right)\\
k_2&\mbox{si }x\in I_2=\left(\frac12,1\right)\end{array}\right.
\]
con $k_1,k_2>0$ constantes. Considerar el problema variacional:
Hallar $u\in H^1_0(I)$ tal que
\begin{equation}\label{uno}
\int_{I}k(x)u'v'\,dx=\int_{I}v\qquad \forall v\in H^1_0(I).
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item Probar que (\ref{uno}) tiene una \'unica soluci\'on $u$.
\item Probar que $u$ es soluci\'on (en sentido cl\'asico) de
$$
\left\{\begin{aligned}
&-k(x)u''=1\qquad\mbox{en } I_1\cup I_2\\
&u(0)=u(1)=0\\
&u \mbox{ continua en }x=\frac12\\
&k_1u'\left(\frac12 ^{(-)}\right)=k_2u'\left(\frac12^{(+)}\right).
\end{aligned}\right.
$$
\item Discretizar la ecuaci\'on usando elementos finitos lineales
sobre una malla uniforme con $2N$ intervalos de longitud
$h=\frac1{2N}$. Hallar la matriz de rigidez y el vector independiente
del sistema resultante de tamaño $(2N-1)\times(2N-1)$.
\item  Interpretar desde el punto de vista de
diferencias finitas c\'omo queda impuesta la condici\'on sobre la
derivada de $u$ en $x=\frac12$ en la discretización dada en (c).
\end{enumerate}

\fej

% \begin{table}[ht]
% \centering
% \begin{tabular}{ c }
%   \includegraphics[width=0.2\textwidth]{./Sobolev.jpg} \\
%   Sergei Sobolev  \\
%   Moscu 1928 - Nueva York 1990
% \end{tabular}
% \end{table}

\end{document}

