\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\include{amsfonts}
\usepackage{amssymb,amsmath,latexsym,epsfig,euscript,enumitem}



%    Definicion de caracteres especiales
\def\A{\mathbb{A}}
\def\C{\mathbb{C}}
\def \N{\mathbb{N}}
\def \P{\mathbb{P}}
\def \Q{\mathbb{Q}}
\def \R{\mathbb{R}}
\def \Z{\mathbb{Z}}

\def\zC{\mathbb{C}}

\def \zN{\mathbb{N}}
\def \zQ{\mathbb{Q}}
\def \zR{\mathbb{R}}
\def \zZ{\mathbb{Z}}

%%--

%\documentclass[12pt]{article}
%\include{amsfonts}

%    Definicion de caracteres especiales
%\def\zC{ C\hskip -6.5pt\vrule height 6.9pt width 0.9pt depth -0pt\hskip 3.5pt}
%\def\zQ{ Q\hskip -5.4pt\vrule height 6.9pt width 0.9pt depth -0pt\hskip 4pt}
%\def\zN{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt N$}}
%\def\zn{\hbox{$\scriptstyle I\hskip -3pt N$}}
%\def\zR{\hbox{$\displaystyle I\hskip -3pt R$}}
%\def\zr{\hbox{$\scriptstyle I\hskip -3pt R$}}
%\def\zZ{\hbox{$\displaystyle Z\hskip -5pt Z$}}
%
\def\d{\displaystyle}


\newtheorem{ejer}{Ejercicio}
\newcommand{\bej}{\begin{ejer} \rm}
\newcommand{\fej}{\end{ejer}}


\topmargin-2cm \vsize=29.5cm \hsize=21cm
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\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\noindent {\small Universidad de Buenos Aires - Facultad de
Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matem\'atica}

%\rightline{\small Primer Cuatrimestre de 2004}

\vskip 1cm

\centerline{{\bf\large {\sc Elementos de C\'alculo
Num\'{e}rico (M) - C\'alculo Num\'erico }}}

\centerline{{\ttfamily Primer Cuatrimestre 2014}}


\bigskip

\centerline{\bf  Pr\'actica N$^\circ$5: Interpolaci\'on}
\bigskip


\bej \label{tabla} Para cada uno de los conjuntos de datos dados,
calcular el polinomio $p(x)$ interpolador de grado menor o igual
que 3, en la forma de Lagrange. Verificar utilizando el comando
\verb+polyfit+ de {\tt Matlab/Octave}. Graficar el polinomio interpolador,
usando el comando \verb+polyval+.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline
x&-1&0&2&3\\
y&-1&3&11&27\\
\hline \hline
x&-1&0&1&2\\
y&-3&1&1&3\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\fej

\bej Repetir el problema anterior, usando el m\'etodo de
coeficientes indeterminados.
\fej

\bej \begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Construir las tablas de diferencias divididas para los datos
del Ejercicio \ref{tabla}, y emplearlas para construir los
polinomios interpoladores.
\item Agregar a las tablas de datos del Ejercicio \ref{tabla} el
punto $x=4,\ y=1$. Aumentar las tablas de diferencias divididas y
calcular los polinomios interpoladores.
\end{enumerate}
\fej

\bej \label{runge} Considerar la funci\'on $\displaystyle
f(x)=\frac{1}{1+25 x^2}$ en el intervalo [-1,1]. Graficar $f$
junto con los polinomios que resultan de interpolar a $f$ en los
$n+1$ puntos equiespaciados $\displaystyle
x_0=-1,\ldots,x_i=x_0+\frac{2i}{n},\ldots,x_n=1$; para
$n=5,10,15$.
\fej

\bej \label{maseje} Repetir el Ejercicio~\ref{runge} para la funci\'on
$f_1:[-1,1]\to\zR$, $f_1(x)=|x|$ y para la funci\'on
$f_2:[-1,1]\to\zR$, $f_2(x)=\sin(\pi x)$.
\fej

\bej Encontrar una funci\'on del tipo $2^{ax^3 + bx^2 + cx + d}$
que interpole la siguiente tabla de datos:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & -1&0&1&2\\
\hline
$y$ & 1&1&0.5&4\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\fej

\bej Utilizando {\verb+Matlab+}, encontrar y graficar una funci\'on del tipo
$e^{a_4x^4 + a_3x^3 + \dots + a_0}$ que interpole a la funci\'on
$f(x) = 1/x$ en 5 nodos equiespaciados en el intervalo $[1, 10]$.
\fej

\bej \begin{enumerate}
      \item[a)] Escribir un programa que reciba como input dos vectores \verb+x+ e \verb+y+, calcule la tabla de diferencias divididas correspondiente y devuelva el polinomio que interpola los datos y, opcionalmente, la tabla de diferencias divididas. 
      \item[b)] Adaptar el programa anterior para que reciba, opcionalmente, como tercer parámetro una matriz \verb+A+ que represente una tabla de diverencias divididas parcial. Esta variante debe tomar los datos \verb+x+ e \verb+y+ y utilizarlos para completar la tabla \verb+A+.
     \end{enumerate}
\fej

\bej Sea $f:[0,5] \to \zR$, $f(x) = 2^x$. Sea $P_n$ un polinomio
de grado $n$ que interpola a $f$ en $n+1$ puntos distintos
cualesquiera de dicho intervalo. Demostrar que para todo $x \in
[0,5],$
$$|  P_n(x) - f(x) | \le  \frac {32 . 5^{n+1}}{ (n+1)!}  $$
\fej


 \bej Sean $f =\frac{1}{1+x}$ y $g(x) = 2^{ax^2+bx+c}$.
   \begin{enumerate}
   \item[a)] Hallar $a$, $b$ y $c$ para que $g$ interpole a $f$ en los puntos: $x_0 = 0$, $x_1 = \frac{1}{2}$ y $x_2 = 1$.
   \item[b)] Probar que con los valores del item anterior se tiene que:
   $$2^{-\frac{1}{24}\ln(2)} \le \frac{f(x)}{g(x)} \le 2^{\frac{1}{24}\ln(2)}$$
   \end{enumerate}
   \fej
   
\bej Sea $f$ una funci\'on $C^\infty$ tal que para todo $k\in
\zN$ y para todo $x\in [a,b]$ se tiene:
\[ |f^{k}(x)| \leq C^{k} k! \]

Mostrar que, si $0< C < \d\frac 1{b-a}$ y $P_n$ en un polinomio de
grado $n$ que interpola a $f$ en $n+1$ puntos distintos, entonces
$P_n$ converge a $f$ uniformemente, es decir, $\|f - P_n\|_\infty
\to 0$ cuando $n$ tiende a $\infty$.
\fej

\bej Sea $f:[-1,1]\to\zR$, $f(x)=\d\frac{1}{a+x}$. Sean
$(x_n)_{n\geq 0}$ una sucesi\'on arbitraria de puntos en $[-1,1]$
y $P_n(x)$ el polinomio que interpola a $f(x)$ en
$x_0,x_1,\ldots,x_n$. Demostrar que si $a > 3$ entonces $P_n$
converge a $f$ uniformemente.
\fej

\bej \label{equies}\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Dado el intervalo $[a,b]$, sea $m$ el punto medio
entre $a$ y $b$ y sea $h \le (b-a)/2$. Sea $p= m - h$ y $q = m +
h$. Demostrar que para todo $x$ en $[a,b]$,
$$|(x-p)(x-q)| \le \frac{(b-a)^2}{4}.$$

\item Sean $x_0=a,\ldots,x_i=x_0+\frac{b-a}{n},\ldots,x_n=b$, $n+1$
puntos equiespaciados en el intervalo $[a,b]$. Demostrar que para
todo $x$ en $[a,b]$,
$$|(x-x_0)\dots(x-x_n)| \le \frac{(b-a)^{n+1}}{2^{n+1}}.$$
\end{enumerate}
\fej

\bej Sea $f:[-\pi,\pi] \to \zR$, $f(x) = \sin (x)$. Sea $P_n$ un polinomio
de grado $n$ que interpola a $f$ en $n+1$ puntos equiespaciados en
dicho intervalo.
Demostrar que para todo $x \in [-\pi,\pi]$
$$| P_n(x) - f(x) | \le  \frac {\pi^{n+1}}{(n+1)!},$$
\noindent y concluir que $P_n$ converge uniformemente a $f$.
\fej


\bej \label{graf} Sea $f:[0,1]\to\zR$, $f(x)= \sin(\pi x) + e^{x}$.
Sea $P_n$ el polinomio de grado $n$ que interpola a $f$ en $n+1$
puntos equiespaciados.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Usando el ejercicio \ref{equies},
acotar el error $\|f - P_n\|_\infty$.
% que se comete al utilizar $P_n$ en lugar de $f$.

\item Sea $C_n$ la cota hallada en a). Para $n=1, 3, 5,$ graficar
simult\'aneamente $f$, $f+ C_n$, $f- C_n$ y $P_n$.
\end{enumerate}
\fej

\bej Dado un intervalo $[a,b]$, decidir como tienen que estar
distribuidos $n+1$ nodos $x_0 < x_1 < \dots < x_n$ en el intervalo
de modo que exista $x \in [a,b]$ tal que
$$|(x-x_0)\dots (x-x_n)|\sim (b-a)^{n+1}$$
\fej

\bej
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Hallar $n$ de modo que el polinomio $P_n$ que interpola a la
funci\'on $f(x)=e^{2x}$ en los ceros de $T_{n+1}$ verifique que
$\| f-P_n\|_\infty \leq 10^{-2}$ en $[-1,1]$.

\item Repetir el \'{\i}tem anterior para $f(x)=e^{x}$, $x\in
[0,4]$.
\end{enumerate}
\fej

\bej Para $n=5,10,15$; graficar simult\'aneamente  el polinomio
$W_{n+1}(x)=\prod_{i=0}^{n} (x-x_i)$, donde $x_i=-1+2i/n$;
$i=0,\ldots,n$ y el polinomio de Tchebychev $T_{n+1}$.
\fej

\bej Repetir los Ejercicios \ref{runge} y \ref{maseje} usando los
polinomios que interpolan a la funci\'on $f$ en los ceros del
polinomio de Tchebychev de grado $n+1$, para $n=5,10,15$.
\fej

\bej \label{pprima} Utilizar el m\'etodo de coeficientes
indeterminados para hallar un polinomio $p$ de grado 2 que
satisfaga:
\[ p(1)=0,\ \ p'(1)=7,\ \ p(2)=10. \]
\fej

\bej Para ilustrar qu\'e pasa cuando se desea interpolar no
s\'olo una funci\'on sino tambi\'en sus derivadas, consideramos el
problema de hallar $p$ de grado a lo sumo 3 que verifique:

$
\begin{array}{lllll}
\mbox{(a)} &  p(0)=1, & p'(0)=1, & p'(1)=2, & p(2)=1;\\
\mbox{(b)} & p(-1)=1, & p'(-1)=1, & p'(1)=2, & p(2)=1;\\
\mbox{(c)} & p(-1)=1, & p'(-1)=-6, & p'(1)=2, & p(2)=1.
\end{array}
$

Usando el m\'etodo de coeficientes indeterminados, demostrar que
el problema (a) tiene soluci\'on \'unica, el problema (b) no tiene
soluci\'on, y el problema (c) tiene infinitas soluciones.
\fej

\bej Analizar para qu\'e� valores de $x_0,\ x_1,\ x_2$, y
$\alpha_0, \ \alpha_1,\ \alpha_2$ existe un polinomio de grado 2
que satisface:
\[ p(x_0)=\alpha_0, \ p(x_1)=\alpha_1, \ p'(x_2)=\alpha_2.\]
y cu\'ando este polinomio es \'unico.
\fej

%\item Construir la tabla de diferencias divididas para los datos
%del Ejercicio \ref{pprima}, y emplearla para construir el
%polinomio interpolador.

\bej \begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item
Sea $f(x) = \cos(\pi x)$, hallar un polinomio de grado menor o
igual que $3$ que verifique
\[ p(-1)=f(-1), \ p(0)=f(0), \ p(1)=f(1) , \ p'(1)=f'(1).\]
\item
Hallar un polinomio de grado menor o igual que $4$ que verifique
las condiciones del item anterior, m\'as la condici\'on
$$p''(1)=f''(1).$$
\end{enumerate}
\fej

\bej Sea $f:[-1,1]\to\zR$ la funci\'on $f(x)=e^{2x-1}$ y sean
$x_0 <\ x_1<\ldots <x_n$ los ceros del polinomio de Tchebychev,
$T_{n+1}$. Se interpola a $f$ con un polinomio $P$ de grado $\leq
n+1$ de modo que $P(x_0)=f(x_0),\ P(x_1)=f(x_1),\ldots,
P(x_n)=f(x_n)$ y adem\'as $P'(x_n)=f'(x_n)$. Probar que si $n\geq
6$ entonces, el error cometido en la interpolaci\'on sobre el
intervalo $[-1,1]$ es menor que $10^{-3}$.
\fej

\bej Sea $f\in C^2[a,b]$, y sean $x_0=a,x_1=a+h,\ldots,x_n=b$,
donde $h=(b-a)/n$. Considerar la poligonal $l(x)$ que interpola a
$f$ en los puntos $x_i$, $i=0\ldots n$.
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Probar que $$ |f(x)-l(x)|\le \frac{ h^2 }{2} \max_{x\in [a,b]}
|f''(x)|.$$
\item Para los $x\in [a,b]$ tales que $l$ es derivable, probar que
$$|f'(x)-l'(x)|\le  h \max_{x\in [a,b]}
|f''(x)|.$$
\end{enumerate}
\fej


 \end{document}
