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\begin{document}
\large
\centerline{\bf Geometría Proyectiva - Recuperatorio Segundo Parcial}

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\centerline{Segundo cuatrimestre de 2013 (12/12/2013)}

\bigskip

\centerline{\footnotesize{\begin{tabular} [c]{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Nombre y Apellido & L.U. & 1 & 2 & 3
& 4 & Nota\\\hline \hspace{5cm} & \hspace{0.8cm} & \hspace{1.2cm} &\hspace{1.2cm}
&\hspace{1.2cm} &\hspace{1.2cm} &\hspace{1.5cm}
\\ &  &  & & & &
\\\hline
\end{tabular}}}
\centerline{\footnotesize {Justificar todas las respuestas y escribir prolijo. Duraci\'on 4 horas.}}

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\begin{enumerate}


\item Sea $P(t)=a_n t^n + \dots + a_0$ un polinomio de grado $n\geq 1$ (esto es, $a_n \neq 0$).
Definimos $f: S^1 \to S^1$ como
$$f(x,y)= \left\{
\begin{array}{cl}
\varphi \circ P \circ \varphi^{-1} (x,y) & \text{ si } (x,y) \in S^1 \setminus (0,1) \\
(0,1) & \text{ si } (x,y) = (0,1)
\end{array}\right.$$
donde $\varphi(t)=\frac 1 {t^2+1} (2t,t^2-1)$ y $\varphi^{-1}(x,y)=\frac x {1-y}$.
Probar que $f$ es una función diferenciable.


\item Sea $\alpha:I\rightarrow\R^3$ una curva parametrizada por longitud de arco,
con curvatura $\kappa>0$. Sea
$$\varphi(u,v)=\alpha(u)+r({\bf n}(u)\cos v+ {\bf b}(u)\sen v ),$$
donde ${\bf n}$ y ${\bf b}$ es el vector normal y binormal de $\alpha$.
Si $r<1/\kappa$ la imagen de $\varphi$ se llama el tubo de radio $r$ alrededor de $\alpha$,
y para lo que sigue suponemos que el tubo es una superficie y que $\varphi$ es una
parametrización.
\begin{enumerate}
\item Probar que $N(\varphi(u,v))={\bf n}(u)\cos v + {\bf b}(u)\sin v$ es un vector normal unitario en cada punto del tubo.
\item Probar que la curvatura de Gauss del tubo en un punto $\varphi(u,v)$ no depende de $\tau$. Más precisamente,
pruebe que la curvatura de Gauss es igual a 
$$K_S=\frac{\kappa\cos(v)}{(r\kappa\cos(v)-1)r},$$
donde $\kappa$ es la curvatura de $\alpha$ y $\tau$ es su torsión.
\end{enumerate}
{\footnotesize Sugerencia: Para hacer las cuentas utilice una base conveniente.
Por si lo necesita, las ecuaciones de Frenet son las siguientes: ${\bf t}'=\kappa {\bf n}$,
${\bf n}'=-\kappa {\bf t}+\tau{\bf b}$ y ${\bf b}'=-\tau {\bf n}$.}


\item La Cardioide es la curva algebraica $C\subseteq\mathbb{R}^2$ dada por la ecuación,
$$(x^2+y^2-y)^2-x^2-y^2=0.$$
En cada punto singular, calcular su multiplicidad y líneas tangentes en $\R$.

\item Sean $C_F,C_G\subseteq \mathbb{C}^2$ las curvas definidas por
$$F=y^3-x^2-2xy-4y^2+2x+5y-2,\quad G=x^3-3x^2-2xy-y^2+x.$$
En cada punto singular de $C_F$ y $C_G$, calcular su multiplicidad y líneas tangentes en $\C$.
También calcular las líneas asintóticas sobre $\C$.


\end{enumerate}
\end{document}
