\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{color}
\topmargin -1.5cm \oddsidemargin 0.2cm \textheight 24.5cm
\textwidth 16cm
\parindent 0cm

\def\noi{\noindent}
\def\sm {\smallskip}
\def\ms {\medskip}
\def\bs {\bigskip}
\def\Ker {{\rm Ker}}
\def\Im {{\rm Im}}
\def\N {\mathbb{N}}
\def\Z {\mathbb{Z}}
\def\Q {\mathbb{Q}}
\def\R {\mathbb{R}}
\def\C {\mathbb{C}}

\begin{document}
\large
\centerline{\bf Geometría Proyectiva - Recuperatorio Primer Parcial}

\normalsize
\centerline{Segundo cuatrimestre de 2013 (5/12/2013)}

\bigskip

\centerline{\footnotesize{\begin{tabular} [c]{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Nombre y Apellido & L.U. & 1 & 2 & 3
& 4 & 5 & Nota\\\hline \hspace{4cm} & \hspace{0.8cm} & \hspace{1.2cm} &\hspace{1.2cm} &\hspace{1.2cm}
&\hspace{1.2cm} &\hspace{1.2cm} &\hspace{1.3cm}
\\ &  &  & & & & &
\\\hline
\end{tabular}}}
\centerline{\footnotesize {Justificar todas las respuestas y escribir prolijo. Duraci\'on 4 horas.}}

\normalsize
\bigskip

\bigskip


\begin{enumerate}

\item Hallar los valores de $a\in\R$ para que la siguiente cuádrica sea una hipérbola,
%$$3x^2-5y^2-2xy-4x+2+a(x^2-2y^2-xy)=0.$$
$$x^2-y^2-2xy+ax+y=\frac{1}{8}.$$



\item Considere la circunferencia dada por: $$C = \{(x,y)\in \R^2: 5x^2 + 5y^2 -32x -24y +75=0\}$$ y la recta: $$L = \{(x,y)\in \R^2 : 4x +3y= 5\}.$$
Probar que el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son simultaneamente tangentes a $C$ y $L$ es una parábola.



\item Sea $p:I\rightarrow \R^2$ la curva plana dada en forma parámetrica por: 
$$p(t)= (t,bt^2),\quad b\neq0.$$ 
Sea $C(t)$ el círculo que tiene el mayor orden de contacto posible
con la curva $p$ en el punto $p(t)$, pruebe que: $Area(C(t))$ es un polinomio visto como función de $t$, calcúlelo y muestre que tiene un mínimo en $t=0$.



\item Hallar condiciones necesarias y suficientes sobre $f:I\rightarrow\R$ para que la siguiente curva
sea plana, $\alpha:I\rightarrow\R^3$,
$$\alpha(t)=(a\cos(t),a\sin(t),f(t)).$$
A partir de dichas funciones $f$, calcule el vector binormal de la curva en cada punto y el plano que la contiene.

\item Probar que si $\alpha:I\rightarrow\R^3$ es una curva 2-regular, parametrizada por
longitud de arco, y tal que $\alpha(t)$ y $\alpha''(t)$ son vectores paralelos para todo $t\in I$;
entonces la traza de $\alpha$ esta contenida en el circulo de mayor radio de una esfera. Adem\'as calcule el radio de dicho circulo en función 
de la curva $\alpha$.



\end{enumerate}
\end{document}
