\documentclass[a4paper,oneside]{amsart}
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\begin{document}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}
\LARGE \bf \centerline{Geometr\'ia Proyectiva}
\large\sc \centerline{Segundo Cuatrimestre 2013}
\centerline{\sc Superficies}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
\normalsize\rm
\vspace{12pt}


\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Calcule los coeficientes de la primera forma fundamental de las
siguientes superficies param\'etricas, en los puntos regulares.
\begin{enumerate}
\item Elipsoide: $r(u,v)=(a\sin(u)\cos(v),b\sin(u)\sin(v),c\cos(u))$;
\item Paraboloide el\'iptico: $r(u,v)=(au\cos(v),bu\sin(v),u^2)$;
\item Paraboloide hiperb\'olico: $r(u,v)=(au\cosh(v),bu\sinh(v),u^2)$;
\item Hiperboloide: $r(u,v)=(a\sinh(u)\cos(v),b\sinh(u)\sin(v),c\cosh(u))$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determine los coeficientes de la primera forma fundamental de la
esfera $S^2$ en la  parametrizaci\'on dada por la proyecci\'on estereogr\'afica.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item  Sea $\alpha: I \to \RR^2$ una curva plana. Definimos el cilindro y el cono sobre $\alpha$ de la siguiente manera
\begin{itemize}
\item $Cil_{\alpha}(u,v)=(\alpha_1(u),\alpha_2 (u),v),\quad (u,v) \in I \times \RR\subseteq\RR^2 $.
\item $Con_{\alpha}(u,v)=(v \alpha_1(u), v\alpha_2(u),v),\quad (u,v) \in  I \times \RR\subseteq\RR^2$.
\end{itemize}
Demostrar que ambas superficies son localmente isom\'etricas al plano (en los puntos regulares).

{\footnotesize Sugerencia: Para el caso del cono, considerar la curva plana en $z=1$ y luego normalizarla.
Chequear que el cono obtenido es el mismo que se obtiene sin normalizar.}


%%%%%%%%%%%%%%%
\item Decimos que las curvas coordenadas de una parametrizaci\'on $r(u,v)$
forman una \emph{red de Tchebyshev} si las longitudes de los lados opuestos
de cualquier cuadril\'atero formado por ellas son iguales.
Una condici\'on necesaria y suficiente para esto es que
  \[
  \frac{\partial E}{\partial v}=\frac{\partial G}{\partial u}=0.
  \]
Demostrar que si las curvas coordenadas de una parametrizaci\'on forman una red de
Tchebyshev, entonces es posible reparametrizar el entorno coordenado de
modo que los nuevos coeficientes de la primera forma fundamental sean
  \[
  E=1, \qquad F=\cos\theta, \qquad G=1,
  \]
donde $\theta $ es el \'angulo entre las curvas coordenadas.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Toda superficie de revoluci\'on puede ser reparametrizada de manera que
los coeficientes de la primera forma fundamental sean
  \[
  E=E(v), \qquad F=0, \qquad   G=1.
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%
\item En un punto hiperb\'olico, las direcciones principales bisectan las direcciones asint\'oticas.\\
{\footnotesize Sugerencia: Analizar la indicatriz de Dupin.}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si una superficie $S$ es tangente a un plano $P$ a lo largo de una
curva $C \subset S$, entonces los puntos de $C$ son puntos planares o
parab\'olicos de $S$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Describa las regiones de $S^2$ cubiertas por la aplicaci\'on de Gauss
de las siguientes superficies:
\begin{enumerate}
\item Paraboloide de revoluci\'on: $z=x^2+y^2$;
\item Hiperboloide de revoluci\'on: $x^2+y^2-z^2=1$;
\item Catenoide: $x^2+y^2=\cosh ^2(z)$.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $\lambda_1$, \dots, $\lambda_m$ son las curvaturas normales en un
punto $p$ de una superficie $S$ en direcciones que forman \'angulos
de $0$,  $2\pi/m$, \dots, $2(m-1) \pi/m$ respectivamente con una direcci\'on
principal, entonces $\lambda_1+ \dots +\lambda_m = m H$, con $H$ la
curvatura media en $p$.\\
{\footnotesize Sugerencia: Use el teorema de Euler.}



%%%%%%%%%%%%%%%
\item Encuentre expresiones para la primera y segunda forma fundamental,
para la curvatura de Gauss y la media, y estudie las direcciones
principales en
\begin{enumerate}

\item una superficie reglada, y

\item en una superficie dada en forma impl\'icita $f(x,y,z)=0$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determine las curvas asint\'oticas y las  l\'ineas de curvatura de la superficie
  \[
  z=xy.
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{enumerate}

\item Determine una ecuaci\'on para la curva plana $C$ que tiene la propiedad de
que la longitud del segmento de la recta tangente entre el punto de
tangencia y la intersecci\'on con una recta $L \subset \RR^2$ que no corta la
curva es constantemente 1. Esta curva es la \emph{tractriz}.

\item Por rotaci\'on de la tractriz alrededor de la recta $L$ se obtiene una
superficie $S$, que llamamos \emph{pseudoesfera}. Determine si $S$ es una
superficie regular y encuentre una parametrizaci\'on en un entorno de un punto
regular. Muestre que la curvatura de Gauss en todo tal punto es $-1$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $\phi:(0,2\pi)\to\RR$ y $\psi:(a,b)\to\RR$ dos funciones y supongamos que
  \[
  r(u,v)=(\phi (v)\cos (u),\phi (v)\sin (u),\psi (v))
  \]
es una parametrizaci\'on de una superficie de revoluci\'on con curvatura
Gaussiana constante $k$. Supongamos adem\'as que $\phi'^2+\psi'^2=1$.
Muestre que entonces
  \begin{gather*}
  \phi'' + k\phi =0.
  \end{gather*}
Rec\'iprocamente, muestre que para cada $k\in\RR$ existe una
superfice de revoluci\'on con curvatura de Gauss constante igual a $k$. Cu\'antas hay?

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Todas las superficies de revoluci\'on con curvatura constante $k=1$ que
intersecan perpendicularmente el plano $xy$ est\'an dadas por
  \[
  \left\{
    \begin{aligned}
    &\phi (v)=C\cos v, \\
    &\psi (v)=\int_0^v\sqrt{1-C^2\sin^2t}\dd t
    \end{aligned}
  \right.
  \]
para alguna constante $C$. Determine el dominio de $v$ y haga un gr\'afico de
la curva cortada en el plano $xz$ cuando $C=1$, $C>1$ o $C<1$. Qu\'e superficie obtenemos cuando $C=1$?

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Todas las superficies de revoluci\'on con curvatura constante $k=-1$
son de uno de los siguientes tipos:
  \begin{gather*}
  \left\{
    \begin{aligned}
    &\phi (v)=C\cosh v, \\
    &\psi (v)=\int_0^v\sqrt{1-C^2\sinh ^2t}\dd t;
    \end{aligned}
  \right.
  \\[7pt]
  \left\{
    \begin{aligned}
    &\phi (v)=C\sinh v, \\
    &\psi (v)=\int_0^v\sqrt{1-C^2\cosh ^2t}\dd t;
    \end{aligned}
  \right.
  \\[7pt]
  \left\{
    \begin{aligned}
    &\phi (v)=e^v, \\
    &\psi (v)=\int_0^v\sqrt{1-e^{2t}}\dd t.
    \end{aligned}
  \right.
  \end{gather*}
Determine el dominio de $v$ y haga gr\'aficos de las intersecciones de estas
superficies con el plano $xz$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Las \'unicas superficies de revoluci\'on con curvatura constante nula
son el cilindro circular recto, el cono circular recto y el plano.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Los puntos en la superficie obtenida por la rotaci\'on de la curva $y=x^2-1$
alrededor del eje $x$, son puntos parab\'olicos.


\end{enumerate}


\end{document}
