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\begin{document}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}
\LARGE \bf \centerline{Geometr\'ia Proyectiva}
\large\sc \centerline{Segundo Cuatrimestre 2013}
\centerline{\sc Subvariedades de $\RR^n$}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
\normalsize\rm
\vspace{12pt}


{\bf Recordar:} Sean $M\subseteq\RR^n$ un subconjunto y $d\in\NN_0$. Las siguientes dos
condiciones son equivalentes:
\begin{enumerate}

\item[a)] Para cada punto $x\in M$ existen abiertos $U$,$V\subseteq\RR^n$
y un difeomorfismo $h:U\to V$ tales que $x\in U$ y
  \[
  h(U\cap M)
        = V\cap(\RR^d\times0^{n-d})
        = \{y\in V:y_{d+1}=\cdots=y_n=0\}.
  \]

\item[b)] Para todo punto $x\in M$ existen abiertos $U\subseteq\RR^n$ y
$W\subseteq\RR^d$ y una funci\'on diferenciable inyectiva $\phi:W\to\RR^n$ tales
que
  \begin{gather*}
  x\in U, \qquad  \phi(W)=M\cap U, \\
  \text{$\phi'(y)$ tiene rango $d$ para todo $y\in W$,}\quad
  \text{$\phi^{-1}:\phi(W)\to W$ es continua.}
  \end{gather*}
A la función lineal $\phi'(y)$ también se la denota $d\phi(y)$.
\end{enumerate}
Cuando se cumplen, decimos que $M$ es una \emph{subvariedad de dimensi\'on $d$
de $\RR^n$}.

Si $x\in M$, $W\subseteq\RR^d$ y $\phi:W\to\RR^n$ satisfacen las
condiciones de (\emph{ii}), decimos que $(\phi,W)$ es una \emph{parametrizaci\'on
regular de $M$ alrededor de $x$} o un \emph{sistema de coordenadas de $M$ alrededor de $x$}.\\
\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}
\bigskip

\begin{enumerate}

%\begin{Solucion}
%\implicacion[roman]{1}{2} Sea $x\in M$. Sean $U$, $V\subseteq\RR^n$ y
%$h:U\to V$ como en \tfaeitem{1}. Consideremos las funciones $q:\RR^d \to \RR^n$
%y $p:\RR^n\to\RR^d$  tales que
%$q(x_1,\dots,x_d)=(x_1,\dots,x_d,0,\dots,0)$ para cada
%$(x_1,\dots,x_d)\in\RR^d$ y
%$p(x_1,\dots,x_n)=(x_1,\dots,x_d)$ para cada $(x_1,\dots,x_n)\in\RR^n$.
%Como $q$ es continua, $W=q^{-1}(V)\subseteq\RR^d$ es un abierto de $\RR^d$.
%Sea $\phi:W\to \RR^n$ la composici\'on
%  \[\xymatrix{
%  W \ar[r]^-{q|_W}
%    & V \ar[r]^-{h^{-1}}
%    & U\; \ar@{^(->}[r]^-i
%    & \RR^n
%  }\]
%Como por un lado $q$ y la inclusi\'on $i:U\hookrightarrow\RR^n$ son evidentemente
%inyectivas y $h^{-1}:V\to U$ es biyectiva, y por otro las tres funciones
%son diferenciables, vemos que $\phi$ es inyectiva y diferenciable. Sabemos
%que $x\in U$. La imagen de $q$ es $\RR^d\times0^{n-d}$, as\'i que
%$q(W)=V\cap(\RR^k\times0^{n-d})$ y $h^{-1}(q(W))=U\cap M$: esto nos dice
%que $\phi(W)=U\cap M$. La diferencial de $q$ es inyectiva en cada punto
%de $W$, y las diferenciales de $h^{-1}$ y de $i$ son isomorfismos, as\'i que
%la diferencial de $\phi$ es inyectiva en cada punto de $W$ y, en
%particular, tiene rango $d$ en cada uno de ellos. Finalmente, si
%$y\in\phi(W)=U\cap M$, es inmediado que $\phi(p(h(y))=y$, as\'i que
%$\phi^{-1}(y)=p(h(y))$: esto nos dice que $\phi^{-1}:\phi(W)\to W$ es la
%restricci\'on a $U\cap M$ de la funci\'on $p\circ h:U\to\RR^d$, que es
%continua. As\'i, $U$, $W$ y $\phi$ satisfacen las condiciones
%de \tfaeitem{2}.
%
%\implicacion[roman]{2}{1} Sea $x\in M$ y sean $U\subseteq\RR^n$,
%$W\subseteq\RR^d$ y $\phi:W\to\RR^n$ como en \tfaeitem{2}. Es claro que
%existe $y_0\in W$ tal que $\phi(y_0)=x$. Como $\phi'(y_0)$ tiene rango $d$,
%el conjunto de vectores $\B_1=\{\phi'(y_0)(e_i):1\leq i\leq
%k\}\subseteq\RR^n$ es linealmente independiente, as\'i que otro conjunto de
%vectores $\B_2=\{v_1,\dots,v_{n-d}\}$ tal que $\B_1\cup\B_2$ es una base
%de $\RR^n$. Consideremos la funci\'on $\psi:W\times\RR^{n-d}\to\RR^n$ tal que
%  \[
%  \psi(w,\lambda_1,\dots,\lambda_{n-d})
%        = \phi(w)+\sum_{i=1}^{n-d}\lambda_iv_i.
%  \]
%para cada $w\in W$ y cada $(\lambda_1,\dots,\lambda_{n-d})\in\RR^{n-d}$.
%Es claro que $\psi$ es diferenciable en su dominio (que est\'a contenido
%en $\RR^n$) y que para cada $i\in\{1,\dots,n\}$ es
%  \[
%  \psi'(y_0,0,\dots,0)(e_i) =
%        \begin{cases}
%        \phi'(y_0)(e_i), & \text{si $1\leq i\leq d$;} \\
%        v_{i-d}, & \text{si $d<i\leq n$.}
%        \end{cases}
%  \]
%Esto nos dice que $\psi'(y_0,0\dots,0):\RR^n\to\RR^n$ tiene rango $n$, as\'i
%que el teorema de la funci\'on inversa nos dice que existen abiertos
%$U'$, $V'\subseteq\RR^n$ tales que $(y_0,0,\dots,0)\in V'\subseteq
%W\times\RR^{n-d}$ y la restricci\'on $g=\psi|_{V'}^{U'}:V'\to U'$ es un
%difeomorfismo. Existen un abierto $V''_1\subseteq\RR^d$ y $\eps>0$ tales
%que si ponemos $V''=V''_1\times(-\eps,\eps)^{n-d}$ entonces
%$(y_0,0,\dots,0)\in V''\subseteq V'$. Como $g$ es un difeomorfismo, el
%conjunto $U''=g(V'')$ es un abierto.
%
%Sea $h=g^{-1}|_{U''}^{V''}:U''\to V''$, que es un difeomorfismo. Como $(y_0,0,\dots,0)\in V''$,
%tenemos que $x=\psi(y_0,0,\dots,0)\in U''$. Para terminar, tenemos que
%mostrar que $h(U''\cap M)=V''\cap(\RR^d\times0^{n-d})$. Notemos que el
%miembro derecho de esta igualdad es, en vista de la forma especial que
%tiene el abierto $V''$, igual a $V_1''\times0^{n-d}$; por otro lado, para
%ver que $h(U''\cap M)=V''\cap(\RR^d\times0^{n-d})$ alcanza con mostrar que
%$U''\cap M=\psi(V''_1\times0^{n-d})$, y esto es inmediato. \qed
%\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $M\subseteq\RR^n$ es una subvariedad de dimensi\'on $d$ y
$N\subseteq M$ es un abierto relativo, entonces $N$ es una subvariedad
de $\RR^n$ de dimensi\'on $d$.

%\begin{Solucion}
%Sea $x\in N$. Como $x\in M$, existen abiertos $U\subseteq\RR^n$ y
%$W\subseteq\RR^d$ y una funci\'on diferenciable e inyectiva $\phi:W\to\RR^n$
%tales que $x\in U$, $\phi(W)=M\cap U$, $\phi'(y)$ tiene rango $d$ para todo
%$y\in W$ y $\phi^{-1}:\phi(W)\to W$ es continua.
%
%Como $N$ es un abierto de $M$, existe un abierto $U'\subseteq\RR^n$ tal que
%$M\cap U'\subseteq N$ y $x\in U'\subseteq U$. El conjunto $W'=\phi^{-1}(U')$ es un
%abierto de $\RR^d$. Es claro que $\psi=\phi|_{W'}:W'\to\RR^n$ es una funci\'on
%diferenciable e inyectiva cuya diferencial tiene rango $d$ en cada punto
%de $W'$ y que $\psi^{-1}:\phi|_{W'}(W')\to W'$ es continua, ya que
%es la restricci\'on de $\phi^{-1}:\phi(W)\to W$ a $W'$. Finalmente, es
%$\psi(W')=M\cap U'$: que $\psi(W')\subseteq M\cap U'$ es consecuencia de la
%elecci\'on de $W'$ y de que $\phi(W)\subseteq M$ y, rec\'iprocamente, si $y\in
%M\cap U'$, entonces como $\phi(W)=M\cap U\supseteq M\cap U'$, existe $w\in
%W$ tal que $\phi(w)=y$, y como $y\in U'$, $w\in W'$, as\'i que
%$y\in\phi(W')=\psi(W')$. Esto muestra que $N$ es una subvariedad de
%dimensi\'on $d$ de $\RR^n$, como quer\'iamos. \qed
%\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
%\item Sea $U\subseteq\RR^n$ un abierto, sea $d\in\{0,\dots,n\}$ y sea
%$f:U\to\RR^{n-d}$ una funci\'on diferenciable que tiene a $0\in\RR^{n-d}$
%en su imagen. Si para cada
%$x\in f^{-1}(0)$ el rango de $f'(x)$ es $n-d$, entonces el conjunto
%$M=f^{-1}(0)$ es una subvariedad de $\RR^n$ de dimensi\'on $d$.

%\begin{Solucion}
%Sea $x_0\in M$. Por hip\'otesis, la aplicaci\'on lineal
%$f'(x_0):\RR^n\to\RR^{n-d}$ tiene rango $n-d$, as\'i que ---sin p\'erdida de
%generalidad--- podemos suponer que
%  \begin{equation} \label{eq:claim}
%  \claim{el conjunto $\{f'(x_0)(e_i):1\leq i\leq n-d\}$ es linealmente independiente.}
%  \end{equation}
%Identifiquemos a $\RR^n$ con $\RR^{n-d}\times\RR^d$ y sean
%$y_0\in\RR^{n-d}$ y $z_0\in\RR^d$ tales que $x_0=(y_0,z_0)$. Como
%$f(y_0,z_0)=0$ y vale \eqref{eq:claim}, el teorema de la funci\'on
%implicita nos dice que existe un abierto $W\subseteq\RR^d$ que contiene
%a $z_0$, un abierto $V\subseteq\RR^{n-d}$ que contiene a $y_0$ y una funci\'on
%diferenciable $\psi:W\to\RR^{n-d}$ con imagen contenida en $V$ tales que
%$\psi(z_0)=x_0$ y
%  \begin{equation}\label{eq:fzw}
%  \claim{para todo $z\in W$ es $\psi(z)$ el Ãºnico elemento $y\in V$ tal que $f(y,z)=0$.}
%  \end{equation}
%Sea ahora $\phi:W\to\RR^n$ tal que $\phi(z)=(\psi(z),z)$ para cada $z\in W$
%y sea $U=V\times W$. Es inmediato que $\phi$ es una funci\'on diferenciable e
%inyectiva. Si $z\in W$, entonces $\phi'(z)(e_i)=e_{n-d+i}$ si $1\leq i\leq
%d$, as\'i que $\phi'(z):\RR^d\to\RR^n$ tiene rango $d$.
%
%La condici\'on \eqref{eq:fzw} implica que si $z\in W$, entonces
%$f(\phi(z))=f(\psi(z),z)=0$, as\'i que $\phi(z)=(\psi(z),z)\in M\cap U$. Rec\'iprocamente,
%si $x=(x_1,\dots,x_n)\in M\cap U$ y ponemos $y=(x_1,\dots,x_d)$ y $z=(x_{d+1},\dots,x_n)$,
%entonces $y\in V$, $z\in W$ y $f(y,z)=0$, as\'i que la condici\'on \eqref{eq:fzw} nos dice que $y=\psi(z)$
%y, en consecuencia, que $x=\phi(z)$. Concluimos as\'i que $\phi(W)=M\cap U$.
%Para terminar, observemos que la funci\'on $\phi^{-1}:\phi(W)\to W$ es la
%restricci\'on de la proyecci\'on $\RR^n\to\RR^d$ en las Ãºltimas
%$d$ coordenadas, as\'i que es continua. \qed
%\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
%\item\begin{enumerate}
%
%\item Si $M\subseteq\RR^n$ es una subvariedad de dimensi\'on $d$ y $x\in M$,
%entonces existe un abierto $U\subseteq\RR^n$ tal que $x\in U$ y una
%funci\'on diferenciable $f:U\to\RR^{n-d}$ tal que $M\cap U=f^{-1}(0)$ y
%para cada $y\in M\cap U$ el rango de $f'(y)$ es $n-d$.
%
%\item Muestre que la conclusi\'on de la parte anterior no es v\'alida
%globalmente. Para ello, exhiba $n\geq1$, $d\in\{1,\dots,n\}$ y una
%subvariedad $M\subseteq\RR^n$ de dimensi\'on $d$ tal que no existen un
%abierto $U\subseteq\RR^n$ y una funci\'on diferenciable $f:U\to\RR^{n-d}$ tal
%que $M\subseteq U$, $M=f^{-1}(0)$ y $f'$ tiene rango $n-d$ en cada punto
%de $M$.
%
%\end{enumerate}

%\begin{Solucion}
%\ejitem{1} Sea $x\in M$. Existen abiertos $U$, $V\subseteq\RR^n$ y un
%difeomorfismo $h:U\to V$ tales que $x\in U$ y
%  \begin{equation}\label{eq:um}
%  h(M\cap U)=V\cap(\RR^d\times0^{n-d}).
%  \end{equation}
%Sea $p:\RR^n\to\RR^{n-d}$ la proyecci\'on en las Ãºltimas $n-d$ coordenadas y
%sea $f=p\circ h:U\to\RR^{n-d}$. De acuerdo a \eqref{eq:um}, es inmediato
%que $f^{-1}(0)=M\cap U$. Si $y\in M\cap U$, entonces $h'(y):\RR^n\to\RR^n$
%es un isomorfismo y $p'(h(y)):\RR^n\to\RR^{n-d}$ tiene rango $n-d$, de
%manera que $f'(y)=p'(h(y))\circ h'(y)$ tiene rango $n-d$.
%
%\ejitem{2} Consideremos la funci\'on
%  \[
%  \phi:(t,\theta)\in(-1,1)\times\RR
%        \longmapsto
%        \bigl((2+t\cos\tfrac12\theta)\cos\theta, (2+t\cos\tfrac12\theta)\sin\theta,
%        t \sin\tfrac12\theta\bigr)\in\RR^3.
%  \]
%Sea $M=\phi\bigl((-1,1)\times\RR\bigr)\subseteq\RR^3$. Veamos que se trata de una
%superficie.
%
%Sean $(t,\theta_0)\in(-1,1)\times\RR$ y
%$p=\phi(t,\theta_0)\in M$. Consideremos el abierto
%  \[
%  W=(-1,1)\times(\theta-\tfrac12\pi,\theta_0+\tfrac12\pi)
%  \]
%y sea $\psi=\phi|_W:W\to\RR^3$.
%
%\begin{itemize}
%
%\item Si $(t,\theta)\in(-1,1)\times\RR$ y $(x,y,z)=\phi(t,\theta)$,
%es
%  \begin{align*}
%  &t\cos\tfrac12\theta=\sqrt{x^2+y^2}-2,
%  &&t\sin\tfrac12\theta=z.
%  \end{align*}
%Se sigue de esto que $\psi$ es inyectiva y que
%$\psi^{-1}:\psi(W)\to W$ es continua.
%
%\item Por otro lado, un c\'alculo directo muestra que
%  \[
%  \norm*{\frac{\partial\phi}{\partial t}\wedge\frac{\partial\phi}{\partial\theta}}^2
%        = t^2 \left(\tfrac12\cos\theta+\tfrac{3}{4}\right)
%          +4 t \cos\tfrac12\theta+4.
%  \]
%El discriminante de este polinomio en $t$ es $\Delta=-4$, as\'i que no se anula nunca.
%Esto implica que $\psi'$ tiene rango $2$ en cada punto de $W$.
%
%\item Finalmente, si $U=\{(x,y,z)\in\RR^3:x\cos\theta_0+y\sin\theta_0>0\}$,
%que es un abierto de $\RR^3$, entonces $\phi(W)=M\cap U$.
%
%\end{itemize}
%Esto prueba que $\psi$ es una parametrizaci\'on regular de $M$ cerca de $p$.
%
%Supongamos ahora que existe un abierto $V\subseteq\RR^3$ y una funci\'on
%diferenciable $f:U\to\RR$ tales que $M\subseteq V$, $M=f^{-1}(0)$ y $\nabla
%f\neq0$ en todo punto de $M$. Para cada $(t,\theta)\in(-1,1)\times\RR$, el
%vector $\nabla f(\phi(t,\theta))$ es ortogonal a $\frac{\partial\phi}{\partial t}(t,\theta)$
%y a $\frac{\partial\phi}{\partial\theta}(t,\theta)$, as\'i que existe un
%escalar $\lambda(t,\theta)$ tal que
%  \[
%  \nabla f(\phi(t,\theta))
%        = \lambda(t,\theta)\: \frac{\partial\phi}{\partial t}\wedge\frac{\partial\phi}{\partial\theta},
%  \]
%y es claro que de esta forma obtenemos una funci\'on
%$\lambda:(-1,1)\times\RR\to\RR$ que es continua y que no cambia de signo.
%Evaluando $\frac{\partial\phi}{\partial
%t}\wedge\frac{\partial\phi}{\partial\theta}$ en $(0,0)$ y en $(0,2\pi)$
%obtenemos los vectores $(0,0,2)$ y $(0,0,-2)$, pero
%
%Como $\phi(0,0)=\phi(0,2\pi)$, es
%  \begin{align*}
%  (0,0,2)
%       &= \left(
%                \frac{\partial\phi}{\partial t}\wedge\frac{\partial\phi}{\partial\theta}
%          \right)\Bigm|_{(t,\theta)=(0,0)}
%        = \nabla f(\phi(0,0))
%        = \nabla f(\phi(0,2\pi)) \\
%       &= \left(
%                \frac{\partial\phi}{\partial t}\wedge\frac{\partial\phi}{\partial\theta}
%          \right)\Bigm|_{(t,\theta)=(0,2\pi)}
%        = (0,0,-2),
%  \end{align*}
%y esto es absurdo. \qed
%\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%


\item Sea $M\subseteq\RR^n$ una subvariedad de dimensi\'on $d$ y sea
$f:M\to\RR$ una funci\'on arbitraria. Las siguientes condiciones son
equivalentes:
\begin{enumerate}%[label=(\emph{\roman*})]

\item Para cada $x\in M$ existe un abierto $U\subseteq\RR^n$ y una funci\'on
diferenciable $g:U\to\RR$ tales que $x\in U$ y $g|_{U\cap M}=f$.

\item Para cada $x\in M$ existe una parametrizaci\'on regular $\phi:W\to M$ de $M$ alrededor
de $x$ tal que la composici\'on $f\circ\phi:W\to\RR$ es diferenciable,

\item Para cada $x\in M$ y cada parametrizaci\'on regular $\phi:W\to M$ de $M$ alrededor
de $x$, la composici\'on $f\circ\phi:W\to\RR$ es diferenciable,

\end{enumerate}
Cuando estas condiciones se cumplen, decimos que $f$ es
\emph{diferenciable}.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $M\subseteq\RR^m$ y $N\subseteq\RR^n$ son subvariedades y $f:M\to
N$ es una funci\'on, decimos que $f$ es \emph{diferenciable} si para cada
$i\in\{1,\dots,n\}$ la composici\'on $p_i\circ f:M\to\RR$ de $f$ con la
proyecci\'on $i$-\'esima $p_i:\RR^n\to\RR$ es diferenciable.

Muestre que si $M\subseteq\RR^m$, $N\subseteq\RR^n$ y $P\subseteq\RR^p$
son subvariedades y $f:M\to N$ y $g:N\to P$ son funciones diferenciables,
entonces $g\circ f:M\to P$ es tambi\'en diferenciable.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%
%\item Sea $M\subseteq\RR^n$ una subvariedad de dimensi\'on $d$ y sea $x\in
%M$. Si $f:W\to\RR^n$, con $W\subseteq\RR^d$, es una parametrizaci\'on regular
%de $M$ alrededor de $x$ y $w\in W$ es tal que $f(w)=x$, entonces el
%subespacio vectorial $T_xM=f'(w)(\RR^d)\subseteq\RR^n$ depende solamente
%de $M$ y de $x$. Llamamos a $T_xM$ el \emph{espacio tangente a $M$ en $x$}.
%
%Para verificar esto, muestre que $T_xM$ es el conjunto de vectores
%$v\in\RR^n$ tales que existe $\eps>0$ y una funci\'on diferenciable
%$\alpha:(-\eps,\eps)\to\RR^n$ con imagen en $M$ y tal que $\alpha(0)=x$ y
%$\alpha'(0)=v$.
%
%%%%%%%%%%%%%%%%
%\item Sean $M\subseteq\RR^m$ y $N\subseteq\RR^n$ subvariedades y sea $f:M\to
%N$ es una funci\'on diferenciable. Si $x\in M$, defina la funci\'on lineal \emph{diferencial de $f$ en $x$},
%  \(
%  f'(x):T_xM\to T_{f(x)}M
%  \)
%y pruebe la \emph{regla de la cadena} para funciones entre subvariedades.


\item
Sean  $(W_1, \phi_1)$ y $(W_2, \phi_2)$ dos sistemas de coordenadas de $M$ tales que
$U = \phi_1(W_1) \cap \phi_2(W_2) \ne \emptyset$. Demostrar que
$$\phi_2^{-1} \circ \phi_1: \phi_1^{-1}(U) \to \phi_2^{-1}(U)$$
es un difeomorfismo entre abiertos de $\R^d$.
%{\em Sugerencia: Utilizar el teorema de la funci\'on impl\'icita.}

\item Sea $f:\RR^n\to\RR^m$ una funci\'on continua y sea
$\Gamma_f=\{(x,f(x))\in\RR^{n+m}:x\in\RR^n\}$ su gr\'afico. Entonces
$\Gamma_f$ es una subvariedad de $\RR^{n+m}$ de dimensi\'on $n$ si y solamente si $f$ es
diferenciable.

%\begin{Solucion}
%Supongamos primero que $f$ es diferenciable, sea $W=\RR^n$ y consideremos
%la funci\'on $\phi:x\in W\mapsto(x,f(x))\in\RR^{n+m}$ y el abierto $U=\RR^n$
%de $\RR^n$. Es claro que $\phi$ es diferenciable e inyectiva, que
%$\Gamma_f\subseteq U$ y que $\phi(\RR^n)=\Gamma_f\cap U$. La funci\'on
%inversa $\phi^{-1}:\phi(W)\to W$ es continua, porque es la restricci\'on
%a $\Gamma_f=\phi(W)$ de la proyecci\'on $\RR^{n+m}\to\RR^n$ en las
%primeras $n$ coordenadas. Finalmente, si $x\in W$, es $\phi'(x)(e_i)=e_i$
%para cada $i\in\{1,\dots,n\}$, as\'i que $\phi'(x)$ tiene rango $n$. As\'i,
%vemos que $\Gamma_f$ es una subvariedad de $\RR^{n+m}$ de
%dimensi\'on $n$. \qed
%\end{Solucion}

\item
Sea $x \in M \subseteq\RR^n$ un punto y
$(W,   \phi)$ un sistema de coordenadas con $x \in \phi(W)$.
Sea $w \in W$ el \'unico punto tal que $x = \phi(w)$.
Consideramos la derivada
$d\phi(w): \R^d \to \R^n$ y definimos el espacio tangente
a $M$ en $x$ como el subespacio lineal de $\R^n$
$$TM(x) = d\phi(w)(\R^d)$$
Demostrar que si $x = \psi(v)$ donde $(V,   \psi)$
es otro sistema de coordenadas de $M$ entonces
$$d\phi(w)(\R^d) = d\psi(v)(\R^d)$$
de modo que $TM(x)$ es independiente del sistema de coordenadas elegido.

\item
Sean $X \subset \R^m$ e $Y \subset \R^n$ subvariedades
diferenciales de respectivas dimensiones $d$ y $e$.
Sean $f: X \to Y$ una funci\'on diferenciable,
$x_0 \in X$, $U \subset \R^m$ abierto con $x_0 \in U$ y $F: U \to \R^n$ diferenciable
tal que $F$ y $ f$ coinciden en $X \cap U$.
Demostrar que la derivada $dF(x_0): \R^m \to \R^n$
satisface $dF(x_0)(TX(x_0)) \subset TY(F(x_0))$ y por lo tanto induce
por restricci\'on una aplicaci\'on lineal
$TX(x_0) \to TY(f(x_0))$ que denotamos $df(x_0)$. Demostrar que  $df(x_0)$
no depende de la $F$ elegida como extensi\'on de $f$.
Describir  $df(x_0)$ en t\'erminos de la derivada de una expresi\'on local de $f$.
Demostrar que si $Z \subset \R^p$ es otra subvariedad y $g: Y \to Z$
es diferenciable entonces $d(g \circ f)(x_0) = dg(f(x_0)) \circ df(x_0)$
(regla de la cadena).



\item
Sea $X \subset \R^m$ un subconjunto y sean $d, e$ n\'umeros naturales.
Supongamos que existen dos colecciones de sistemas de coordenadas para $X$, uno de dimensión $d$ y otro de dimensión $e$.
Demostrar que $d = e$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\item Probar que $S^1 \subset \R^2$ es una subvariedad diferencial de $\R^2$ de dimensión 1.

\item Sea
$f:  \R \times (-1,1) \to \R^3$
definida por
\[
f(u,v)= \left (\left(1+\frac{1}{2}v \cos \frac{1}{2}u\right)\cos u,
\left(1+\frac{1}{2}v\cos\frac{1}{2}u\right)\sin u,
\frac{1}{2}v\sin \frac{1}{2}u \right)
\]
Probar que $M=Im(f)$ es una subvariedad de dimensión 2 de $\R^3$. Es la cinta de Möbius.

(Sugerencia: considerar las restricciones de $f$ a los conjuntos $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} )\times (-1,1)$, $(0,\pi)\times (-1,1)$, $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \times (-1,1)$ y $(\pi,2\pi) \times (-1,1)$.)



%\item
%Sean $X \subset \R^m$ e $Y \subset \R^n$ subvariedades
%diferenciales de respectivas dimensiones $d$ y $e$.
%Sea $f: X \to Y$ una funci\'on continua.
%% hay que pedir f definida y continua en un entorno de X ?
%Demostrar que las siguientes condiciones son equivalentes:
%\begin{enumerate}
%\itemsep=1ex
%\item
%Para todo $x_0\in X$ existen $x_0\in U\subset\R^m$ abierto y $F: U \to \R^n$ diferenciable tales que $F(x)=f(x)$ para todo $x\in X\cap U$.
%\item
%Para todo sistema de coordenadas $(U,  \varphi)$ de $X$
%la composici\'on $f \circ \varphi: U \to \R^n$ es diferenciable.
%\item
%Para todo sistema de coordenadas $(U,   \varphi)$ de $X$
%y para todo sistema de coordenadas $(V,  \psi)$ de $Y$ la {\bf expresi\'on local}
%$\psi^{-1} \circ f \circ \varphi: A \to B$ es una funci\'on diferenciable,
%donde $A \subset \R^d$ y $B \subset \R^e$ son ciertos abiertos.
%\end{enumerate}

\item Sea $f:S^1 \to M$ (donde $M$ es la cinta de Möbius)
definida por $f(x,y)=(x,y,0)$ para $(x,y) \in S^1$. Probar que $f$ es diferenciable.




\item
Sean $U \subset \R^m$ un abierto, $q \le m$ y
$F: U \to \R^q$  una funci\'on diferenciable tales que
$0 \in \R^q$ es un valor regular de $F$
(o sea, para todo $x \in U$ tal que $F(x) = 0$
vale que $dF(x): \R^m \to \R^q$ es sobreyectiva).
Sea $X = F^{-1}(0)$. Demostrar:
\begin{enumerate}
\itemsep=1ex
\item $X$ es una subvariedad diferencial de dimensi\'on $d = m - q$.\\
En el caso $q=1$ decimos que $X$ es la hipersuperficie definida por $F$.
\item $TX(x) = \text {ker } dF(x) $, para todo $x \in X$.
O sea, escribiendo $F = (F_1, \dots, F_q)$ se tiene
\[
TX(x) = \left \{y \in \R^m : \; \sum_j \frac{\partial F_i(x)}{\partial x_j} \   y_j = 0, \forall i \right\}
\]
\item Sea  $V \subset \R^m$  un abierto y $F: V \to \R^q$ una funci\'on diferenciable.
Consideramos el conjunto $ F^{-1}(0) \subset V$.
Sea $S(F) \subset V $ el conjunto de puntos singulares de $F$
(o sea, puntos donde la derivada de $F$ no es sobreyectiva).
Demostrar que $S(F)$ es un cerrado y que $X =  F^{-1}(0) - S(F)$
(si es no-vac\'io) es una subvariedad de dimensi\'on $m-q$.
\item Para todo  $x \in V$ definimos $TF(x) = \text {ker } dF(x)$;
 es un subespacio vectorial de $\R^m$ de  dimensi\'on $\ge m-q$.
Si $x \in X =  F^{-1}(0) - S(F)$ entonces $TF(x)$
tiene  dimensi\'on $m-q$ y $TF(x) = TX(x)$.\\
{\em Sugerencia: Utilizar el teorema de la funci\'on impl\'icita.}
\end{enumerate}

\item Sea $S=\{(x,y,x)/x^2+y^2+z^2=1\}$. Probar que $S$ es una subvariedad diferencial de dimensión 2.
Calcular su espacio tangente en el punto $(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$.

\item Sea $F$ una cuádrica sin puntos singulares (esto es, de tipo $B$ o $C$).
Probar que el conjunto
$$\{x \in \R^n : \; F(x)=0\}$$
es una subvariedad diferencial de dimensión $n-1$.



\item
Sea $U \subset \R^d$ un abierto conexo y sea $\varphi: U \to \R^m$
una funci\'on diferenciable, inyectiva y regular.
¿Es verdad que $X = \varphi(U)$ es una subvariedad de $\R^m$?

% No. Tomar d=1, m=2, \varphi una parametrizacion del OCHO.
% Discutir alguna condicion suficiente para que X sea variedad
% con atlas consistente de esta sola carta.



\item
\begin{enumerate}
\itemsep=1ex
\item Hallar una funci\'on diferenciable $f:  \R^m \to \R$ tal que $f^{-1}(0) = C$ no es una variedad.
\item Hallar una funci\'on diferenciable $f:  \R^m \to \R$ tal que $f^{-1}(0) = C$ es una variedad de dimensión distinta de $m-1$.
\item Sea $C \subset  \R^m$ un conjunto cerrado cualquiera. Demostrar que existe una
funci\'on diferenciable $f:  \R^m \to \R$ tal que $f^{-1}(0) = C$.
\end{enumerate}
% tomar como C un conjunto que no sea variedad de dim m-1
% p. ej. una bola


\item *
Consideremos el espacio vectorial $\R^{n \times n}$ de todas las
matrices $n \times n$ con coeficientes reales.

Sea $\text {det}: \R^{n \times n} \to \R$ la funci\'on determinante.
Definimos
$$\Delta = \Delta(n, \R) = \{a \in \R^{n \times n}, \ \text {det}(a) = 0\}$$
$$ GL(n, \R) = \{a \in \R^{n \times n}, \ \text {det}(a) \ne 0\} =
\R^{n \times n} - \Delta$$
$$SL(n, \R) = \{a \in \R^{n \times n}, \ \text {det}(a) = 1\}$$
Demostrar:
\begin{enumerate}
\itemsep=1ex
\item $GL(n, \R)$ y $SL(n, \R)$ son cerrados por producto de matrices
y contienen a la matriz identidad. Por lo tanto, tienen estructura de grupo.
Demostrar que ambos son subvariedades,
de dimensiones respectivas $n^2$ y $n^2 -1$.
\item $\text {det}$ es un polinomio de grado $n$ en $n^2$ variables.
Demostrar que el conjunto de ceros regulares $\Delta_{\text{reg}}$ de $\text {det}$ consiste
de las matrices de rango $n-1$; es una variedad de dimension $n^2 -1$.
Demostrar tambi\'en que $\text {det}$ es un polinomio irreducible.
\item Sea $U \subset \R^{n \times n}$ el conjunto de las matrices con autovalores
distintos (nos referimos a todos los autovalores, reales y complejos).
Demostrar que $U$ es un abierto denso en $\R^{n \times n}$.
\item Sea $O(n, \R) = \{a \in \R^{n \times n},  \  a.a^t = 1\}$.
Demostrar que $O(n, \R)$ es una subvariedad diferencial de $\R^{n \times n}$;
calcular su dimensi\'on. \\
{\em Sugerencia: Expresar $O(n, \R)$ como imagen inversa de un valor regular.}


\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}
