\documentclass[a4paper,oneside]{amsart}
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\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}

\overfullrule5pt
\relpenalty=10000
\binoppenalty=10000
\hyphenation{siguiente}

\newcommand\dd{\,\mathrm{d}}                    % diferencial
\def\abs#1{|#1|}                              % valor absoluto
\def\norm#1{\lVert #1\rVert}                     % norma
\def\ip#1{\langle #1 \rangle}                     % producto interno
\renewcommand\tt{\mathbf{T}}                    % tangente
\newcommand\nn{\mathbf{N}}                      % normal
\newcommand\bb{\mathbf{B}}                      % binormal


\begin{document}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}
\LARGE \bf \centerline{Geometría Proyectiva}
\large\sc \centerline{Segundo Cuatrimestre 2013}
\centerline{\sc Curvas en el espacio}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
\normalsize\rm
\vspace{12pt}


\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si una curva satisface una de las siguientes condiciones, es una recta:
  \begin{enumerate}
  \item Todas las tangentes a la curva inciden en un punto.
  \item Todas las tangentes a la curva son paralelas entre sí.
  \end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\alpha:I\rightarrow \RR^3$ una curva diferenciable y
$[a,b]\subset I$ un subintervalo cerrado de~$I$. Para cada partición
$P=\{a=t_0<t_1\hdots<t_n=b\}$ de $[a,b]$, consideremos la suma
  \[
  l(\alpha,P)=\sum_{i=1}^n\abs{\alpha(t_i)-\alpha(t_{i-1})}
  \]
y notemos $\abs{P}=\max\limits_{i=1,\hdots,n}(t_i-t_{i-1})$ a la norma
de~$P$. Pruebe que para todo $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que
  \[
  \abs{P}<\delta
  \implies
  \abs{\int_a^b|\alpha'(t)|dt-l(\alpha,P)}<\epsilon.
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Dé condiciones suficientes para que el sistema
  \[
  F_1(x,y,z) = F_2(x,y,z) = 0
  \]
determine una curva regular y determine el vector tangente unitario.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si $\kappa$ es la curvatura de una curva $\alpha$, entonces su
torsión es
  \[
  \tau(s) = \frac{\ip{\alpha'(s)\times \alpha''(s) ,\alpha'''(s)}}{\kappa^2(s)\abs{\alpha'}^6}.
  \]

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Las fórmulas de Frenet
  \[
  \begin{aligned}
  \tt' & = \hphantom{-\kappa \tt + {}} \kappa \nn \\
  \nn' & = -\kappa\tt \hphantom{{} + \kappa\nn + {}} +\tau \bb \\
  \bb' & = \hphantom{-\kappa \tt} -\tau \nn
  \end{aligned}
  \]
pueden escribirse como
  \[
  \begin{aligned}
  \tt' & = \omega\times\tt \\
  \nn' & = \omega\times\nn \\
  \bb' & = \omega\times\bb
  \end{aligned}
  \]
con $\omega=\tau \tt+\kappa \bb$.

\textit{Observación:} Cuando un cuerpo rígido (un trompo o una
piedra, por ejemplo) gira alrededor de un punto existe un ``eje
instantáneo de rotación'' que es el lugar de los puntos que están
fijos es ese instante. Si pensamos en el triedro de Frenet fijo al cuerpo
rígido, el eje instantáneo está dado por $\omega$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\alpha:I\to\RR^3$ una curva no necesariamente parametrizada por
la longitud de arco y sea $\beta:J\to\RR^3$ una reparametrización de
$\alpha$ por la longitud de arco $s=s(t)$ medido desde $t_0\in I$. Sea
$t=t(s)$ la función inversa de $s$ y denotemos
$\frac{\dd\alpha}{\dd t}=\alpha'$, $\frac{\dd^2\alpha}{\dd t^2}=\alpha''$
y $\frac{\dd^3\alpha}{\dd t^3}=\alpha'''$. Entonces

\begin{enumerate}

\item $\frac{\dd t}{\dd s}=\frac{1}{\abs{\alpha'}}$ y
$\frac{\dd^2t}{\dd s^2}=-\frac{\ip{\alpha',\alpha''}}{\abs{\alpha'}^3}$;

\item la curvatura de $\alpha$ en $t$ es
$\kappa(t) = \frac{\abs{\alpha'\times \alpha''}}{\abs{\alpha'}^3}$;

\item la torsión de $\alpha$ en $t$ es
$\tau(t)=\frac{\ip{\alpha' \times \alpha'' , \alpha'''}}{\abs{\alpha' \times \alpha''}^2}$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Calcule la curvatura y la torsión de las siguientes curvas en $\RR^3$:
  \begin{enumerate}
  \item $(u,u^2,u^3)$;
  \item $(u,\frac{1+u}{u},\frac{1-u^2}{u})$;
  \item $(x,f(x),g(x))$;
  \item $(a(u-\sin(u)),a(u-\cos(u)),bu)$;
  \item $(a(3u-u^3),3au^2,a(3u+u^3))$.
  \end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%
\item  Una función $A:\RR^3\to\RR^3$ es una \emph{translación} si
existe $v\in\RR^3$ tal que $A(x)=x+v$ para todo $x\in\RR^3$. Una función
lineal $\rho:\RR^3\to\RR^3$ es una \emph{transformación ortogonal} si
$\ip{\rho(u),\rho(v)}=\ip{u,v}$ para cada par de vectores
$u$,~$v\in\RR^3$. Finalmente, una función $f:\RR^3\to\RR^3$ es un
\emph{movimiento rígido} si es la composición de una transformación
ortogonal de determinante positivo y una translación.
\begin{enumerate}

\item  La norma de un vector y el ángulo entre dos
vectores son preservados por transformaciones ortogonales de determinante
positivo.

\item  El producto vectorial de dos vectores es \emph{covariante},
de manera que
  \[
  T(u)\times T(v)=T(u\times v)
  \]
si $u$,~$v\in\RR^3$, con respecto a
transformaciones ortogonales $T$ con determinante positivo. ¿Qué ocurre con
las transformaciones ortogonales de determinante negativo?

\item  La longitud de arco, la curvatura y la torsión de una curva son
invariantes por transformaciones rígidas.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Una curva $\alpha:I\to\RR^3$ es una \emph{hélice} si existe una
dirección con la cual todas sus tangentes forman un ángulo constante.
\begin{enumerate}

\item Si $\tau(s)\neq 0$ para todo $s\in I$, las siguientes condiciones son equivalentes:
 \begin{enumerate}

 \item la curva $\alpha$ es una hélice;

 \item el cociente $\frac{\kappa}{\tau}$ es constante;

 \item las rectas normales ---aquellas que pasan por un punto de la curva con
 dirección dada por el vector normal--- son todas paralelas a un plano fijo;

 \item las rectas binormales ---aquellas que pasan por un punto de la curva con
 dirección dada por el vector binormal--- forman un ángulo constante
 con una dirección fija.

 \end{enumerate}

\item Si $s\in\RR$ y $a,b,c$ son tales que $c^2=a^2+b^2$, entonces la curva
  \[
  \alpha(s)=(a\cos(\tfrac{s}{c}),a\sin(\tfrac{s}{c}),b\tfrac{s}{c})
  \]
es una hélice parametrizada por longitud de arco con
$\frac{\kappa}{\tau}=\frac{b}{a}$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
%\item Si $2b^2 = 3a$, la cúbica $t\mapsto (at,bt^2,t^3)$ es una hélice
%trazada sobre un cilindro de generatrices paralelas al plano $xz$ y que
%forman un ángulo de $\frac{\pi}{4}$ con el eje $x$. Encuentre la ecuación
%del cilindro.

%%%%%%%%%%%%%%%
%\item Si $\alpha:I\to\RR^3$ es una curva parametrizada por longitud de
%arco, la \emph{indicatriz esférica} de~$\alpha$ es la curva
%$\beta=T_\alpha:I\to\RR^3$.
%\begin{enumerate}
%\item La curvatura de la indicatriz esférica de~$\alpha$ es
%$\kappa_\beta=\frac{\dd s_\beta }{\dd s_\alpha }$.
%
%\item Determine la indicatriz de una recta, de una hélice circular y de
%una curva plana.
%
%\item  Si $\alpha$ es plana y $\theta $ es el ángulo entre un eje fijo y
%$\beta$, entonces
%$$\frac{\dd s_\beta }{\dd s_\alpha }=\frac{\dd\theta }{\dd s_\alpha }\nn_\alpha $$
%En particular, en esta situación se tiene que
%$\kappa_\alpha=\frac{\dd\theta}{\dd s}$.
%\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
%\item  La indicatriz esférica de una curva es una
%circunferencia si y sólo si la curva es una hélice.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item La curva $u\mapsto(a\sin^2(u),a\sin(u)\cos(u),a\cos(u))$ está sobre
una esfera y todos sus planos normales pasan por el origen. Se trata de una curva cuártica.

%\item  Probar que una condición necesaria y suficiente para %que una curva sea una hélice es que
%$$
%x^{(iv)}\cdot (x^{\prime \prime \prime }\times x^{\prime %\prime })=-\kappa^5\frac d{ds}(\frac \tau \kappa )=0
%$$
%
%\item Dadas funciones $\kappa $ y $\tau $ en $\RR$, %es posible reducir las ecuaciones de Frenet a una \'unica %ecuación y as\'\i\ hallar sus soluciones y por lo tanto %hallar las curvas con tales curvatura y torsión. Verificar %que una tal ecuación es:
%$$
%x^{(iv)}-(2\frac{\kappa ^{\prime }}\kappa +\frac{\tau %^{\prime }}\tau
%)x^{\prime \prime \prime }+(\kappa ^2+\tau ^2-\frac{\kappa %\kappa ^{\prime
%\prime }-2(\kappa ^{\prime })^2}{\kappa ^2}+\frac{\kappa %^{\prime }\tau
%^{\prime }}{\kappa \tau })x^{\prime \prime }+\kappa %^2(\frac{\kappa ^{\prime
%}}\kappa -\frac{\tau ^{\prime }}\tau )x^{\prime }=0
%$$
%

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\alpha$ una curva en $\RR^3$ con curvatura y torsión nunca nulas y $\kappa'\neq 0$.
Entonces $\alpha$ está contenida en una esfera de radio $r$ si y sólo si
$$\frac{1}{\kappa^2}+\left(\frac{\kappa'}{\kappa^2\tau}\right)^2=r^2.$$


%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\alpha:\RR\to\RR^3$ una curva parametrizada por longitud de
arco, sea $[a,b]\subset\RR$ un intervalo cerrado no trivial y sean $p=\alpha(a)$ y
$q=\alpha(b)$.
\begin{enumerate}

\item Si $v$ es un vector unitario $v$, entonces
  \[
  (q-p)\cdot v = \int_a^b\alpha'(t) \cdot v dt\leq \int_a^b\abs{\alpha'(t)}\dd t.
  \]

\item En particular, si $v=\frac{q-p}{\abs{q-p}}$, tenemos que
  \[
  \abs{\alpha(b)-\alpha(a)}
        \leq \int_a^b\abs{\alpha'(t)}\dd t
  \]
y, por lo tanto. la curva con menor longitud de arco
que une los puntos $p$ y~$q$ es la línea recta.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\alpha:\RR\to\RR^3$ una curva parametrizada por longitud de
arco, con curvatura y torsión nunca nulas, sea $s_0\in\RR$ y sea $P$ un
plano que satisface las siguientes condiciones:
\begin{itemize}
  \item $P$ contiene la recta tangente en $s_0$, y
  \item para todo entorno $I\subset\RR$ de $s_0$, existen puntos de $\alpha(I)$ a ambos lados de $P$.
\end{itemize}
Entonces $P$ es el plano osculador de $\alpha$ en $s_0$.

%%
%%\item En $\RR^3$, la distancia entre un punto $y$ y
%%una recta que pasa por $x$ en la dirección del vector
%%unitario $u$ es $d=|(y-x)\times u|$. En base a esta
%%fórmula, demostrar que la tangente tiene un contacto de
%%primer orden con la curva.
%%
%%\item En $\RR^3$, la distancia de un punto $y$ a un
%%plano que pasa por $x$ con vector normal unitario $u$ es
%%$d=|(y-x)\times u|$. Usar esta fórmula para probar que
%%todo plano que contiene a la tangente y no es el osculador
%%tiene un contacto de primer orden con la curva, mientras que
%%el contacto del plano osculador es de segundo orden.
%%

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Una curva cuyos planos osculadores o bien pasan todos por un punto
fijo, o bien son todos paralelos es plana.


%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\alpha:I\to\RR^3$ una curva regular no necesariamente
parametrizada por longitud de arco con curvatura y torsión nunca nulas.
Decimos que $\alpha$ es una \emph{curva de
Bertrand} si existe una curva $\beta:I\to\RR^3$ tal que las rectas normales
de $\alpha$ y $\beta$ en puntos correspondientes de~$I$ coinciden, y en ese caso $\beta$ es la
\emph{compa\~nera de Bertrand} de $\alpha$ y puede escribirse en la forma
  \[
  \beta(t)=\alpha(t)+rn(t).
  \]
\begin{enumerate}

\item En esa expresión para $\beta$, $r$ es constante.

\item $\alpha$ es una curva de Bertrand si y sólo si existe una relación lineal
  \[
  A\kappa+B\tau=1
  \]
con $A$ y $B$ constantes no nulas.

\item Si $\alpha$ tiene más de una compa\~nera de Bertrand, entonces
tiene infinitas y esto ocurre si y sólo si $\alpha$ es una hélice
circular.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\foto{Serret}{Joseph Alfred Serret\\1819--1885, Francia}{Serret fue el
%primero en obtener ---en 1851--- las ecuaciones que describen la variación del triedro
%fundamental de una curva; Jean Frédéric Frenet las había encontrado ya en
%1847 en su tesis doctoral, pero su trabajo fue publicado recién en 1852.
%Aparte de sus contribuciones fundamentales en geometría diferencial, hizo
%aportes en teoría de números y mecánica. Fue el editor de los 14 volumenes
%de las obras completas de Lagrange.}

\end{document}
