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\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}

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\hyphenation{siguiente}



\newcommand\dd{\,\mathrm{d}}
\def\abs#1{| #1 |}
\renewcommand\tt{\mathbf{t}}
\newcommand\nn{\mathbf{n}}
\newcommand\eps{\varepsilon}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}
\LARGE \bf \centerline{Geometría Proyectiva}
\large\sc \centerline{Segundo Cuatrimestre 2013}
\centerline{\sc Curvas planas}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
\normalsize\rm
\vspace{12pt}


\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item\emph{La lemniscata}. Sea $\alpha:\RR\to\RR^2$ la funci\'on
  \[
  \alpha(t)=\bigg(t\frac{1+t^2}{1+t^4}\,,t\frac{1-t^2}{1+t^4}\bigg).
  \]
\begin{enumerate}

\item La curva $\alpha$ es diferenciable, regular y simple.

\item Determine $\lim_{t\to-\infty}\alpha(t)$ y
$\lim_{t\to+\infty}\alpha(t)$ y concluya que $\alpha$ no es un homeomorfismo
entre $\RR$ y su traza.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Un disco circular de radio 1 rueda en el plano $xy$ sin resbalar
sobre el eje $x$. La figura descripta por un punto fijo sobre la
circunferencia del disco se llama \textit{cicloide}.

\begin{enumerate}

\item Obtenga una parametrizaci\'on del cicloide y determine sus puntos
singulares.

\item Calcule la longitud de arco del cicloide correspondiente a una
rotaci\'on completa del disco.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\alpha:(0,\pi)\to\RR^2$ dada por
  \[
  \alpha(\theta)=(\sin(\theta),\cos(\theta)+\log(\tan(\frac{\theta}{2}))).
  \]
La traza de $\alpha$ es llamada \textit{tractriz}.
\begin{enumerate}

\item La curva $\alpha$ es diferenciable pero no regular.

\item La longitud del segmento de la tangente de la tractriz entre el punto
de tangencia y la intersección con el eje $y$ es siempre 1.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\alpha:(-1,+\infty )\to \RR^2$ dada por
  \[
  \alpha(t)=(\frac{3at}{1+t^3},\frac{3at^2}{1+t^3}).
  \]
\begin{enumerate}

\item $\alpha$ es tangente al eje $x$ en $t=0$.

\item Se tiene que $\lim\limits_{t\to +\infty }\alpha (t)=(0,0)$ y
$\lim\limits_{t\to +\infty }\alpha ^{\prime }(t)=(0,0)$.

\item Cuando $t\to -1$ esta curva y su tangente se aproximan a la recta $x+y+a=0$.

\end{enumerate}
La figura que se obtiene completando la curva con su sim\'etrica respecto
de la recta $y=x$ se llama \textit{folio de Descartes}.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item  Sean $a>0$ y $b<0$, y consideremos la curva $\alpha (t)=(ae^{bt}\cos
(t),ae^{bt}\sin (t))$. Esta curva se llama \textit{espiral logar\'\i tmica}.
\begin{enumerate}

\item Es $\lim\limits_{t\to +\infty }\alpha (t)=(0,0)$, y cuando
$t\to+\infty$ la curva sigue una trayectoria que envuelve al origen
infinitas veces.

\item Por otro lado, $\lim\limits_{t\to +\infty }\alpha ^{\prime }(t)=(0,0)$ y
$\lim\limits_{t\to +\infty }\int_{t_0}^t\abs{\alpha ^{\prime }(t)}\dd t$ es
finito. Por lo tanto, $\alpha $ tiene longitud de arco finita en
$[t_0,+\infty)$.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\alpha$ una curva que no pasa por el origen. Si $\alpha(t_0)$ es
el punto de su traza m\'as pr\'oximo al origen y $\alpha'(t_0)\neq 0$,
entonces $\alpha(t_0)$ y $\alpha'(t_0)$ son vectores ortogonales.

%\begin{Solucion}
%Sea $\alpha:(a,b)\to\RR^2$ la curva. Por hipótesis, la función
%$f:t\in(a,b)\mapsto\norm{\alpha(t)}^2\in\RR$ tiene un mínimo (local, al
%menos) en $t_0$. En particular, $0=f'(t_0)=2\ip{\alpha(t_0),\alpha'(t_0)}$,
%así que $\alpha(t_0)$ y $\alpha'(t_0)$ son vectores ortogonales.~\qed
%\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Si todas las normales a una curva parametrizada por longitud de arco
pasan por un punto fijo entonces la traza de la curva est\'a contenida en
un c\'\i rculo.

%\begin{Solucion}
%Sea $\alpha:(a,b)\to\RR^2$ la curva y sea $p\in\RR^2$ un punto que está
%sobre todas las normales a~$\alpha$. Si $t\in(a,b)$, entonces que $p$ esté
%sobre la normal a~$\alpha$ por~$\alpha(t_0)$ implica que
%$\ip{\alpha'(t),p-\alpha(t)} = 0$. Esto implica que si definimos
%$f:t\in(a,b)\mapsto\norm{\alpha(t)-p}^2\in\RR$, entonces
%  \[
%  \frac{\dd f}{\dd t}
%        = 2\ip{-\alpha'(t),p-\alpha(t)}
%        = 0.
%  \]
%Así, vemos que $f$~es constante, esto es, que los puntos de la curva están
%todos a la misma distancia de~$p$.~\qed
%\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\alpha(s)=(\alpha_1(s),\alpha_2(s))$ una curva parametrizada por
longitud de arco. Sea $\tt =\alpha'$ la \textit{tangente} de $\alpha$ y
sea $\nn$,  la \textit{normal} de $\alpha$, el \'unico vector unitario
tal que $\{\tt,\nn\}$ es una base ortonormal orientada de
$\RR^2$. La \textit{curvatura} de $\alpha$ es el \'unico escalar $\kappa$
tal que
$$
  \tt'=\kappa \cdot \nn.
$$
\begin{enumerate}

\item La curvatura de $\alpha$ es el \'area (con signo) del
rect\'angulo definido por el par ordenado de vectores
$\{\tt,\tt'\}$. Encuentre una expresi\'on expl\'\i cita para
$\kappa$ en funci\'on de $\alpha_1$, $\alpha_2$ y sus derivadas.

\item Los vectores $\tt'$ y $\nn'$ son ortogonales.

\item La función $\abs{\kappa}$ es constante e igual a $1/r$ si y sólo
si la curva $\alpha$ est\'a contenida en una circunferencia de radio $r$.

\end{enumerate}
Notemos que tomando módulos en $\tt'=\kappa \cdot \nn$, se deduce la expresi\'on
conocida
  \[
  \abs{\kappa}=\abs{\tt'}=\abs{\alpha''}.
  \]

%\begin{Solucion}
%Como $\alpha$ está parametrizada por longitud de arco,
%es $\tt=(\alpha_1',\alpha_2')$ y entonces $\nn=(-\alpha_2',\alpha_1')$.
%Por definición de~$\kappa$, $\tt'=\kappa\nn$ y, mirando las coordenadas de
%estos vectores, esto nos dice que $\alpha_1''=-\kappa\alpha_2'$ y
%$\alpha_2''=\kappa\alpha_1'$. En particular,
%$\nn'=(-\alpha_2'',\alpha_1'')=(-\kappa\alpha_1',-\kappa\alpha_2')=-\kappa\tt$.
%
%\ejitem{1} El área en cuestión es
%$\det(\tt,\tt')=\det(\tt,\kappa\nn)=\kappa\det(\tt,\nn)=\kappa$, ya que la
%elección de~$\nn$ implica inmediatamente que $\det(\tt,\nn)=1$. Se sigue de
%esto que $\kappa=\alpha_1'\alpha_2''-\alpha_2'\alpha_1''$.
%
%\ejitem{2} De acuerdo a la observación hecha arriba,
%$\pi{\tt',\nn'}=\ip{\kappa\nn,\-\kappa\tt}=-\kappa^2\ip{\nn,\tt}=0$.
%
%\ejitem{3} Supongamos que $\kappa=\eps/r$ con $\eps\in\{\pm1\}$. Sea
%$p=\alpha-\eps r\nn$. Derivando vemos que $p'=\tt-\eps r\nn'=(1-\eps
%r\kappa)\tt=0$, de manera que $p$ es constante. Esto nos dice que
%$\norm{\alpha-p}=r$, así que la curva tiene imagen contenida en el círculo
%de radio~$r$ centrada en~$p$.~\qed
%\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item De la expresi\'on
$\kappa_\alpha=\alpha_1'\alpha_2''-\alpha_2'\alpha_1''$ para la
curvatura~$\kappa_{\alpha}$ de una curva~$\alpha$ parametrizada por
longitud de arco obtenida en el ejercicio anterior, deduzca ---utilizando
la regla de la cadena--- la siguiente expresi\'on para la curvatura
$\kappa_c$ de una curva $c$ regular no necesariamente parametrizada por longitud
de arco:
  \[
  \kappa_c=\frac{c_1'c_2''-c_2'c_1''}{[(c_1')^2+(c_2')^2]^{3/2}}.
  \]

%\begin{Solucion}
%Sea $c:(a,b)\to\RR^2$ una curva regular y sea $t_0\in(a,b)$. Sea
%$s:I\to\RR$ tal que $s(t)=\int_{t_0}^t\norm{c'(\xi)}\,\dd\xi$. Es claro que
%$s$ es diferenciable. Como $s'(t)=\norm{c'(t)}>0$ para todo $t\in(a,b)$,
%porque $c$ es regular, la función~$s$ es estrictamente creciente. Su imagen
%es entonces un intervalo~$(c,d)$, es inyectiva y tiene función inversa
%$\sigma:(c,d)\to(a,b)$. Más aún, si $u\in(c,d)$,
%  \[
%  \sigma'(u)=\frac{1}{s'(\sigma(u))}=\frac{1}{\norm{c'(\sigma(u))}}.
%  \]
%Sea $\alpha=c\circ\sigma:(c,d)\to\RR^2$. Si $u\in(c,d)$, entonces
%$\alpha'(u)=c'(\sigma(u))\sigma'(u))=1$, así que $\alpha$ es regular y está
%parametrizada por longitud de arco. Además,
%$\alpha_i'(u)=c_i'(\sigma(u))\sigma'(u)$
%y~$\alpha_i''(u)=c_i''(\sigma(u))\sigma'(u)^2+c_i'(\sigma(u))\sigma''(u)$.
%Entonces, si $u\in(c,d)$ y $\sigma=\sigma(u)$, es
%  \begin{align*}
%  \kappa_\alpha(u) &= \alpha_1'(u)\alpha_2''(u)-\alpha_2'(u)\alpha_1''(u) \\
%        &= \begin{multlined}[t][.8\displaywidth]
%           c_1'(\sigma)\sigma'(u)(c_2''(\sigma)\sigma'(u)^2+c_2'(\sigma)\sigma''(u)) \\
%           - c_2'(\sigma)\sigma'(u)(c_1''(\sigma)\sigma'(u)^2+c_1'(\sigma)\sigma''(u))
%           \end{multlined} \\
%        &= \begin{multlined}[t][.8\displaywidth]
%           c_1'(\sigma)c_2''(\sigma)\sigma'(u)^3
%                - c_2'(\sigma)c_1''(\sigma)\sigma'(u)^3 \\
%           +c_1'(\sigma)\sigma'(u)c_2'(\sigma)\sigma''(u)
%           - c_2'(\sigma)\sigma'(u)c_1'(\sigma)\sigma''(u)
%           \end{multlined} \\
%        &= \frac{c_1'(\sigma)c_2''(\sigma)-c_2'(\sigma)c_1''(\sigma)}{\norm{c'(\sigma)}^3}
%  \end{align*}
%Esta es la fórmula buscada.~\qed
%\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $k:I\to\RR$ una función diferenciable definida sobre un intervalo
abierto $I\subseteq \RR$. Fijemos $s_0\in I$ y definamos una nueva función
$\theta:I\to\RR$ poniendo $\theta (s)=\int_{s_0}^s k(s)\dd s$ para cada
$s\in I$. Entonces la curva $\alpha:I\to\RR^2$ dada por
  \[
  \alpha(s)=\left(\int_{s_0}^s \cos \theta (s)\dd s,\int_{s_0}^s \sin \theta (s)\dd s\right)
  \]
para cada $s\in I$, tiene curvatura $k$ y que est\'a determinada un\'\i
vocamente a menos de un movimiento rígido del plano.

%\begin{Solucion}
%Tenemos $\alpha'(s)=(\cos\theta(s),\sin\theta(s))$ para todo $s\in I$,
%así que claramente $\norm{\alpha'}=1$ y $\alpha$ es regular y está
%parametrizada por longitud de arco. En particular,
%$\tt=(\cos\theta(s),\sin\theta(s))$ y $\nn=(-\sin\theta(s),\cos\theta(s))$.
%Derivando, vemos que
%$\tt'=\theta'(s)(-\sin\theta(s),\cos\theta(s))=\theta'(s)\nn$, así que la
%curvatura es $\theta'(s)=\kappa(s)$.
%
%Supongamos ahora que $\beta:I\to\RR^2$ es otra curva parametrizada por
%longitud d arco y tal que $\kappa_\beta=\kappa$. A menos de un movimiento
%rígido, podemos suponer que $\beta(s_0)=\alpha(s_0)$ y que $\beta'(s_0)=\alpha'(s_0)$.
%Del teorema de unicidad de soluciones para sistemas lineales de ecuaciones
%diferenciales ordinarias, sabemos que existe exactamente un par de
%funciones $x$,~$y:I\to\RR$ tales que
%  \[
%  \left\{
%    \begin{aligned}
%    &x'=-\kappa y, \\
%    &y'=\kappa x, \\
%    &(x(s_0),y(s_0))=\alpha'(s_0), \\
%    \end{aligned}
%  \right.
%  \]
%Como $(\alpha_1',\alpha_2')$ y $(\beta_1',\beta_2')$ son soluciones de este
%problema de valores iniciales, vemos que $\tt_\alpha=\tt_\beta$. Integrando
%esta igualdad, es claro que $\alpha$ y $\beta$ difieren en una constante.
%Finalmente, como ambas funciones tienen el mismo valor en~$s_0$, conclumos
%que $\alpha=\beta$.~\qed
%\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Fijemos una curva, dada en coordenadas polares por la ecuación $\rho =\rho
(\theta )$, con $\rho:[a,b]\to\RR$ una función suficientemente
diferenciable. Entonces la longitud de la curva es
  \[
  \int_a^b\sqrt{\rho(\theta)^2+\rho'(\theta)^2}\dd\theta
  \]
y su curvatura, como función de $\theta$, es
  \[
  k=\frac{2\rho'^2-\rho\rho''+\rho ^2}{(\rho'^2+\rho^2)^{\frac 32}}.
  \]

%\begin{Solucion}
%La curva tiene parametrización cartesiana
%  \[
%  \alpha:\theta\in[a,b] \mapsto (\rho(\theta)\cos\theta,\rho(\theta)\sin\theta)\in\RR^2.
%  \]
%En particular,
%  \[
%  \alpha'(\theta) =
%        (
%        \rho'(\theta)\cos\theta-\rho(\theta)\sin\theta,
%        \rho'(\theta)\sin\theta+\rho(\theta)\cos\theta
%        ),
%  \]
%así que
%  \begin{align*}
%  \norm{\alpha'(\theta)}^2
%        &= \bigl(\rho'(\theta)\cos\theta-\rho(\theta)\sin\theta\bigr)^2
%         + \bigl(\rho'(\theta)\sin\theta+\rho(\theta)\cos\theta\bigr)^2 \\
%        &= \rho'(\theta)^2+\rho(\theta)^2.
%  \end{align*}
%La longitud de la curva es, entonces,
%  \[
%  \int_a^b\norm{\alpha(\theta)}\dd\theta
%        = \int_a^b\sqrt{\rho'(\theta)^2+\rho(\theta)^2}\dd\theta.
%  \]
%Por otro lado,
%  \begin{align*}
%  \MoveEqLeft
%  \alpha_1'\alpha_2''-\alpha_2'\alpha_1'' \\
%       &= \begin{multlined}[t][.8\displaywidth]
%          \bigl(\rho'(\theta)\cos\theta-\rho(\theta)\sin\theta\bigr)
%          \bigl(
%                \rho''(\theta)\sin\theta
%                +2 \rho'(\theta)\cos\theta
%                -\rho(\theta)\sin\theta
%          \bigr) \\
%          -
%          \bigl(\rho'(\theta)\sin\theta+\rho(\theta)\cos\theta\bigr)
%          \bigl(
%              \rho ''(\theta )\cos\theta
%              -2 \rho '(\theta)\sin\theta
%              -\rho (\theta ) \cos \theta
%          \bigr)
%          \end{multlined}
%          \\
%       &= 2\rho'^2-\rho\rho''+\rho ^2,
%  \end{align*}
%así que usando la fórmula para la curvatura de una curva con una
%paramtrización arbitraria obtenida en un ejercicio anterior, tenemos que
%  \[
%  \kappa = \frac{2\rho'^2-\rho\rho''+\rho ^2}{(\rho'(\theta)^2+\rho(\theta)^2)^{\tfrac32}},
%  \]
%que es la fórmula del enunciado.~\qed
%\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\alpha:(a,b)\to \RR^2$ una curva parametrizada por longitud de
arco cuya curvatura no se anula. Si $s_0\in(a,b)$, se llama \textit{centro de curvatura de
$\alpha$ en $s_0$} al punto
  \[
  x(s_0)=\alpha(s_0)+\frac{1}{\kappa(s_0)} n(s_0)
  \]
y se llama \textit{c\'irculo osculador a $\alpha$ en $s_0$} al c\'irculo
centrado en $x(s_0)$ cuyo radio es $\rho(s_0)=\abs{\kappa(s_0)}^{-1}$.
Muestre que la curva $\alpha$ y el c\'irculo osculador a $\alpha$
en~$s_0$ tienen contacto de segundo orden en~$\alpha(s_0)$ y que, en
particular, ambos tienen la misma tangente.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Determine los centros de curvatura y los c\'irculos osculadores de la elipse
  \[
  \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
  \]

%\begin{Solucion}
%La curva puede parametrizarse como $\alpha:\RR\to\RR^2$ con
%  \[
%  \alpha(\theta)=(a\cos\theta,b\sin\theta).
%  \]
%Entonces
%  \[
%  \tt=\frac{1}{\sqrt{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}}(-a\sin\theta,b\cos\theta)
%  \]
%y
%  \[
%  \nn=\frac{1}{\sqrt{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}}(-b\cos\theta,-a\sin\theta)
%  \]
%Es claro que la curvatura es positiva, y calculando directamente, vemos que
%  \[
%  \abs{\kappa} = \norm{\tt'} = \frac{ab}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta},
%  \]
%así que
%  \[
%  \kappa = \frac{ab}{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}.
%  \]
%Usando la fórmula del enunciado del ejercicio anterior, vemos que el centro de curvatura $c(\theta)$
%del punto $(x,y)=\alpha(\theta)$ de la curva está en
%  \[
%  \begin{pmatrix}
%  \cos\theta\left(a-\frac{\sqrt{a^2 \cos ^2\theta+b^2 \sin ^2\theta}}{a}\right) \\
%   \sin\theta \left(b-\frac{\sqrt{a^2 \cos ^2\theta+b^2 \sin ^2\theta}}{b}\right)
%  \end{pmatrix}
%  =
%  \begin{pmatrix}
%  \frac1{a^2}x(a^2-\sqrt{x^2+y^2}) \\
%  \frac1{b^2}y(b^2-\sqrt{x^2+y^2})
%  \end{pmatrix}.
%  \]
%y tiene radio
%  \[
%  \frac{1}{\kappa} =  \frac{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}{ab}
%        = \frac{x^2+y^2}{ab}.
%  \]
%
%\end{Solucion}

%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sea $\alpha: (a, b) \to \RR^2$ una curva param\'etrica con curvatura nunca nula.
Se define $\bar \alpha: (a, b) \to \RR^2$ de modo que, para cada $t \in  (a, b)$,
$\bar \alpha (t)$ es el centro de curvatura de $\alpha$ en el punto $\alpha(t)$.
Se dice que $\bar \alpha$ es la \textit{evoluta} de $\alpha$.

\medskip
\noindent
Demostrar:

\medskip
\noindent
a) La direcci\'on tangente a $\bar \alpha$ en $\bar \alpha(t)$ coincide con la direcci\'on normal a
$\alpha$ en $\alpha(t)$, para todo $t \in  (a, b)$.

\medskip
\noindent
b) La longitud del arco de $\bar \alpha$ entre $t$ y $t'$ ($a < t < t' < b$) es igual a la diferencia
$\rho_\alpha(t') - \rho_\alpha(t)$ entre los radios de curvatura de $\alpha$ en los puntos correspondientes.

\medskip
\noindent
M\'as detalles en Struik o \url{http://en.wikipedia.org/wiki/Evolutes}



%\begin{Solucion}
%Supongamos que $|alpha$ está parametrizada por longitud de arco. La curva
%de los centros de curvatura de~$\alpha$ es, entonces,
%$\beta=\alpha+\frac1\kappa\nn$ y su tangente en cada punto tiene la
%dirección del vector
%  \[
%  \beta'=\tt-\frac{\kappa'}{\kappa^2}\nn-\tt=-\frac{\kappa'}{\kappa^2}\nn.
%  \]
%Esto implica que la tangente en cada punto de~$\beta$ tiene la dirección de
%la normal del punto correspondiente de~$\alpha$.  Más aún, la longitud
%recorrida por la curva~$\beta$ cuando $\alpha$ recorre el intervalo $[a,b]$
%es
%  \[
%  \int_a^b\norm{\beta'}
%        = \int_a^b -\frac{\kappa'}{\kappa^2}
%        = \frac1{\kappa}\Bigr|_a^b
%  \]
%que es el incremento de los radios de curvatura.~\qed
%\end{Solucion}

\end{enumerate}

%\foto{Newton}{Isaac Newton\\1643--1727, Inglaterra}{%
%Newton introdujo, en 1971, el círculo de curvatura de manera precisa---la idea venía de
%Kepler, una generación antes--- y dio la fórmula usual para la curvatura en
%su libro \emph{De Methodis Serierum et Fluxionum}.
%}

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
