\documentclass[a4paper,oneside]{amsart}
\usepackage[latin1]{inputenc}


\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}


\begin{document}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}
\LARGE \bf \centerline{Geometría Proyectiva}
\large\sc \centerline{Segundo Cuatrimestre 2013}
\centerline{\sc Cuádricas}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
\normalsize\rm
\vspace{12pt}


\begin{enumerate}

%%%%%%%%%%
\item Para cada una de las siguientes cónicas encuentre: forma can\'onica
afín (tanto en $\RR$ como en $\CC$), forma can\'onica ortogonal,
centro, puntos singulares. Graficar (en el caso real) en el sistema original
de coordenadas.
\begin{enumerate}
\item $x^2+y^2=1 $;
\item $x^2+y^2+2x-2y=-1 $;
\item $xy-x+3y=2 $;
\item $x^2-y^2+4x-2y=4 $;
\item $2x^2+xy-y^2=0 $;
\item $x^2+y^2-2x+4y=-5 $.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%
\medskip
\item Para cada una de las siguientes cu\'adricas encuentre: forma can\'onica
afín (tanto en $\RR$ como en $\CC$),  forma can\'onica ortogonal,
centro, puntos singulares. Graficar.
\begin{enumerate}
\item $4x^2+4y^2+4z^2+2xy+2xz+2yz+6x-6z+5=0 $;
\item $4x^2+4y^2+4z^2+2xy+2xz+2yz+6x-6z+6=0 $;
\item $-4x^2+2yz-8x+2y-4=0 $;
\item $-4x^2+2yz-8x+2y-5=0 $;
\item $-4x^2+2yz-8x+2y-3=0 $;
\item $16x^2+24xy+9y^2+25z^2-16x-20y=0 $;
\item $16x^2+24xy+9y^2-25z^2-16x-20y=0 $;
\item $16x^2+24xy+9y^2-25z^2-16x-12y=0 $.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%
\medskip
\item Demuestre que las secciones planas de un cono en $\RR^3$ son cónicas. Interprete
la clasificación de las cónicas en términos de la posición del plano
utilizado para la sección.

%%%%%%%%%%
\medskip
\item\label{ej:elipse} Dados dos puntos $p$,~$q\in \RR^2$ y un
número real $a$ tal que $2a>d(p,q)$, definimos
  \[
  \mathcal X=\{x\in\RR^2 : d(x,p)+d(x,q)=2a\}.
  \]
\begin{enumerate}

\item
Demostrar que el conjunto ${\mathcal X}$ es una elipse. Llamamos a los puntos $p$ y $q$ sus
focos.

\item Ver que el punto medio entre los focos es el centro de la elipse.

\item Pruebe que toda elipse puede obtenerse por esta construcción.

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%
\medskip
\item
Si $p$,~$q\in \RR^2$ y $a\in\RR$ es tal que $0<2a<d(p,q)$, definimos
  \[
  \mathcal X=\{x\in\RR^2 : d(x,p)-d(x,q)=2a\}.
  \]
Probar que el conjunto $\mathcal X$ es una hipérbola y que toda hipérbola puede
obtenerse de esta forma.

%%%%%%%%%%
\medskip
\item
Mostrar que dada una elipse que refleja los rayos de luz como un espejo plano (es decir, con el mismo ángulo de incidencia que de reflexión),
los rayos emitidos desde un foco pasan, luego de reflejarse, por el otro.

%%%%%%%%%%
\medskip
\item
Si $p\in\RR^2$ y $L\subset\RR^2$ es una recta que no contiene a $p$, sea
  \[
  \mathcal X=\{x\in\RR^2:d(x,p)=d(x,L)\}.
  \]
\begin{enumerate}

\item Probar que el conjunto ${\mathcal X}$ es una parábola.

\item Ver que toda parábola se obtiene de esta forma.

\item Llamamos a $p$ el \emph{foco} de la parábola y a la recta $L$  su
\emph{eje}. Supongamos que una parábola refleja la luz como un espejo plano, demuestre que los rayos que tienen
dirección perpendicular al eje y que provienen del semiespacio que
contiene al foco, se concentran, luego de reflejarse, en dicho foco.


\end{enumerate}

%%%%%%%%%%
\medskip
\item Sea $C\subset\RR^2$ la cónica de ecuación cuadrática $F=0$ y sea
$p\in\RR^2-C$. Determine los puntos $x\in C$ tales que la recta tangente a $C$
en $x$ pasa por $p$.

%%%%%%%%%%
\medskip
\item Demostrar que por cada punto del hiperboloide de una hoja
de ecuación
  \[
  x^2 +y^2 -z^2 = 1
  \]
pasan dos rectas contenidas en él.


\medskip
\item Si $L$ es una recta y $Q$ una cu\'adrica, probar que el conjunto $L\cap Q$ s\'olo puede ser uno de los siguientes:
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] $L\cap Q=\emptyset$
\item[$\bullet$] $L\cap Q=\{A\}$ (un punto)
\item[$\bullet$] $L\cap Q=\{A,B\}$ (dos puntos)
\item[$\bullet$] $L\cap Q=L$
\end{enumerate}

\medskip
\item Hallar la ecuaci\'on del hiperplano tangente a las siguientes cu\'adricas de $\mathbb{R}^n$ en los puntos indicados:
\begin{enumerate}
\item $Q:5 x_1^2+8 x_1x_2+5 x_2^2-3x_1+x_2-2=0$\hfill$P=(1,0)$
\item $Q: x_1^2-2 x_1x_2+3 x_2^2-3x_1+5x_2-10=0$\hfill$P=(-2,0)$
\item $Q:3 x_1^2-5 x_3^2+3 x_1x_2+6x_1-x_2=0$\hfill$P=(1,-2,1)$
\item $Q: x_1^2+ x_2^2+ x_3^2-1=0$\hfill$P=(0,0,1)$
\item $Q:6 x_1x_2-4x_1+9x_2-6=0$\hfill$P=(-\frac32,0,0)$
\end{enumerate}

\medskip
\item Determinar, si es posible, todos los valores de $a$, para que  la siguiente cu\'adrica de $\mathbb{R}^3$
$$Q:2 x_1^2+3x_2^2+ax_3^2-2x_1x_2+4x_3-5=0$$
\begin{enumerate}
\item sea un hiperboloide de una hoja.
\item sea un par de planos paralelos.
\item sea un cilindro parab\'olico.
\item sea un paraboloide el\'\i ptico.
\item sea un elipsoide.
\item sea un cono.
\end{enumerate}



%%%%%%%%%%
\medskip
\item {\bf Proyecci\'on estereogr\'afica.}
Consid\'erese la esfera $$S = \{(x, y, z) \in \Bbb R^3 / x^2+y^2+(z-1)^2=1\}$$
 y sea $N=(0,0,2)\in S$ (polo norte). Se define $\pi:S-\{N\} \rightarrow \Bbb R^2$ como $\pi(x)=q \in \Bbb R^2$ si
$q$ es la intersecci\'on de la recta que pasa por $N$ y $x$ con el plano $z=0$.
Mostrar que $\pi^{-1}: \Bbb R^2 \rightarrow S$ est\'a dada por
$$
\pi^{-1}(u,v)=(\frac{4u}{u^2+v^2+4},\frac{4v}{u^2+v^2+4},\frac{2(u^2+v^2)}{u^2+v^2+4}).
$$

\medskip

Generalizar a una esfera en $\Bbb R^n$.



%%%%%%%%%%
\medskip
\item
{\bf Proyecci\'on estereogr\'afica generalizada.}
Sea $Q=(F=0)\subset \Bbb R^n$ una cu\'adrica.
Tomemos $p \in Q$ un punto regular y un hiperplano $H \subset \Bbb R^n$
que no contiene a $p$. Definimos $\pi:Q-\{p\} \rightarrow H$ por $\pi(x)=L(x,p) \cap H$,
donde $L(x,y)$ denota la recta que pasa por $x$ e $y$.
Esta relaci\'on no es necesariamente una funci\'on
ya que para algunos $x\in Q-\{p\}$ puede ser que $L(x,p)\cap H=\emptyset$. Determinar el dominio, imagen y regi\'on de inyectividad de $\pi$. Calcular su inversa en donde tenga sentido.

(Se sugiere comenzar por los casos $n=2$ y $n=3$.
Puede ser \'util considerar primero las formas can\'onicas).



%%%%%%%%%%
\medskip
\item
(*) {\bf Secciones hiperplanas.}
Si $Q = (F=0)$ es una cuadrica en $\Bbb R^{n+1}$
(podemos suponer que $Q$ es una de las formas can\'onicas) cu\'ales son los
tipos de cu\'adricas en $\Bbb R^n$ que se obtienen intersecando $Q$
con diversos hiperplanos afines de $\Bbb R^{n+1}$ ?



%%%%%%%%%%
\medskip
\item
(*) {\bf Subespacios isotr\'opicos.}
Sea $Q = (F=0)$ una cu\'adrica en $\Bbb R^n$.
Si $S$ es un subespacio af\'in de $\Bbb R^n$, decimos que $S$ es isotr\'opico
(respecto a $Q$) si $S \subset Q$, o sea, $F(S) = \{0\}$.
Definimos el n\'umero natural $\delta(F)$ como el m\'aximo de las dimensiones
de los espacios isotr\'opicos de $Q = (F=0)$ (si $Q$ no tiene espacios
isotr\'opicos entonces definimos $\delta(F) = -1$).
Calcular $\delta$ para cada una de las formas can\'onicas.



%%%%%%%%%%
\medskip
\item
(*) {\bf Degeneraciones de cu\'adricas.}
Sea $C$ el conjunto de los polinomios reales de grado dos en $n$ variables,
provisto de la acci\'on usual del grupo af\'{\i}n $G = A(n,\Bbb R)$.
Las \'orbitas de la acci\'on de $G$ en $C$ corresponden a las formas
can\'onicas del teorema de clasificaci\'on af\'in de cu\'adricas.
Para cada \'orbita $\alpha \subset C$, caracterizar las \'orbitas $\beta \subset C$
tales que $\beta$ est\'a contenida en la clausura de $\alpha$.

\medskip
\item {\bf (*) Formas bilineales (I).}
Sea $U$ un espacio vectorial y $b$ una forma bilineal simétrica en $U$. Sea $S$ un subespacio de $U$ tal que $b$ restringida a $S$ es no-degenerada. Entonces $U$ es la suma directa de $S$ y $S^\bot$.
(no hace falta suponer que b es no-degenerada)
{\it Sugerencia: Elegir una base de S.}

\item {\bf (*) Formas bilineales (II).}
Sea $U$ un espacio vectorial sobre los numeros reales y $b$ una forma bilineal simétrica en $U$. Decimos que $U$ es un espacio hiperbólico si $b$ es no-degenerada y la signatura tiene el mismo numero $p$ de $1$'s que de $-1$. Esto implica que $\dim U = 2p$ y la signatura se escribe $(2p, p)$. Si $\dim U = 2$ decimos que $U$ es un plano hiperbólico.

\begin{enumerate}
\item Un espacio hiperbólico de dimension $2p$ se puede descomponer como suma directa ortogonal de $p$ planos hiperbólicos.\\

\item Si $U$ es un plano hiperbólico, demostrar que el conjunto de vectores isotrópicos es la union de dos rectas por el origen. En particular, existen vectores isotrópicos.\\

\item Si $U$ es un espacio hiperbólico de dimension $2p$, demostrar que existen subespacios isotrópicos de dimension $p$.
{\it Sugerencia: Tomar una descomposición de U como en a). Elegir un vector isotrópico en cada sumando. Tomar el espacio generado por estos p vectores}.\\

\item Sea $V$ un espacio vectorial sobre los reales y sea $b$ una forma bilineal simétrica no-degenerada en $V$. Sea $S \subset V$ un subespacio isotrópico. Demostrar que existe un subespacio $U \subset V$ hiperbólico tal que $S \subset U$. Deducir que si la signatura de $b$ en $V$ es $(r, p)$ entonces $\dim S \leq \min\{p, r-p\}$, ($r$ = $\dim V$). En particular, los espacios isotrópicos de c) son maximales.

\item Extender d) al caso en que no se supone $b$ no-degenerada.\\

\item Enunciar y demostrar resultados similares sobre el cuerpo de los numeros complejos.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}
