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\begin{document}
\large
\centerline{\bf Geometría Proyectiva - Segundo Parcial}

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\centerline{Segundo cuatrimestre de 2013 (28/11/2013)}

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\centerline{\footnotesize{\begin{tabular} [c]{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Nombre y Apellido & L.U. & 1 & 2 & 3
& 4 & Nota\\\hline \hspace{5cm} & \hspace{0.8cm} & \hspace{1.2cm} &\hspace{1.2cm}
&\hspace{1.2cm} &\hspace{1.2cm} &\hspace{1.5cm}
\\ &  &  & & & &
\\\hline
\end{tabular}}}
\centerline{\footnotesize {Justificar todas las respuestas y escribir prolijo. Duraci\'on 4 horas.}}

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\begin{enumerate}

\item Sea $M\subseteq\R^m$ y $N\subseteq\R^n$ subvariedades diferenciales, y sea $f:M\to N$ una función diferenciable.
Se define el {\bf gráfico} $\Gamma$ de $f$ como
$$\Gamma=\left\{
(x,y)\in\R^{m+n}\,\colon\,x\in M,f(x)=y\in N\right\}.$$
\begin{enumerate}
\item Probar que $\Gamma$ es una subvariedad de $\R^{m+n}$.
\item Probar que el espacio tangente
$T\Gamma_{x,y}\subset TM_x\times TN_y$
es igual al gráfico del morfismo lineal $df_x$.
\end{enumerate}


\item Sea $S$ una superficie reglada, dada por una parametrización de la forma $f(t,v)=a(t)+vw(t)$ con $a,w$ curvas paramétricas, con $\|w\|=1$ y $w'\neq0$.
\begin{enumerate}
 \item Pruebe que existe una curva $b(t)\subseteq S$ tal que $$b'\cdot w' =0.$$ Deduzca que existe una funci\'on escalar $\lambda(t)$ que cumple: $$b'\times w = \lambda w'.$$
 (Los puntos de la curva $b(t)$ son llamados puntos centrales, y el escalar $\lambda$ es llamado parámetro de distribución)
 \item Calcule la curvatura de Gauss de $S$, donde tenga sentido, y pruebe que no es positiva.
\end{enumerate}



\item Sea $T$ el toro que se obtiene al hacer rotar respecto del eje $z$ la circunferencia $z^2+(x-2)^2=1$.
La parametrización de la superficie de revolución que se obtiene girando una curva $(x(t),0,z(t))$ alrededor del eje
$z$ viene dada por $f(u,v)=(x(v)cos(u),x(v) sen(u),z(v))$.
\begin{enumerate}
\item Hallar la primera y la segunda forma fundamental de $T$.
\item Clasificar los puntos de $T$ en planos, parabólicos, elípticos e hiperbólicos.
\end{enumerate}
Dibujar la circunferencia y marcar en ella las zonas que corresponden a cada tipo de punto.

\item Hallar los puntos singulares y sus respectivas multiplicidades y conos tangentes, las direcciones asintóticas y
asíntotas de las siguientes curvas algebraicas.
\begin{enumerate}
\item $y^2=x(x-1)(x-\lambda)$, donde $\lambda$ es un parámetro.
\item $x^d+y^d=1$, donde $d\in\mathbb{N}$.
\end{enumerate}


\end{enumerate}
\end{document}
