\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}

\topmargin -1.5cm \oddsidemargin 0.2cm \textheight 24.5cm
\textwidth 16cm
\parindent 0cm

\def\noi{\noindent}
\def\sm {\smallskip}
\def\ms {\medskip}
\def\bs {\bigskip}
\def\Ker {{\rm Ker}}
\def\Im {{\rm Im}}
\def\N {\mathbb{N}}
\def\Z {\mathbb{Z}}
\def\Q {\mathbb{Q}}
\def\R {\mathbb{R}}
\def\C {\mathbb{C}}

\begin{document}
\large
\centerline{\bf Geometría Proyectiva - Primer Parcial}

\normalsize
\centerline{Segundo cuatrimestre de 2013 (26/9/2013)}

\bigskip

\centerline{\footnotesize{
\begin{tabular} [c]{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre y Apellido & L.U. & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & Nota\\
\hline
\hspace{4cm} &\hspace{1cm} &\hspace{1cm} &\hspace{1cm} &\hspace{1cm} &\hspace{1cm} &\hspace{1cm} &\hspace{2cm} \\
& & & & & & &\\
\hline
\end{tabular}}}
\centerline{\footnotesize {Justificar todas las respuestas y escribir prolijo. Duraci\'on 4 horas.}}

\normalsize
\bigskip

\bigskip

\begin{enumerate}


\item Sean $Q_a$ y $Q$ las siguientes cuádricas espaciales, $a\in\R$,
$$Q_a\,\colon\,a^2x^2+2xz+y^2+2z^2+4x-2y-4z-1=0,$$
$$Q\,\colon\,x^2+y^2-z=0.$$
Encontrar los $a$ de modo que exista un isomorfismo afín, $f$, que satisfaga $f(Q_a)=Q$.

\item Para cada valor de $a,b\in\R$, hallar la clase de equivalencia ortogonal real de la siguiente cuádrica
$$2x^2+y^2+az^2-xy+4z+b=0.$$


\item Demostrar que la siguiente curva es plana y encontrar la ecuación del plano que la contiene,
$$x=3t^3 + 2t;\quad y=2t^4 + t^3 + 2;\quad z=t^4 - t^3 - t + 3.$$
Además, explique qué relación tiene dicho plano con el triedro de Frenet de la curva en cada punto.
%ej 42) $$ x = t^2-1;\quad y = t^2 + 2t + 3;\quad z = t + 1.$$

\item Sea $\alpha:I\rightarrow\R^2$ una curva regular con curvatura nunca nula, $\kappa_{\alpha}(t)\neq 0,\,\forall t\in I$,
y tal que todas las rectas
normales están siempre a distancia $c$ del origen, $c\in\R$, $c\geq 0$. Pruebe que
$$\|\alpha(t)\|^2=c^2+\frac{1}{\kappa_{\alpha}(t)^2}.$$
%{\footnotesize Sugerencia: Calcule $\alpha\cdot\alpha'$.}

\item Sea $\alpha:I\rightarrow \R^3$ una curva $2$-regular, y sea $P_{t_0}$ el plano osculador a $\alpha$ en el punto $\alpha(t_0)$.
Consideremos la función $\pi$ dada por la proyección ortogonal sobre el plano $P_{t_0}$.
Si tomamos la curva plana dada por:
$$ \beta := \pi \circ \alpha : I \rightarrow \R^3,$$
pruebe que las curvas $\alpha$ y $\beta$ tienen la misma curvatura en $t_0$.

\end{enumerate}
\end{document}
