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\begin{document}
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\begin{center}
{\Large\bf\sffamily Topología}

Segundo cuatrimestre - 2012

Práctica 0

{\bf\sffamily Conjuntos bien ordenados}
\end{center}


\begin{center} \rule{12cm}{.4mm} \end{center}
\bigskip
%%%%%%%%%%%%%%%
\sffamily
\begin{enumerate}
\item {\bf\sffamily Principio general de definición recursiva}

Sea $J$ un conjunto bien ordenado. Decimos que un subconjunto $S\subseteq J$ es una
\textit{sección} de~$J$ si
  \[
  \forall \alpha\in S, \forall \beta\in J, \quad \beta\leq\alpha \Rightarrow \beta\in S.
  \]
En particular, si $\beta\in J$, el conjunto $S_\beta=\{\alpha\in
J:\alpha<\beta\}$ es una sección de~$J$. Notemos que si $S$ es una sección
de~$J$ y $\beta\in S$, entonces $S_\beta\subseteq S$.

Sea $C$ un conjunto y sea $\mathcal F$ el conjunto de todas las funciones
$h:S\to C$ cuyo dominio~$S$ es una sección de~$J$. Sea, finalmente, $\rho:\mathcal F\to
C$ una función. Si $h:S\to C$ es un elemento de~$\mathcal F$, decimos que $h$ es
\textit{compatible} con~$\rho$ si
  \[
  h(\alpha)=\rho(h|_{S_\alpha})
  \]
para todo $\alpha \in S$. El objetivo de este ejercicio es mostrar que
  
\begin{center}  existe una única funci\'on $h:J\to C$ que es compatible con $\rho$. (1) \end{center}
Para verlo:
\begin{enumerate}

\item Si $S$ es una sección de~$J$ y $h_1$,~$h_2:S\to C$ son funciones compatibles
con~$\rho$, entonces $h_1=h_2$.

\item Si $\beta\in J$ y si $h:S_\beta\to C$ una función compatible
con~$\rho$, entonces existe una función $\bar h:S_\beta\cup\{\beta\}\to C$
que es compatible con~$\rho$.

\item Si $K \subset J$ y si para todo $\alpha \in K$ existe una función
$h_\alpha:S_\alpha \to C$ compatible con~$\rho$, entonces
existe una función
  \[
  k: \bigcup_{\alpha \in K} S_\alpha \to C
  \]
que es compatible con~$\rho$.

\item Para todo $\beta\in J$ existe una función $h_\beta: S_\beta \to C$
que es compatible con~$\rho$.

Sugerencia: Estudie por separado el caso en que $\beta$ tiene un predecesor inmediato y el
caso en que no.

\item Demuestre (1).

\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%
\item\begin{enumerate}

\item\label{ej:2a} Sean $J$ y $E$ dos conjuntos bien ordenados y sea $h:J
\to E$ una función. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
\begin{enumerate}

\item $h$ preserva el orden (es decir, $\alpha < \beta \Rightarrow h(\alpha) < h(\beta)$) y su imagen es una sección de $E$.

\item $h(\alpha)=\min \{E \setminus h(S_\alpha)\}$ para todo $\alpha \in J$.

\item Para todo $\alpha\in J$ es $h(S_\alpha)=S_{h(\alpha)}$.

\end{enumerate}

\item\label{ej:2b} Si $E$ es un conjunto bien ordenado, entonces el tipo de orden de una
sección propia de~$E$ es distinto del tipo de orden de~$E$, y que dos secciones
distintas de~$E$ tienen tipos de orden distintos.

Sugerencia: Dado $J$, existe a lo sumo una aplicación que preserva el orden de $J$ en
$E$ cuya imagen es una sección de $E$.
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $J$ y $E$ dos conjuntos bien ordenados y sea $k:J \to E$ una
función que preserva el orden. Entonces el tipo de orden de $J$ es el de
una sección~de~$E$.

Sugerencia: Defina inductivamente $h:J \to E$ mediante la recursión $h(\alpha) = \min \{E \setminus h(S_\alpha)\}$, usando la existencia de $k$ para ver la buena definición de $h$.

%%%%%%%%%%%%%%%
\item 
\begin{enumerate}
\item Si $A$ y $B$ son dos conjuntos bien ordenados, entonces se
satisface exactamente una de las siguientes tres condiciones:
\begin{itemize}
\item $A$ y $B$ tienen el mismo tipo de orden;
\item $A$ tiene el tipo de orden de una sección propia de $B$;
\item $B$ tiene el tipo de orden de una sección propia de $A$.
\end{itemize}

Sugerencia: Construir un conjunto bien ordenado que contenga a~$A$ y a~$B$
y usar el ejercicio anterior.
\item Usando el teorema del buen orden probar que dados dos conjuntos, uno tiene cardinal mayor o igual que el otro. 
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%
\item Sean $X$ un conjunto y sea $\mathcal A$ la familia de todos los pares
$(A,\mathord\leq)$ con~$A$ un subconjunto de~$X$ y $<$~un buen orden en~$A$.
Definimos una relación~$\preceq$ en~$\mathcal A$ de manera que
$(A,\leq) \preceq (A',\leq')$ sii $(A,\leq)$ es una sección de $(A',\leq')$.

\begin{enumerate}

\item La relación~$\preceq$ es un orden parcial sobre $\mathcal A$.

\item Sea $\mathcal B$ una subfamilia de~${\mathcal A}$
totalmente ordenada por~$\preceq$. Sea
  \[
  B' = \bigcup_{(B,\mathord\leq)\in\mathcal B}B
  \]
y sea $\leq'$ la unión de las relaciones $\leq$ que aparecen como segunda
componente de los elementos de~$\mathcal B$. Muestre que $(B',\leq')$ es un
conjunto bien ordenado.

\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%
\item Muestre que el Lema de Zorn es equivalente al teorema del buen orden.

Sugerencia: Use el ejercicio 5 para una implicación y el principio general de definición recursiva (ej. 1) para la otra.
%%%%%%%%%%%%%%%
\item El objetivo de este ejercicio es demostrar, usando los resultados de
los ejercicios 1--5, que el axioma de elección es equivalente al
teorema del buen orden.

Sea $X$ un conjunto, sea $\mathcal P'(X)$ el conjunto de las partes no
vacías de~$X$ y sea $c:\mathcal P'(X)\to X$ una función de elección fijada,
de manera que para cada $T\in\mathcal P'(X)$ es $c(T)\in T$. Si $T$ es un
subconjunto de $X$ y $\leq$ es una relación sobre $T$, decimos que $(T,\leq)$ es
una \textit{torre} en~$X$ si~$\leq$ es un buen orden de~$T$ y si para
cada $x \in T$ se tiene que
  \[
  x=c(X \setminus S_x(T,\mathord\leq))
  \]
con $S_x(T,\mathord\leq)$ la sección de $(T,\mathord\leq)$ por~$x$.

\begin{enumerate}

\item Si $(T_1,\leq_1)$ y $(T_2,\leq_2)$ son dos torres en $X$, entonces uno de estos conjuntos es una sección del otro.

Sugerencia: Suponiendo que $h:T_1 \to T_2$ preserva el orden y que $h(T_1)$ es igual a
una sección de $T_2$, pruebe que $h(x)=x$ para todo $x \in T_1$.

\item Si $(T,\leq)$ es una torre en $X$ y $T \neq X$, entonces existe una
torre en~$X$ de la cual $(T,\leq)$ es una sección propia.

\item Sea $\{(T_k,\leq_k) : k \in K \}$ la familia de todas las  torres de
$X$ y sean 
  \[
  T=\bigcup_{k \in K} T_k
  \qquad\textsf{y}\qquad
  \mathord\leq = \bigcup_{k \in K} \mathord\leq_k. 
  \]
Muestre que $(T,\leq)$ es una torre en $X$ y concluya de esto que $T=X$.

\end{enumerate}


\end{enumerate}


\end{document}
