\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\include{practicas}

\begin{document}

\encabezado 9{Teoremas de Punto Fijo}
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\ejer Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico completo y sea $f: X \rightarrow X$. Probar que la  condici\'on$$ d(f(x),f(y)) < d(x,y) \qquad \forall \ x,y\in X, \qquad x\neq y,$$no es suficiente para garantizar la existencia de un punto fijo de $f$, pero que s\'{\i} lo es si $X$ es compacto. 




\ejer Sea $f:\R\rightarrow\R$ una funci\'on derivable tal que $|f^{\prime}(x)|\leq \alpha<1$. Probar que $f$ tiene un \'unico punto fijo.




\ejer Considere la siguiente ecuaci\'on integral no lineal, $$f(x)=\lambda\int_a^b K(x,y;f(y)) dy + \varphi(x),$$ con $K$ y $\varphi$ continuas, tal que $K$ satisface la condici\'on de Lipschitz en la tercer variable: $$|K(x,y;z_1) - K(x,y;z_2) | \leq M |z_1 - z_2|.$$ Probar que la ecuaci\'on integral tiene soluci\'on \'unica para todo$$|\lambda| < \frac{1}{M(b-a)}.$$Muestre una sucesi\'on que converja a la soluci\'on.



\ejer Sea $f:[0,T] \times \Omega \subset \R^n \to \R^n $ una funci\'on continua y Lipschitz en la segunda variable.\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que $y \in (C[0,T],\Omega)$ es soluci\'on de la ecuaci\'on diferencial $y^\prime(t)=f(t,y(t))$ con la condici\'on inicial $y(0)=y_0$ si y s\'olo si$$ y(t) = y_0 + \int_0^t f(s,y(s)) ds \; \forall t \in [0,T].$$
\item[ii)] Probar que si $T$ es suficientemente peque\~no, existe una \'unica soluci\'on de este problema. 
\end{enumerate}


\ejer Sea $X$ un espacio m\'etrico completo y sea $T:X\to X$ tal que existe $n\in \N$ tal que $T^n$ es una contracci\'on. Entonces existe un \'unico $x\in X$ tal que $T(x)=x$.


\ejer \begin{enumerate}
\item[i)] Probar que existe una \'unica funci\'on continua $f:\R\to\R$ que es soluci\'on de la siguiente ecuaci\'on integral$$f(x)=\lambda\int_{a}^{x}K(x,y)f(y)dy+\phi(x),$$ donde $K:\R\times\R\to\R$ y $\phi:\R\to\R$ son continuas.
\item[ii)] Sea $A:\R\to\R^{n\times n}$ continua. Probar que las soluciones de$$x^{\prime}(t)=A(t)x(t)$$ est\'an definidas para todo tiempo $t$.
\end{enumerate}



\end{document}