\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\include{practicas}

\begin{document}

\encabezado 7{Espacios Normados}
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\ejer De los espacios m\'etricos vistos hasta ahora, ?`cu\'ales son normados? ?`Y de Banach?

\ejer Sea $(E,\| \cdot \|)$ un espacio normado (sobre $k=\R$ ó $\C$). Probar que se verifican:
\begin{enumerate}
\item[i)] Las operaciones $+:E \times E \to E$ y $\times: k \times E\to E$ son continuas.
\item[ii)] $\overline{B_r(x)} =\overline{B}_r(x)$ (es decir, la clausura de la bola abierta es la bola cerrada).
\item[iii)] $diam(B_{r}(x))=2r$.
\end{enumerate}


\ejer Sea $(E,\|\cdot\|)$ un espacio normado y sea $C\subset E$. Decimos que $C$ es {\it convexo} si $\forall\ x,y\in C$ y $\forall\ t\in[0,1]$ se tiene que $tx+(1-t)y\in C$.
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que $B_{r}(x)$ es convexo.
\item[ii)] Probar que si $(C_{i})_{i\in I}$ son convexos, entonces $\cap_{i\in I}C_{i}$ lo es.
\item[iii)] Probar que si $C$ es convexo, entonces $C^{\circ}$ lo es.
\item[iv)] Probar que si $C$ es convexo, entonces $\overline{C}$ lo es.
\end{enumerate}


\ejer Sea $(E,\| \cdot \|)$ un espacio normado y $S \subset E$ un subespacio (vectorial). Probar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] $\overline{S}$ tambi\'en es un subespacio.
\item[ii)] Si $S \neq E$ , entonces $S^{o}=\emptyset$.
\item[iii)] Si $dim(S) < \infty$ , entonces $S$ es cerrado. 
\item[iv)] Si $S$ es un hiperplano (o sea: $\exists \; x \neq 0 \in E$ tal que  $S \oplus \langle x \rangle = E$), entonces $S$  es o bien denso o bien cerrado en $E$.
\end{enumerate}


\ejer Sea $(E,\| \cdot \|)$ un espacio de Banach y $(x_n)\subset E$. Si$\sum_{n=1}^\infty \|x_n\|$ converge, entonces $\sum_{n=1}^\infty x_n$ converge.

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\ejer Para cada uno de los siguientes ejemplos de subespacios decidir si son cerrados, si son densos y si son hiperlanos.
\begin{enumerate}
\item[i)]  $ c =\{ (x_n)_{n\in \N } : \ \exists  \lim_{n\to\infty}x_n \} \subset l^\infty$.
\item[ii)]  $c_0 = \{ (x_n)_{n \in \N} : x_n \to 0 \} \subset c$.
\item[iii)]  $\{ x \in l^1 : \sum_{n=1}^\infty x_n = 0 \} \subset l^1$.
\item[iv)]  $\{ x \in l^2 : \sum_{n=1}^\infty x_n = 0 \} \subset l^2$.
\item[v)]  $\R[X] (\hbox{polinomios en una variable}) \subset C[0,1]$.
\item[vi)]  $C^{1}[a,b]\subset C[a,b]$.
\end{enumerate}


\ejer Sean $E$ y $F$ espacios normados. Sea $T:E\to F$ un operador lineal. Probar que son equivalentes:
\begin{enumerate}
\item[i)] $T$ es continuo en $0$;
\item[ii)] $\exists x_0\in E$ tal que $T$ es continuo en $x_0$;
\item[iii)] $T$ es continuo;
\item[iv)] $T$ es uniformemente continuo;
\item[v)] $\exists M>0 / \ \forall x \in M\ : \| Tx\|\leq M \| x\| $ ($T$ es \textit{acotada});
\item[vi)] $\forall A\subset E $ acotado, $T(A)$ es acotado.
\end{enumerate}


\ejer Sean $(E,\| \cdot \|_E) ,(F, \| \cdot \|_F )$ espacios normados. Consideramos $L(E,F)=\{T:E\to F/\ T \mbox{ es lineal y continua} \}$, y para cada $T\ \in L(E,F)$ sea $$\| T \|=\sup_{\| x\|_E\leq 1} \| T(x)\|_F. $$ Probar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] $(L(E,F), \|\cdot\|)$ es un espacio normado.
\item[ii)] Si $F$ es de Banach entonces $L(E,F)$ tambi\'en lo es.
\end{enumerate}


\ejer Sean $E$ y $F$ espacios normados y sea $T:E\to F$ un operador lineal y continuo. Verificar las siguientes f\'ormulas:$$\| T\|=\sup_{\|x\| \leq 1}\| Tx\|=\sup_{\|x\|=1}\| Tx\|= \sup_{x\not=0}\frac{\|Tx\|}{\|x\|}=\inf\{M/\ \|Tx\|\le M\|x\|\}.$$


\ejer Sea $k:[0,1]\times[0,1]\to\R$ continua y sea $K:C[0,1]\to C[0,1]$  dada por $$Kf(x)=\int_{0}^{1}k(x,y)f(y)dy.$$ Probar que $K$ es lineal y continua. Acotar su norma.


\ejer En  $\R^{(\N)}=\{ (a_n)_{n\ge1}/\ \exists n_0,\ a_n=0\ \forall n\ge n_0\}$ ponemos la norma infinito. Probar que la funci\'on $f: \R^{(\N)} \to \R$, definida por $$f((a_n)_{n\geq 1})=\sum_{n=1}^{\infty} na_n,$$ es lineal pero no continua.

\eject

\ejer 
\begin{enumerate}
\item[i)] Sea $\phi\in C[0,1]$ y sea $T_{\phi}:C[0,1]\to \R$ dada por $$T_{\phi}f=\int_0^1 f(x)\phi(x)dx.$$ Probar que $T_{\phi}$ es un funcional lineal continuo y que $\| T_{\phi}\|=\int_0^1 |\phi(x)|dx$.
\item[ii)] Sea $T \! \! :c\to\R$ dada por $T(a)=\lim_{n\to\infty}a_n$. Probar que $T$ es lineal y continuo y hallar $\| T\|$.
\item[iii)] Sea $1\leq p\leq\infty$, $p'=\frac{p}{p-1}$ el conjugado de $p$ y sea $b\in l^{p'}$. Definimos $T_{b}:l^{p}\to\R$ según $$T_{b}(a)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n a_n.$$ Probar que $T_{b}$ es lineal, continuo y hallar $\| T_{b}\|$.
\end{enumerate}

\ejer Sea $(E,\|\cdot\|)$ un espacio normado de dimensi\'on $n$ y sea $f:\R ^n  \longrightarrow E$ un isomorfismo algebraico. Consideramos en $\R ^n \mbox{ la norma }\|x\|_{\infty}= \max_{1\leq i\leq n}|x_i|$.
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que $K=\{x\in \R ^n\ :\|x\|_{\infty} = 1 \}$ es compacto en $\R ^n$.
\item[ii)] Probar que existen $c_1,\ c_2>0 $ tales que para todo $x\in \R ^n $ :$c_1\| x\|_{\infty}\leq \| f(x)\|_E \leq c_2\| x\|_{\infty}$.
\item[iii)] Deducir que si $N_1,\ N_2$ son dos normas en $\R ^n $, entonces existen constantes $a,b>0$ tales que para todo $x\in \R ^n $ : $aN_1(x) \leq N_2(x) \leq bN_2(x)$ (esto es: son equivalentes).
\end{enumerate}

\ejer Sean $E$ un espacio de Banach y $S,\ T$ subespacios cerrados, con dim $T<\infty$. Probar que $S+T$ es cerrado.

\ejer (Lema de Riesz) Sean $E$ un espacio normado, $S\subset E$ un subespacio vectorial cerrado propio, y $ 0<\alpha<1$. Probar que existe $x_{\alpha } \in E-S $ tal que $\| x_{\alpha}\|=1 \mbox{ y } \| s-x_{\alpha}\|  >\alpha \ \forall s \in S$. \textit{Sugerencia:} considerar $x\not \in S,\ r=d(x,S)$ y $x_{\alpha}=\frac{(x-b)}{\| x-b\|} $ con $b\in S$ adecuado.

\ejer Sean $ E$ un espacio normado de dimensi\'on infinita. Probar que existe $(\omega_n)_{n\in \N}\subseteq E$ tal que $\| \omega_n\| = 1 $  y $d(\omega_n, \omega_m)>1/2,\ n\neq m$. Deducir que $\overline{B_1(0)} $ no es compacta. \textit{Sugerencia:} aplicar el lema de Riesz a una sucesi\'on creciente de subespacios de dimensi\'on finita.

\ejer Sea $(E,\| \cdot \|)$ un espacio normado y $H \subset E$ un subespacio. Probar que $H$ es un hiperplano si y s\'olo existe $\gamma:E \to \R (o \;\C)$ lineal , $ \gamma \neq 0 $ tal que $H=Nu(\gamma)$. Probar que $H$ es cerrado si y s\'olo si $\gamma$ es continua.

\ejer Sea $E$ un espacio de Banach de dimensi\'on infinita. Probar que no puede tener una base algebraica numerable. \textit{Sugerencia:} si la tuviera se escribir\'{\i}a como uni\'on numerable de subespacios de dimensi\'on finita. Usar el teorema de Baire.

\end{document}