\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\include{practicas}

\begin{document}

\encabezado{5}{Completitud, Continuidad uniforme y Compacidad}

{\scriptsize{
 \begin{flushright}
  \textit{``Cuanto m\'as s\'olido, bien definido y espl\'endido es el edificio erigido por el entendimiento,}\\ 
  \textit{m\'as imperioso es el deseo de la vida por escapar de \'el hacia la libertad."}\\
  \textsc {Hegel.}
 \end{flushright}
}}

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\linea{A. Completitud}

\ejer
Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico y sea $(x_n)_{n\in \N}\subset X$.
Probar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] $\dps\lim_{n\to \infty} x_n = x$ si y s\'olo si para toda 
subsucesi\'on
$(x_{n_k})_{k\in \N}$, $\dps\lim_{k\to \infty} x_{n_k} = x$.
\item[ii)] Si existe $x \in X$ para el cual toda subsucesi\'on 
$(x_{n_k})_{k\in \N}$ de $(x_n)_{n\in \N}$ tiene una subsucesi\'on
$(x_{n_{k_j}})_{j\in \N}$ tal que $\dps\lim_{j\to \infty} x_{n_{k_j}} = x$,
entonces $(x_n)_{n\in \N}$ converge y $\dps\lim_{n\to \infty} x_n = x$.
\item[iii)] Si $(x_n)_{n\in \N}$ es convergente, entonces $(x_n)_{n\in \N}$ 
es de Cauchy. >Vale la rec\'\i proca?
\item[iv)] Si $(x_n)_{n\in \N}$ es de Cauchy, entonces es acotada.
\item[v)] Si $(x_n)_{n\in \N}$ es de Cauchy y tiene una subsucesi\'on 
$(x_{n_k})_{k\in \N}$ tal que
$\dps\lim_{k\to \infty} x_{n_k} = x \in X$, entonces $(x_n)_{n\in \N}$ 
converge y $\dps\lim_{n\to \infty} x_n = x$.
\end{enumerate}

\ejer 
Probar que si toda bola cerrada de un espacio m\'etrico $X$ es un 
subespacio completo de $X$, entonces $X$ es completo.

%\ejer
%Sean $A$ y $B$ subconjuntos de un espacio m\'etrico. Probar que si $A$ y $B$ 
%son completos, entonces $A \cup B$ y $A \cap B$ son completos.


\ejer Sea $(X, d)$ un espacio m\'etrico.
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que todo subespacio completo de $(X, d)$ es
un subconjunto cerrado de $X$.
\item[ii)] Probar que si $X$ es completo, entonces todo subconjunto 
$F\subseteq X$ cerrado, es un subespacio completo de $X$.
\end{enumerate}

%\eject

\ejer (Teorema de Cantor) Probar que un espacio m\'etrico $(X,d)$ es completo si y s\'olo si toda 
familia $(F_n)_{n\in \N}$
de subconjuntos de $X$ cerrados, no vac\'\i os tales que $F_{n+1}\subset F_n$ 
para 
todo $n\in\N$ y ${\rm diam}(F_n)\longrightarrow 0$ tiene un \'unico punto en 
la intersecci\'on.


\ejer
Sean $(X, d)$ e $(Y, d')$ espacios m\'etricos. Probar que $(X \times Y, d_{\infty})$ es 
completo si y s\'olo si $(X, d)$ e $(Y, d')$ son completos.

\eject

\ejer \begin{enumerate}
\item[i)] Sea $X$ un espacio m\'etrico y sea $B(X) = \{ f : X \to \R \tq
f \hbox{ es acotada }\}$. Probar que $(B(X), d_{\infty})$ es un 
espacio m\'etrico completo, donde 
$d_{\infty}(f, g) = \sup\limits_{x \in X} |f(x) - g(x) |$.
\item[ii)] Sean $a, b \in \R$, $a<b$. Probar que $(C[a, b], d_{\infty})$ es un
espacio m\'etrico completo, donde $d_{\infty}(f, g) = 
\sup\limits_{x\in [a, b]}|f(x) - g(x)|$.
\item[iii)] Probar que $C_0:=\{(a_n)_{n\in\N}\subset\R\;|\;a_n\rightarrow 0\}$ es un
espacio m\'etrico completo con la distancia $d_{\infty}((a_n)_{n\in\N},(b_n)_{n\in\N}) = 
\sup\limits_{x\in \N}|a_n - b_n|$.

\end{enumerate}

\ejer
Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico y sea ${\cal D}\subset X$ un subconjunto 
denso con la propiedad que toda sucesi\'on de Cauchy $(a_n)_{n\in \N}
\subset {\cal D}$ converge en $X$. Probar que $X$ es completo.


%\ejer
%Sea $(X, d)$ un espacio m\'etrico completo en el cual toda bola cerrada es 
%un conjunto no numerable. Probar que $X$ tiene cardinal mayor o igual 
%que $c$.
%\eject

\linea{B. Continuidad Uniforme}

\ejer
Sean $(X,d)$ e $(Y,d')$ espacios m\'etricos y sea $f:X\longrightarrow Y$ 
una funci\'on que satisface:
$$d'(f(x_1),f(x_2))\leq c~d(x_1,x_2)$$
para todo $x_1,x_2\in X$, donde $c\geq 0$. Probar que $f$ es uniformemente 
continua.


\ejer 
\begin{enumerate}
\item[i)] Sean $(X,d)$ e $(Y,d')$ espacios m\'etricos, 
$A\subseteq X$ y $f:X\longrightarrow Y$ una funci\'on. 
Probar que si existen $\alpha>0$, $(x_n)_{n\in \N},(y_n)_{n\in \N}\subset A$ 
sucesiones y $n_0\in\N$ tales que
\begin{enumerate}
\item $d(x_n,y_n)\longrightarrow 0$ \ para $n\to \infty$ \quad y
\item $d'(f(x_n),f(y_n))\geq\alpha$ para todo $n\geq n_0$,
\end{enumerate}
entonces $f$ no es uniformemente continua en $A$.
\item[ii)] Verificar que la funci\'on $f(x)=x^2$ no es uniformemente continua en 
$\R$. >Y en $\R_{\leq -\pi}$? 
\item[iii)] Verificar que la funci\'on $f(x) = \sen(1/x)$ no es uniformemente 
continua en $(0, 1)$.
\end{enumerate}


\ejer
\begin{enumerate}
\item[i)] Sea $f:(X,d)\longrightarrow(Y,d')$ una funci\'on uniformemente 
continua y sea $(x_n)_{n\in \N}$ una sucesi\'on de Cauchy en $X$. 
Probar que $(f(x_n))_{n\in \N}$ es una sucesi\'on de Cauchy en $Y$.
\item[ii)] Sea $f:(X,d)\longrightarrow(Y,d')$ un homeomorfismo uniforme.
Probar que $(X,d)$ es completo si y s\'olo si $(Y,d')$ es completo.\par
En particular, si un espacio m\'etrico $X$ es completo para una m\'etrica lo 
es para cualquier otra m\'etrica uniformemente equivalente.
\end{enumerate}

\eject

\ejer
\begin{enumerate}
\item[i)] Dar un ejemplo de una funci\'on $f:\R\longrightarrow\R$ acotada 
y continua pero no uniformemente continua.
\item[ii)] Dar un ejemplo de una funci\'on $f:\R\longrightarrow\R$ 
no acotada y uniformemente continua.
\end{enumerate}


\ejer Sea $f:(X,d)\longrightarrow(Y,d')$ una funci\'on uniformemente 
continua, y sean $A,B\subset X$ conjuntos no vac\'\i os tales que $d(A,B)=0$. 
Probar que $d'(f(A),f(B))=0$.

\ejer
Sean $X$ e $Y$ espacios m\'etricos, $Y$ completo. Sea $D
\subset X$ denso y sea $f : D \longrightarrow Y$ una funci\'on 
uniformemente continua.
Probar que $f$ tiene una \'unica extensi\'on continua a todo $X$, 
es decir, existe una \'unica funci\'on
$F: X \longrightarrow Y$ continua tal que $F|_D = f$.
(M\'as a\'un, $F$ es uniformemente continua).

%\eject
\linea{C. Conjuntos Perfectos}

\ejer 
Sea ${\cal C}$ el conjunto de Cantor.
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que ${\cal C}$ es cerrado y acotado (luego compacto).
\item[ii)] Probar que ${\cal C}$ es perfecto (i.e. ${\cal C}={\cal C}'$).
\item[iii)] Probar que ${\cal C}$ tiene interior vac\'{\i}o.
\item[iv)] Probar que $x\in {\cal C}$ sii su desarrollo en base 3 tiene s\'olo las cifras 0 y 2.
\item[v)] Probar que ${\cal C}$ tiene la potencia del continuo.
\end{enumerate}

\ejer
Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico completo. Probar que si $P\subseteq X$es perfecto entonces es no numerable.

\ejer
\begin{enumerate}

\item[i)] Sea $S\subseteq \R^n$ y no numerable. Sea $T$ el conjunto de puntos de condensaci\'on de $S$ (que por el ejercicio 4 de la pr\'actica 3 es no vac\'{\i}o). Probar que:
\begin{enumerate}
\item $S-T$ es numerable.
\item $S\cap T $ es no numerable.
\item $T$ es un conjunto cerrado.
\item $T$ no posee puntos aislados. 
\end{enumerate}

\item[ii)] (Teorema de Cantor-Bendixon) 
Probar que cualquier conjunto $F$ cerrado no numerable de $\R^n$ puede expresarse en la forma $F=A\cup B$, donde $A$ es perfecto y $B$ es numerable.

\end{enumerate}

\eject

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\linea{D. Compacidad}

\ejer
\begin{enumerate}
\item[i)] Sea $(a_n)_{n\in\N}\subset \R$ tal que $\dps\lim_{n\to \infty} 
a_n =0$.
Probar que el conjunto 
$\{0\}\cup \{a_n \tq n\in\N\}\subset \R$
es compacto. 
\item[ii)] Mostrar que el intervalo $(0,1]\subset \R$ no es compacto.
\item[iii)] Sea $S=(a,b)\cap\Q$ con $a,b\in\R-\Q$. Probar que $S$ es un 
subconjunto 
cerrado y acotado pero no compacto de $(\Q,d)$, donde $d$ es la m\'etrica 
eucl\'\i dea de $\R$.
\end{enumerate}

%%%%% 4
\ejer
Probar que todo espacio m\'etrico compacto es separable.


%%%%% 7
\ejer
Sea $A=\{a^{(n)}\in\ell^\infty\tq n\in \N\}$, donde cada sucesi\'on 
$a^{(n)}=(a^{(n)}_k)_{k\in \N}$ est\'a  definida por
$$
a^{(n)}_k=\begin{cases} 0 & \text{si } k\ne n,\cr
1 & \text{si } k=n.\end{cases}
$$
Probar que $A$ es discreto, cerrado y acotado; pero no compacto.


\ejer 
Dado un cubrimiento por abiertos $(U_i)_{i\in I}$ de un espacio m\'etrico 
$(X,d)$, 
un n\'umero $\epsilon>0$ se llama {\em n\'umero de Lebesgue} de 
$(U_i)_{i\in I}$ si para 
todo $x\in X$ existe $j\in I$ tal que \linebreak $B(x,\epsilon)\subset U_j$.
Probar que todo cubrimiento por abiertos de un espacio m\'etrico compacto 
tiene un n\'umero de Lebesgue.


%%%%% 11
\ejer
Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico. 
Se dice que una familia $(F_i)_{i\in I}$ de subconjuntos de $X$ tiene la {\em 
propiedad de intersecci\'on finita} (P.I.F.) 
si cualquier subfamilia finita de $(F_i)_{i\in I}$ tiene intersecci\'on no 
vac\'\i a. Probar que los siguientes enunciados son equivalentes:
\begin{enumerate}
\item $X$ es compacto;
\item toda familia $(F_i)_{i\in I}$ de subconjuntos cerrados de $X$ con 
la P.I.F. tiene intersecci\'on no vac\'\i a;
\item todo subconjunto infinito de $X$ 
tiene un punto de acumulaci\'on en $X$;
\item $X$ es secuencialmente compacto (es decir, toda sucesi\'on en
$X$ tiene una subsucesi\'on convergente);
\item $X$ es completo y totalmente acotado.
\end{enumerate} 

\eject

\ejer
Sea $(X, d)$ un espacio m\'etrico. Probar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] Toda uni\'on finita y toda intersecci\'on (finita o infinita) 
de subconjuntos compactos de $X$ es compacta.
\item[ii)] Si $(X,d)$ es compacto, todo subconjunto cerrado de $X$
es compacto.
\item[iii)] Un subconjunto $F\subset X$ es 
cerrado si y s\'olo si $F \cap K$ es cerrado para todo compacto $K\subset X$.
\end{enumerate}


%%%%% 16
\ejer
Sea $c_0=\{(x_n)_{n\in \N}\subset\R\tq \dps\lim_{n\to \infty} x_n=0\}$. 
Se define en $c_0$ la m\'etrica 
$$d(x,y)=\sup\{|x_n-y_n| \tq n\in\N\}.$$
\begin{enumerate}
\item[i)]
Demostrar que la bola cerrada $\overline B(x,1)=\{y\in C_0\tq d(x,y)\leq 1\}$ no %%@
es compacta.
\item[ii)] Probar que $(c_0,d)$ es separable.
\end{enumerate} 


\ejer 
Sean $(X, d)$ e $(Y, d')$ espacios m\'etricos. Se considera 
$(X\times Y, d_\infty)$, donde $$d_\infty((x_1, y_1),(x_2, y_2))=\max \{ d(x_1, x_2), d'(y_1, y_2)\}.$$ Probar que $(X\times Y, d_\infty)$ 
es compacto si y s\'olo si $(X, d)$ e $(Y, d')$ son compactos.


%\eject
%%%%% 12
\ejer
Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico.
\begin{enumerate}
\item[i)] Sean $K\subset X$ un compacto y sea $x\in X-K$. Probar que existe $y\in K$ 
tal que \linebreak $d(x,K)=d(x,y)$; es decir, la distancia entre $x$ y $K$ "`se realiza"'.
\item[ii)] Sean $F,\, K \subset X$ dos subconjuntos disjuntos de $X$ tales 
que $F$ es cerrado y $K$ es compacto.
Probar que la distancia $d(F, K)$ entre $F$ y $K$ es positiva.
\item[iii)] Sean $K_1,K_2\subset X$ dos subconjuntos compactos de $X$ tales 
que 
$K_1\cap K_2=\emptyset$. Probar que existen $x_1\in K_1$ y $x_2\in K_2$ 
tales que $d(K_1,K_2)=d(x_1,x_2)$; es decir, la distancia entre 
$K_1$ y $K_2$ "`se realiza"'. 
\end{enumerate}

%%%%% 13
\ejer Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico completo. Se define
$${\cal K}(X)=\{K\subset X \tq K \hbox{ es compacto y no vac\'\i o}\}.$$
\begin{enumerate}
\item[i)] Sea $\tilde d(A,B)=\sup\limits_{a\in A} \{d(a,B)\}$. Verificar
que $\tilde d$ no es una m\'etrica en ${\cal K}(X)$.
\item[ii)] Se define $\delta : {\cal K}(X) \times {\cal K}(X) \to \R$
como $\delta(A,B)=\max\{\tilde d(A,B),\tilde d(B, A)\}$. 
Probar que para todo $\epsilon>0$ vale
$$\delta(A,B)< \epsilon \qquad\Longleftrightarrow\qquad A\subset 
B(B,\epsilon)\quad\hbox{ y }\quad B\subset B(A,\epsilon),$$
donde $B(C,\epsilon)=\{x \in X\tq d(x,C)<\epsilon\}$ para cada $C \subset X$.
\item[iii)]
Probar que $\delta$ es una m\'etrica en ${\cal K}(X)$.
\end{enumerate}


%%%%% 14
%\ejer
%Sea ${\cal C}$ el conjunto de Cantor. Probar que
%\begin{enumerate}
%\item[i)] ${\cal C}$ es cerrado y acotado (y por lo tanto compacto).
%\item[ii)] ${\cal C}^\circ=\emptyset$
%\end{enumerate}

%%%% 34
\ejer
Sean $(X,d)$ e $(Y,d')$ espacios m\'etricos y  $f:X\longrightarrow Y$  
continua y biyectiva. Probar que si $(X,d)$ es compacto, entonces $f$ es un 
homeomorfismo.

\ejer Sea $(X, d)$ un espacio m\'etrico compacto. Probar que para cada 
espacio m\'etrico $(Y, d')$, la proyecci\'on $\pi : X \times Y \to Y$ 
definida por $\pi(x, y) = y$ es cerrada.

\ejer
Sean $(X, d)$ e $(Y, d')$ espacios m\'etricos, y sea $f: X \longrightarrow Y$
una funci\'on. Probar que si $Y$ es compacto y el gr\'afico de $f$ es cerrado
en $X \times Y$, entonces $f$ es continua.

\ejer
\begin{enumerate}
\item[i)] Sea $f:\R_{\geq a}\longrightarrow\R$ una funci\'on que es 
uniformemente continua en $[a,b]$ y tambi\'en en $[b,+\infty)$. Probar que $f$
es uniformemente continua en $\R_{\geq a}$.
\item[ii)] Deducir que $\sqrt x$ es uniformemente continua en $\R_{\geq 0}$.
\item[iii)] Sea $f:\R\longrightarrow\R$ continua y tal que 
$\lim_{x \to -\infty} f(x)=\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$. 
Probar que $f$ es uniformemente continua en $\R$. 
\end{enumerate} 


%%%% 32
\ejer
Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico y sea $A\subset X$ compacto. 
Probar que si $f:A\longrightarrow\R$ es continua y $f(x)>0$ para todo 
$x\in A$, entonces existe $K>0$ tal que $f(x)\geq K$ para todo $x\in A$. 

%\eject
%%%% 12
\ejer
Sea $f:\R\longrightarrow\R$ una funci\'on continua y abierta.
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que $f$ no tiene extremos locales; es decir, no existen 
$x_0\in \R$ y $\epsilon>0$ tales que $f(x_0)\leq f(x)$ 
(resp. $f(x_0)\geq f(x)$) para todo $x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)$.
\item[ii)] Comprobar que existen $a,b\in
\R\cup\{-\infty,\infty\}$ tales que $f(\R)=(a,b)$.   
\item[iii)]
Mostrar que $f:\R\longrightarrow(a,b)$ es un homeomorfismo y que ella y 
su inversa son funciones mon\'otonas.
\end{enumerate}


\ejer
Sea $(X, d)$ un espacio m\'etrico compacto y sea $f: X \longrightarrow \R$
una funci\'on semicontinua superiormente. Probar que $f$ est\'a acotada 
superiormente
en $X$ y que $f$ alcanza m\'aximo en $X$.

\ejer
Sea $D\subset X$ un subconjunto denso, y sea $f:D\to \R$ uniformemente continua. Probar que $f$ tiene una \'unica extensi\'on a todo $X$.?` Puede $\R$ reemplazarse por $\R^k$? ?` Por cualquier espacio m\'etrico compacto?  ?` Por cualquier espacio completo? ?` Por cualquier espacio m\'etrico?



\end{document}