\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\include{practicas}

\begin{document}

\encabezado{4}{Continuidad, Separabilidad}

{\scriptsize{
 \begin{flushright}
  \textit{``Un especialista es un hombre o una mujer que ha decidido conseguir prominencia}\\ 
  \textit{en un campo estrecho a expensas de un desarrollo equilibrado"}\\
  \textsc {Paul K. Feyerabend,} \textit{Contra el m\'etodo.}
 \end{flushright}
}}

%%%TIT Separabilidad

\linea{A. Continuidad}

\ejer
Sean $(X,d)$ e $(Y,d')$ espacios m\'etricos y sea $f:X\longrightarrow Y$. 
Probar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] $f$ es continua en $x_0 \in X$ si y s\'olo si 
para toda sucesi\'on $(x_n)_{n\in \N}\subset X$ tal que 
$x_n\longrightarrow x_0$, la sucesi\'on $(f(x_n))_{n\in \N}\subset Y$ 
converge a $f(x_0)$.
\item[ii)] Son equivalentes:
\begin{enumerate}
\item[1.] $f$ es continua;
\item[2.] para todo $G\subset Y$ abierto, $f^{-1}(G)$ es abierto en $X$;
\item[3.] para todo $F\subset Y$ cerrado, $f^{-1}(F)$ es cerrado en $X$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\ejer
Decidir cu\'ales de las siguientes funciones son continuas:
\begin{enumerate}
\item[i)] $f:(\R^2,d)\longrightarrow(\R,|\ |)$, $f(x,y)=x^2+y^2$, donde $d$ representa la m\'etrica eucl\'\i dea.
\item[ii)] $id_{\R^2}:(\R^2,\delta)\longrightarrow(\R^2,d_\infty)$, la funci\'on identidad, donde $\delta$ representa la m\'etrica discreta.
\item[iii)] $id_{\R^2}:(\R^2,d_\infty)\longrightarrow(\R^2,\delta)$, la funci\'on identidad, donde $\delta$ representa la m\'etrica discreta.
\item[iv)] $i:(E,d)\longrightarrow(X,d)$, la inclusi\'on, donde $E\subset X$.
\end{enumerate}

\ejer
Sean $f,g,h:[0,1]\longrightarrow\R$ definidas por
$$f(x)=\begin{cases}0 & \text{si } x\notin\Q,\cr
1 & \text{si } x\in\Q;\end{cases}
\quad\qquad g(x)=x.f(x);\qquad\quad
h(x)=\begin{cases}0 & \text{si } x\notin\Q,\cr
\frac1n & \text{si } x=\frac mn\ \text{con } \ (m:n)=1,\cr
1 & \text{si } x=0.\end{cases}
$$
Probar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] $f$ es discontinua en todo punto.
\item[ii)] $g$ s\'olo es continua en $x=0$.
\item[iii)] $h$ es continua en $[0,1]-\Q$.
\end{enumerate}

%\eject

\ejer
Probar que un espacio m\'etrico $X$ es discreto si y s\'olo si toda funci\'on
de $X$ en un espacio m\'etrico arbitrario es continua.

\eject

\ejer (M\'etricas topol\'ogicamente equivalentes)
\begin{enumerate}
\item[i)] Supongamos que existen constantes $c_1,c_2\in\R_{>0}$ tales que $$d_1(x,y)\leq c_1~d_2(x,y)\leq c_2~d_1(x,y)$$ para todo $x,y\in X$. Probar que $d_1$ y $d_2$ son topol\'ogicamente equivalentes.
\item[ii)] Probar que $d_1$ y $d_2$ son topol\'ogicamente equivalentes si y s\'olo si la funci\'on identidad $id_X:(X,d_1)\longrightarrow(X,d_2)$ es homeomorfismo.
\item[iii)] Probar que en $\R^n$ todas las m\'etricas $d_p$ con $1\leq p\leq \infty$ son topológicamente equivalentes.
\item[iv)] Consideramos en $\R$ la m\'etrica $$d^\prime (x,y) = \left| \frac{x}{1+|x|} - \frac{y}{1+|y|} \right|.$$ Probar que es topológicamente equivalente a la m\'etrica usual $d(x,y)=|x-y|$, pero que $\R$ no es completo con la métrica $d^\prime$.
\end{enumerate} 


\ejer
Considerando en cada $\R^n$ la m\'etrica eucl\'\i dea, probar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] $\{(x,y)\in\R^2\tq x^2+y\,\sen(e^x-1)=-2\}$ es cerrado.
\item[ii)] $\{(x,y,z)\in\R^3\tq -1\leq x^3-3y^4+z-2\leq 3\}$ es cerrado.
\item[iii)] $\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in\R^5\tq 3< x_1-x_2\}$ es abierto.
\end{enumerate}
Mencione otras dos m\'etricas para las cuales siguen valiendo estas afirmaciones.

\ejer %*
Consideramos las funciones $E,I:C([0,1])\to \mathbb{R}$ definidas por:
\begin{center} $E(f)=f(0)$ e $I(f)= \int_{0}^1 f(x) \; dx. $\\ \end{center}
\begin {enumerate}
\item[i)] Demostrar que si utilizamos en $C([0,1])$, la distancia $d_\infty$ ambas resultan continuas.
\item[ii)] Demostrar que si, en cambio, utilizamos en $C([0,1])$ la distancia $d_1$, $I$ es una funci\'on continua pero $E$ no lo es.
\item[iii)] Analizar si es posible que una funci\'on $F:C([0,1])\to \mathbb{R}$ sea continua para la distancia $d_1$ pero no para $d_\infty$.
\end{enumerate}

\ejer
Sean $X, \, Y$ espacios m\'etricos y sea $f : X \longrightarrow Y$ una
funci\'on continua. Probar que el gr\'afico de $f$, definido por
$$G(f) = \{ (x, f(x)) \in X \times Y : x \in X\},$$
es cerrado en $X \times Y$. >Es cierta la afirmaci\'on rec\'\i proca?

\eject

\ejer
Sea $f:(X,d)\longrightarrow(Y,d')$ una funci\'on. 
\textbf{Analizar la validez} de las siguientes afirmaciones:
\begin{enumerate}
\item[i)] Si $X=\bigcup\limits_{i\in I} U_i\,$, con cada $U_i$ abierto y 
$f|_{U_i}$ continua para todo $i\in I$, entonces 
$f:X\longrightarrow Y$ es continua.
\item[ii)] Si $X=\bigcup\limits_{i\in I} F_i\,$, con cada $F_i$ cerrado y 
$f|_{F_i}$ continua para todo $i\in I$, entonces 
$f:X\longrightarrow Y$ es continua.
\item[iii)] Si $X=\bigcup\limits_{i=1}^m F_i\,$, con cada $F_i$ cerrado y 
$f|_{F_i}$ continua para cada $i=1,\dots, m$, entonces $f:X\longrightarrow Y$ 
es continua.
\item[iv)] Si $X=\bigcup\limits_{i=1}^m X_i\,$ y $f|_{X_i}$ continua para cada
$i=1,\dots, m$, entonces $f:X\longrightarrow Y$ es continua.
\end{enumerate}

\ejer Sea $(X, d)$ un espacio m\'etrico y sea $f : X \to \R$. Probar que
$f$ es continua si y s\'olo si para todo $\alpha \in \R$, los conjuntos
$\{ x \in X : f(x) < \alpha \}$ y $\{ x\in X : f(x) > \alpha \}$ son
abiertos.



\ejer Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico y sea $A$ un subconjunto de $X$. 
Probar que la funci\'on $d_A:X\longrightarrow\R$ definida por
$d_A(x)=d(x,A)=\inf\limits_{a \in A} d(x,a)$ es (uniformemente) continua.



\ejer (Teorema de Urysohn) Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico y 
sean $A,B$ cerrados disjuntos de $X$.
\begin{enumerate}
\item[i)]  
Probar que existe una funci\'on $f:X\longrightarrow \R$ continua tal que:
$$f|_A\equiv 0, \qquad  \qquad f|_B\equiv 1 \qquad \hbox{ y } \qquad
0\leq f(x)\leq 1 \quad \forall\, x\in X.$$
%\begin{itemize}
%\item $f|_A\equiv 0$
%\item $f|_B\equiv 1$
%\item $0\leq f(x)\leq 1$ para todo $x\in X$
%\end{itemize}
{\it Sugerencia}: Considerar la funci\'on 
$\ f(x) = \dfrac{d_A(x)}{d_A(x)+d_B(x)}$.
\item[ii)] Deducir que existen abiertos $U, V\subset X$ disjuntos tales que 
$A\subset U$ y $B\subset V$.
\end{enumerate}



\ejer Sea $f:\Z\longrightarrow\Q$ una funci\'on.
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que $f$ es continua. >Sigue valiendo si $f$ toma valores 
irracionales?
\item[ii)] Suponiendo que $f$ es biyectiva, >puede ser un homeomorfismo? 
\end{enumerate}



\ejer
Sea $(X, d)$ un espacio m\'etrico, y sea $\Delta : X \longrightarrow
X \times X$ la aplicaci\'on diagonal definida por $\Delta(x) = (x, x)$.
Probar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] $\Delta$ es un homeomorfismo entre $X$ y 
$\{ (x, x) : x \in X\} \subset X \times X$.
\item[ii)] $\Delta(X)$ es cerrado en $X \times X$.
\end{enumerate}

\eject

\ejer
Sean $(X,d)$ e $(Y,d')$ espacios m\'etricos. Una aplicaci\'on 
$f:X\longrightarrow Y$ se dice {\em abierta} si $f(A)$ es abierto para todo 
abierto $A\subset X$ y se dice {\em cerrada} si $f(F)$ es cerrado para todo 
cerrado $F\subset X$.
\begin{enumerate}
\item[i)] Suponiendo que $f$ es biyectiva, probar que $f$ es abierta (cerrada) si y s\'olo si $f^{-1}$ es continua.%\par
\item[ii)] Dar un ejemplo de una funci\'on de $\R$ en $\R$ continua que no sea abierta.
\item[iii)] Dar un ejemplo de una funci\'on de $\R$ en $\R$ continua que no sea cerrada.
\item[iv)] Mostrar con un ejemplo que una funci\'on puede ser biyectiva, 
abierta y cerrada pero no continua. 
\end{enumerate}

\ejer
Sean $(X,d)$ e $(Y,d')$ espacios m\'etricos y sea 
$f:X\longrightarrow Y$ una funci\'on.
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que $f$ es continua si y s\'olo 
$f(\overline E)\subset \overline{f(E)}$
para todo subconjunto $E\subset X$.\par
Mostrar con un ejemplo que la inclusi\'on puede ser estricta.
\item[ii)] Probar que $f$ es continua y cerrada si y s\'olo si 
$f(\overline E)=\overline{f(E)}$ para todo subconjunto $E\subset X$.
\end{enumerate}


\ejer
\begin{enumerate}
\item[i)] Sean $(X,d)$ e $(Y,d')$ espacios m\'etricos y sea $D\subset X$ 
denso. Sean $f,g:X\longrightarrow Y$ funciones continuas. 
Probar que si $f|_D=g|_D$, entonces $f=g$.
\item[ii)] Sea $f:\R\longrightarrow\R$ una funci\'on continua tal que 
$f(x+y)=f(x)+f(y)$ para todo $x,y\in\Q$. 
Probar que existe $\alpha \in \R$ tal que $f(x) = \alpha \, x$ para todo 
$x\in\R$.
\end{enumerate}



\ejer
Sean $(X,d)$ e $(Y,d')$ espacios m\'etricos. Consideramos en $X\times Y$ la 
m\'etrica $d_\infty$.
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que las proyecciones $\pi_1:X\times Y\longrightarrow X$ y 
$\pi_2:X\times Y\longrightarrow Y$ son continuas y abiertas. Mostrar con un ejemplo que pueden no ser cerradas.
\item[ii)] Sea $(Z,\delta)$ un espacio m\'etrico y sea
$f:Z\longrightarrow X\times Y$ una aplicaci\'on. Probar que $f$ es continua 
si y s\'olo si \ $f_1=\pi_1\circ f$ \ y \ $f_2=\pi_2\circ f$ \ lo son.
\end{enumerate}


\ejer
Sea $(X, d)$ un espacio m\'etrico y sea $f : X \longrightarrow \R$ una 
funci\'on. Se dice que $f$ es {\em semicontinua inferiormente} (resp. 
{\em superiormente}) en $x_0 \in X$ si para todo $\epsilon >0$ existe 
$\delta>0$ tal que 
$$d(x, x_0) < \delta \Longrightarrow f(x_0) < f(x) + \epsilon\qquad 
(\hbox{resp. } f(x_0) + \epsilon > f(x) ).$$
Probar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] $f$ es continua en $x_0$ si y s\'olo si $f$
es semicontinua inferiormente y superiormente en $x_0$.
\item[ii)] $f$ es semicontinua inferiormente si y s\'olo si 
$f^{-1}(\alpha, +\infty)$ es abierto para todo $\alpha\in \R$.
\item[iii)] $f$ es semicontinua superiormente si y s\'olo si 
$f^{-1}(-\infty, \alpha)$ es abierto para todo $\alpha\in \R$.
\item[iv)] si $A\subset X$ y $\chi_A:X\rightarrow\R$ es su función característica, entonces $\chi_A$ es semicontinua inferiormente (resp. superiormente) si y sólo si $A$ es abierto (resp. cerrado).

\end{enumerate}

\eject
\linea{B. Separabilidad}

\ejer
Probar que $\R^n$ (con la distancia eucl\'\i dea) es separable.

\ejer
Sea $\R^{(\N)} = \{ (a_n)_{n\in \N} \subseteq \R  \tq \exists \, n_0 : 
a_n = 0 \ \forall \, n\ge n_0\}$. Se considera la aplicaci\'on
$d_\infty : \R^{(\N)} \times \R^{(\N)}
\longrightarrow \R$ definida por $d_\infty((a_n)_{n\in \N}, (b_n)_{n\in \N}) = 
\dps\sup_{n\in \N} |a_n - b_n|$. 
Probar que $(\R^{(\N)}, d_\infty)$ es un espacio m\'etrico separable.


\ejer
Sea $(X, d)$ un espacio m\'etrico. Se dice que una familia
 ${\cal A} = (U_j)_{j\in J}$ de abiertos de $X$ es una {\em base de abiertos 
de $X$} si todo abierto de $X$ se puede escribir como uni\'on de miembros de $\cal A$. Probar que $\cal A$ es una base de abiertos de $X$ si y s\'olo si verifica la siguiente condici\'on: ``Para todo abierto $G$ de $X$ y para todo $x \in G$ existe $j\in J$ tal que
$x \in U_j\subseteq G$''.
\ejer Sea $(X,d)$ un espacio m\'etrico que verifica que cada cubrimiento abierto de $X$ tiene un subcubrimiento numerable. Probar que $X$ es separable.
%\ejer
%Sea $(X, d)$ un espacio m\'etrico. Probar que son equivalentes:
%\begin{enumerate}
%\item[i)] $X$ es separable
%\item[ii)] $X$ posee una base numerable de abiertos
%\item[iii)] Todo cubrimiento abierto de $X$ tiene un subcubrimiento 
%numerable.
%\end{enumerate}

\ejer
Probar que todo subespacio de un espacio m\'etrico separable es separable.

\ejer Sea $(X, d)$ un espacio m\'etrico separable. 
Probar que toda familia de subconjuntos de $X$ no vac\'\i os, abiertos y 
disjuntos dos a dos es a lo sumo numerable. Deducir que el conjunto de puntos aislados de $X$ es a lo sumo numerable.
\ejer
Sean $(X, d)$ e $(Y, d')$ espacios m\'etricos. Consideramos en $X\times Y$ 
la m\'etrica $d_\infty$ definida por
$$d_\infty((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\max\{d(x_1,x_2),d'(y_1,y_2)\}.$$
Probar que $(X \times Y, d_{\infty})$ es separable si y s\'olo si $(X, d)$ e $(Y, d')$ son separables.


\ejer %*
 ?`Es el espacio $(l^\infty,d_\infty)$ separable?.

\ejer
Sean $X, Y$ espacios m\'etricos. Sea $f: X \longrightarrow Y$ una funci\'on
continua y suryectiva. 
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que si $X$ es separable, entonces $Y$ es
separable.
\item[ii)] >Es cierto que si $X$ es completo entonces $Y$ es completo?
\end{enumerate}



\end{document}

