\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\include{practicas}


\begin{document}

\encabezado 1{Reales: Sucesiones y Supremos}
\noindent\hrule



{\scriptsize{
 \begin{flushright}
  \textit{``N\~ao se pode esperar aprender Matem\'atica contemplativamente. Apelo, portanto, ao leitor}\\ 
  \textit{para que tente resolver os exerc\'{\i}cios que lhe pare\c{c}am mais atraentes e/ou desafiadores. [...]}\\
  \textit{Procure ler o enunciado de cada um. E boa sorte na viagem que ora inicia."}\\
  \textsc {Lages Lima.}
 \end{flushright}
}}

%\begin{enumerate}



\ejer 

Para cada $x \in\R$ se define $A_x = \{ m\in \Z : m\le x\}$.
\begin{enumerate}
\item[i)] Verificar que $A_x \ne \emptyset$ y es acotado superiormente. 
Concluir que existe el m\'aximo de $A_x$. Este n\'umero se llama la {\em 
parte entera de $x$} y se notar\'a $[x]$.
\item[ii)] Demostrar que:
\begin{enumerate}
\item $0\le x - [x] <1$ $\ \forall\, x \in \R$.
\item $[x] = x \iff x \in \Z$.
\item $[x + y] \le [x] + [y] + 1$.
\item $x<y \Rightarrow [x]\le [y]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\ejer
\begin{enumerate}
\item[i)] Sean $x,y\in\R$ tales que $y-x>1$. Mostrar que existe un entero $k$ tal que 
$x<k<y$.

%{\it Sugerencia}: considerar $[x]+1$.
\item[ii)] Sean $x,y\in\R$ tales que $x<y$. Mostrar que existe $r\in \Q$ tal 
que $x<r<y$.
\item[iii)] Sean $r,s\in\Q$ tales que $r>s$. Mostrar que existe un n\'umero irracional entre 
$r$ y $s$.
\item[iv)] Sean $x,y\in\R$ tales que $x<y$. Mostrar que existe un n\'umero irracional entre 
$x$ e $y$.
\end{enumerate}


\ejer
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que para cada $x\in\R$, 
existe una sucesi\'on $(q_n)_{n\in \N}\subset\Q$ 
estrictamente decreciente tal que 
$q_n\geq x$ para todo $n\in\N$ 
y $\dps\lim_{n\to \infty} q_n = x$.
\item[ii)] Enunciar y probar un enunciado an\'alogo donde $(q_n)_{n\in \N}$ 
sea estrictamente creciente.
\end{enumerate}


\ejer
Sean $x=(x_1,\dots,x_m)\in\R^m$ y $\epsilon>0$. Mostrar que existe 
$q=(q_1,\dots,q_m)\in\Q^m$ tal que 
$\|x-q\|=\Big(\dps{\sum_{i=1}^m(x_i-q_i)^2}\Big)^{1/2}<\epsilon$.


\ejer
Sea $A=\dps\Big\{\frac{m}{2^n} \ \Big/ \ m\in\Z \ , \ n\in\N\Big\}$. Probar 
que $A$ es denso en $\R$.
\par Analizar la misma situaci\'on para el conjunto 
$B=\dps\Big\{\frac{m}{b^n} \ \Big/ \ 
m\in\Z \ , \ n\in\N\Big\}$, donde $b\in\R_{>0}$.

%\eject

\ejer
Sean $(a_n)_{n\in \N}$, $(b_n)_{n\in \N}$ y $(c_n)_{n\in \N}$ sucesiones de 
n\'umeros reales tales que
\begin{enumerate}
\item[i)] $\exists\, n_0 \in \N : \forall \, n \ge n_0,\ a_n \le b_n \le c_n$;
\item[ii)] $\dps{ \lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} c_n = \ell}$.
\end{enumerate}
Probar que $\dps\lim_{n\to \infty} b_n =\ell$.

\eject

\ejer
\begin{enumerate}
\item[i)] Sea $(a_n)_{n\in \N}$ una sucesi\'on mon\'otona. Probar que:
\begin{enumerate}
\item Si existe una subsucesi\'on $(a_{n_k})_{k\in \N}$
convergente a $\ell\in\R$, entonces $(a_n)_{n\in \N}$ converge a $\ell$.
>Qu\'e pasa si la subsucesi\'on tiende a $\infty$?
\item $(a_n)_{n\in \N}$ converge $\iff$ $(a_n)_{n\in \N}$ es acotada.
\end{enumerate}
%% \item Demostrar que si una subsucesi\'on de una sucesi\'on de Cauchy converge, entonces 
%% tambi\'en lo hace la sucesi\'on original.
\item[ii)] Demostrar que cualquier subsucesi\'on de una sucesi\'on convergente es 
tambi\'en convergente.
%% \item Probar que toda sucesi\'on de Cauchy es acotada.
\item[iii)] Encontrar una sucesi\'on {\bf no} convergente $(a_n)_{n\in \N}$ 
que verifique 
$\dps\lim_{n\to \infty} |a_n-a_{n+1}| = 0$.
\item[iv)] Analizar la situaci\'on del inciso anterior pero con la condici\'on: 
$\dps\lim_{n\to \infty} |a_n-a_{n+p}|
%\underset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} 
= 0$ para todo 
$p\in\N$ y 
estudiar si la respuesta contradice alg\'un resultado conocido.    
\end{enumerate}


\ejer
Mostrar que en un cuerpo totalmente ordenado arquimediano son equivalentes 
las afirmaciones siguientes (>d\'onde se usa la arquimedianidad?):  
\begin{enumerate}
\item toda sucesi\'on acotada tiene una subsucesi\'on convergente;
\item toda sucesi\'on de Cauchy es convergente;
\item si $(I_n)_{n\geq1}$ es un encaje de intervalos cerrados cuyas longitudes tienden a 
cero, entonces existe un \'unico $x\in\dps{\bigcap_{n=1}^\infty} I_n$;
\item todo conjunto acotado superiormente y no vac\'\i o tiene supremo;
\item toda sucesi\'on mon\'otona y acotada superiormente tiene supremo. 
\end{enumerate}
\ejer
Sea $(a_n)_{n\in \N}$ una sucesi\'on acotada de n\'umeros reales. 
Para cada $n\in \N$ se considera $A_n = \{ a_k : k\ge n\}$. Sean 
$\lambda_n = \sup A_n$ y $\gamma_n = \inf A_n$.
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que $(\lambda_n)_{n\in \N}$ es decreciente y 
$(\gamma_n)_{n\in \N}$ es creciente.
Concluir que $(\lambda_n)_{n\in \N}$ y $(\gamma_n)_{n\in \N}$ son sucesiones 
convergentes. Al l\'\i mite de la sucesi\'on $(\lambda_n)_{n\in \N}$ 
(resp. $(\gamma_n)_{n\in \N}$) lo llamaremos {\em l\'\i mite superior}
(resp. {\em l\'\i mite inferior})
de $(a_n)_{n\in \N}$ y lo notaremos $\limsup a_n$ (resp. $\liminf a_n$).
\item[ii)] Sean $\alpha = \liminf a_n$ y $\beta = \limsup a_n$, y sea
$\epsilon >0$. Probar que a la derecha de $\beta+\epsilon $ y a la izquierda 
de $\alpha - \epsilon$ existen finitos t\'erminos de $(a_n)_{n\in \N}$.
>Vale la rec\'\i proca?
\end{enumerate}


\ejer
Hallar los l\'\i mites superior e inferior de las siguientes sucesiones:
\begin{enumerate}
\item[i)] $1,\ 3,\ -1,\ 1,\ 3,\ -1,\ 1,\ 3,\ -1,\ \dots$
\item[ii)] $\dps{(-1)^n\Big(2+\frac{3}{n}\Big)}$.
\item[iii)] $\dps{\Big(1-\frac1n\Big)\,\sen\Big(n\frac\pi2\Big)}$.
\item[iv)] $(s_n)_{n\in \N}$ definida por: $s_1=0$ , $\dps{s_{2n}=
\frac{s_{2n-1}}2}$ , 
$\dps{s_{2n+1}=\frac12+s_{2n}}$.
\item[v)] $\dps{\frac{n}3-\Big[\frac n3\Big]}$.
\end{enumerate} 


\ejer
\begin{enumerate}
\item[i)] Encontrar una sucesi\'on $(x_n)\subset\R$ tal que $\liminf x_n=-3$, 
$\limsup x_n=5$ y el conjunto $\{x_n\tq n\in \N\}$ sea 
infinito.

\item[ii)] >Es cierto que
\begin{enumerate}
\item si $\limsup x_n=2$, entonces existe $n_0\in \N$ tal que 
$x_n>1,99$ para todo $n\geq n_0$?
\item si $\limsup x_n=b$, entonces existe $n_0\in\N$ tal que 
$x_n\leq b$ para todo $n\geq n_0$?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\ejer Sea $(a_n)_{n\in \N}$ una sucesi\'on de n\'umeros reales acotada.
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que $\alpha = \limsup a_n$ si y s\'olo si para cada 
$\epsilon >0$ se verifica:
\begin{enumerate}
\item $\exists \, n_0 \in \N$ tal que 
$\forall\, n \ge n_0$, $a_n < \alpha + \epsilon$;
\item $\forall\, n \in \N$ $\exists\, m \ge n$  tal que $a_m > 
\alpha - \epsilon$.
\end{enumerate}
\item[ii)] Demostrar que $\alpha = \limsup a_n$ si y s\'olo si se
verifican las dos condiciones siguientes:
\begin{enumerate}
\item Existe una subsucesi\'on $(a_{n_j})_{j\in \N}$ tal que $\dps 
\lim_{j\to \infty} a_{n_j} = \alpha$;
\item si $(a_{n_j})_{j\in \N}$ es una subsucesi\'on convergente, entonces
$\dps \lim_{j\to \infty} a_{n_j} \le \alpha$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\ejer
Sea $(a_n)_{n\in \N}\subset \R$. Probar que $\dps \lim_{n\to \infty} a_n = \ell$
si y s\'olo si
$\limsup a_n = \liminf a_n = \ell$.


\ejer
Sean $(a_n)_{n\in \N}$ , $(b_n)_{n\in \N}$ sucesiones reales acotadas. 
Probar que:
\begin{enumerate}
\item[i)] $\limsup (a_n+b_n)\leq \limsup
a_n+\limsup b_n$.
%\item[ii)] $\liminf (a_n+b_n)\geq \liminf a_n+\liminf b_n$
\item[ii)] $\limsup (a_n.b_n)\leq \limsup a_n.\limsup b_n$, si $a_n,b_n\geq 0$.
%\item[iv)] $\liminf (a_n.b_n)\geq \liminf a_n.\liminf b_n$
\item[iii)] Si $c>0$ entonces, 
$\limsup (c.a_n)=c.\limsup a_n$.
%y $\liminf (c.a_n)=c.\liminf a_n$.
\end{enumerate} 
Enunciar y probar resultados an\'alogos para $\liminf$.

\ejer
Sea $(a_n)_{n\in \N}\subset\R_{>0}$. 
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que:\quad  $\dps{\liminf
\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq
\liminf \sqrt[n]{a_n}\leq 
\limsup \sqrt[n]{a_n}\leq
\limsup \frac{a_{n+1}}{a_n}}$.
\item[ii)] Deducir que si existe
$\dps{\lim_{n\to \infty}
\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\in\R_\infty}$ entonces,  
$\dps\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a_n}=A$.
\item[iii)] Calcular \ $\dps{\lim_{n\to \infty}
\frac{\sqrt[n]{n!}}n}$.
\end{enumerate}

\ejer
Sean $x,y\in\R$ y $(x_i)_{i\geq0},(y_j)_{j\geq0}$ desarrollos de ambos en 
base $b>1$. Se supone que el desarrollo de $y$ es infinito, i.e., para todo $n\in\N$ 
existe $i>n$ con $y_i>0$.
\begin{enumerate}
\item[i)] Probar que si $x_i=y_i$ para todo $i\leq n-1$ y $x_n<y_n$, 
entonces $x<y$.

%{\it Sugerencia}: $\dps{\sum_{i=0}^n x_i b^{-i}+b^{-n}\leq \sum_{i=0}^n y_i 
%b^{-i}}$; adem\'as $y-x\leq b^{-n+1}$.
\item[ii)] Deducir que el orden entre $x$ e $y$ es el mismo que el de los primeros t\'erminos 
en que difieren sus desarrollos.
\item[iii)] Manteniendo las hip\'otesis de i), sea $z\in [x,y]$. Probar que entonces $z$ 
tiene un desarrollo en base $b$ con $z_i=x_i=y_i$ para todo $i\leq n-1$.
\end{enumerate} 


\ejer
Hallar el desarrollo en base $2$, $3$ y $16$ de los n\'umeros $2.25$; $10.7$; $27$ y $255$. 

%\end{enumerate}

\end{document}